四君子素数的命名与性质

2．四君子素数的命名与性质

如果在连续10个自然数中存在四个（或四个以上）素数，我们称他们是四君子素数．中国画中对梅、兰、竹、菊四种花卉总称为“四君子”，而梅、兰、竹、菊象征一年四季青春永驻．我们借此称呼这一类素数．

如：2，3，5，7；2，3，5，7，11；3，5，7，11；5，7，11，13；11，13，17，19；101，103，107，109；5651，5653，5657，5659；72221，72223，72227，72229；…．

显然，四君子素数中，伙伴最多也是唯一的是2、3、5、7、11，它们拥有5个“伙伴”，虽是例外却珍稀，舍不得割爱．含有一位数的四君子素数也只有4组，它们都含有素数5与7．据此．我们仅探讨不含有素数5的四君子素数的性质．

根据引理2，大于3的10个连续自然数最多只能有4个素数，除了包含5的四君子素数，都只有4个素数“伙伴”．

性质1：大于10且从小到大排列的四君子素数的个位数，只能是按1、3、7、9依次排列．

证明：大于10且从小到大排列的连续自然数，个位数是奇数的共有5种可能的排列：

①1、3、5、7、9；②3、5、7、9、1；③5、7、9、1、3；④7、9、1、3、5；⑤9、1、3、5、7．

大于10的自然数个位数是5的就不是素数，上述5种情况中后4种情况除了个位数是5的以外都还有相邻的3个或4个奇数：

②7、9、1；③7、9、1、3；④7、9、1、3；⑤9、1、3．

根据引理3，大于3的三个相邻的奇数，最多只能有两个素数，因此这几种情况下的10个连续自然数不会有4个素数，也就是不会出现四君子素数．只有情况①，在个位数5的两侧都有可能全是素数．所以大于10且从小到大排列的四君子素数的个位数，只能是按1、3、7、9依次排列的．

如果四君子素数4个都在大于10的连续10个自然数中，根据引理3，四君子素数的4个素数的个位数不能是3个或4个相邻奇数，因此只有1、3、7、9一种．（证毕）

这样，大于10且从小到大排列的四君子素数的个位数，只需知道其中一个，就可以知道它所在的四君子素数组的全部，可谓“举一反三”．我们统计四君子素数也就只需统计四君子素数组的数量．

事实上，四君子素数是由两对孪生素数组成．而构成孪生素数p、p＋2一对的个位数组合，只有（1，3）、（7，9）、（9，1）三种，如果有一对的个位数是（9，1），在大于10的连续10个自然数中不会再有不同的一对与之配成四君子素数．说明每个均大于10的四君子素数紧密地分布在某个从个位数0到9（或从1到10）的连续自然数当中，而且是由两对孪生素数组成一组伙伴．很明显，实际上跟“个位数0”没有关系，所以有下面的推论．

推论：大于10的4个素数组成四君子素数必须并且只需：它们同在个位数从1到9的9个连续自然数中．

显然，大于10的四君子素数组是由四个相邻的素数组成的，其中最大与最小素数的差等于8．

大于10的四君子素数是由个位数是1、3与7、9的两对孪生素数组成，他们中间夹了一个个位数是5的奇数，我们称之为这对四君子素数的中间数．如：四君子素数101、103、107、109的中间数是105；四君子素数5651、5653、5657、5659的中间数是5655．

存在四君子素数且大于10的连续9个连续自然数，个位数是1、2、3、4、5、6、7、8、9，这9个自然数当中，个位数是1与3的是孪生素数，根据引理1，个位数是3的素数除3余1，于是个位数是5的数能被3整除．因此末位数是5的四君子素数的中间数能被15整除．

个位数是5且被3整除的正整数可以表示为10·（3k＋1）＋5＝15·（2m＋1），因此有

性质2：一组大于10的四个素数构成的四君子素数可以表示为15·（2m＋1）±2及15·（2m＋1）±4（m为自然数）．

我们把15·（2m＋1）称作这组四君子素数的中间数，记作S[15·（2m＋1）]．

我们可以用中间数表示一组四君子素数．但是可以这样表示的四个数，不一定是四君子素数．

以下是部分四君子素数的中间数的素因数分解式：

3465＝3²×5×7×11，79695＝3²×5×7×11×23，

389565＝3²×5×11×787，3200205＝3×5×191×1117，

4015935＝3²×5×7×11×19×61，5922225＝3²×5²×26321，6054285＝3×5×59×6841，

7703235＝3³×5×43×1327，8062005＝3×5×7×76781，8926455＝3×5×595097，

9276855＝3×5×7×53×1667，9600585＝3×5×640039，9774465＝3×5×373×1747，

4342255665＝3×5×11×26316701，74422046685＝3×5×7×708781397．

例1：当m＝0时，四个素数11、13、17、19组成四君子素数，记作S（15）；

例2：四君子素数3461、3463、3467、3469，求得2m＋1＝3465÷15＝231，于是

3461＝15×231－4，3463＝15×231－2，3467＝15×231＋2，3469＝15×231＋4．

这一组四君子素数可以记作S（3465），其中可得m＝115．

例3：四君子素数74422046681、74422046683、74422046687、74422046689，求得2m＋1＝74422046685÷15＝4961469779，于是

74422046681＝15×4961469779－4，74422046683＝15×4961469779－2，

74422046687＝15×4961469779＋2，74422046689＝15×4961469779＋4．

这一组四君子素数可以记作S（74422046685），其中可得m＝2480734889．

如果一个个位数是5的自然数不能被15整除，它就不是四君子素数的中间数，那么该数所在的连续10个自然数区间就不存在四君子素数．即使可以被15整除，还要一一验算四个数是否都是素数．

根据两个性质，在素数表中我们可以用“举一反三”的办法筛选四君子素数：

第一遍，个位数是1的素数，其后是孪生素数的，则再留下三个，否则连同第1个皆弃之．

第二遍，从留下的当中，按照1、3、7、9，筛选出四君子素数．

我们还可以用“举一反三”的办法明确四君子素数：只需知道四君子素数组中的一个素数，根据它们的伙伴关系，就知道其他三个素数．例如，已知一组四君子素数之一是88817，那么其他三个就是88811、88813和88819．取415−m（m取足够大的正整数），若是素数，依次再取215−m、215+m、415+m，直到四个都是素数，就找到了一组四君子素数．若四步中一旦遇到不是素数，即换取1+m，继续寻找．

是不是总能够找到四君子素数？恐怕不会比孪生素数猜想来的简单．

当然，若运用程序设计，则寻找四君子素数更容易．

四君子素数当中没有重复数字而且最大的是986305127，拥有最多数字又没有重复数字的最小者是102563897：

986305121，986305123，986305127（最大），986305129； 102563891，102563893，102563897（最小），102563899，

两组10位和11位的四君子素数：4342255661，4342255663，4342255667，4342255669；74422046681，74422046683，74422046687，74422046689，它们连接构成3个素数：

43422556674342255661243422556634342255669（41位），

744220466817442204668327442204668774422046689（45位），

7442204668174422046683275723866402244718664022447（49位对称素数）．