合数的素因数分解

1．合数的素因数分解

要探知“缺8数”的奥秘，从合数的素因数分解切入．我们知道，每一个合数N都可以分解成若干个素数的积，比如：

94342248＝2³×3²×7²×11²×13×17，

111111111＝3²×37×333667．

一般有

（m −1个001）．

这里，P₁、P₂、P₃、…、P_k是素数且P₁＜P₂＜P₃＜…＜P_k，k、r₁、r₂、r₃、…、r_k都是正整数．

自然数分解式按照这样的要求排列是唯一的．如果没有特别说明，一般都是指这样排列的分解式．

合数分解为素因数的积，形式上同多项式分解因式是类似的，性质也有共通之处，它们在运算、化简当中，在求公约数（式）和公倍数（式）当中，在证明某些命题当中，都有着很简捷的作用．

2．纯元数构建的等式队列

由同一个数字构成的数称作纯元数．比如111111111，22…22，33…33，…，99…99．为方便起见，如果没有特别说明，我们所说的纯元数是指全部由1组成的数111…111．为了表示方便，如果111…111中1的个数是m，我们记作F（m），比如 11111≡F（5），111111111≡F（9）．

前面已经提到，111111111＝3²×37×333667＝9×37×333667，不同组合的素因数求积：9×37＝333，37×333667＝12345679，9×333667＝3003003，可以得到不同等式：333×333667＝111111111，3003003×37＝111111111，最负盛名的是“缺8数”与9的积：12345679×9＝11111111．

不同的若干个数的积都是111111111，很整齐，似乎很神奇．下面我们一起来探秘．

实际上：111111111是9个1，数字之和是9，因此它是9的倍数；9个1是3个111，因此又是111的倍数．其中111＝3×37，于是我们得到：111111111＝3×3×37×333667．

等式右边分组求积，得到：3×3＝9，37×333667＝12345679．这就解开了12345679×9＝111111111的神秘面纱．

在自然数的探究中，素因数分解如同我们体检的时候做“x光”透视，观察内部情况，便于分析内在关系．

我们将纯元数进行分解，通过分解式的不同组合，就可以得到许多等式：

12345679×9＝111111111

12345679×18＝222222222

12345679×27＝333333333

12345679×36＝444444444

12345679×45＝555555555

12345679×54＝666666666

12345679×63＝777777777

12345679×72＝888888888

12345679×81＝999999999

纯元数1的个数是偶数，即F（2n）：

1111＝11×101

111111＝11×10101

11111111＝11×1010101

1111111111＝11×101010101

111111111111＝11×10101010101

11111111111111＝11×1010101010101

1111111111111111＝11×101010101010101

111111111111111111＝11×10101010101010101

11111111111111111111＝11×1010101010101010101

1111111111111111111111＝11×101010101010101010101

111111111111111111111111＝11×10101010101010101010101

11111111111111111111111111＝11×1010101010101010101010101

1111111111111111111111111111＝11×101010101010101010101010101

111111111111111111111111111111＝11×10101010101010101010101010101

11111111111111111111111111111111＝11×1010101010101010101010101010101

1111111111111111111111111111111111＝11×101010101010101010101010101010101

111111111111111111111111111111111111＝11×10101010101010101010101010101010101

11111111111111111111111111111111111111＝11×1010101010101010101010101010101010101

……

纯元数1的个数是3的倍数，即F（3n）：

111111＝111×1001

111111111＝111×1001001

111111111111＝111×1001001001

111111111111111＝111×1001001001001

111111111111111111＝111×1001001001001001

111111111111111111111＝111×1001001001001001001

111111111111111111111111＝111×1001001001001001001001

111111111111111111111111111＝111×1001001001001001001001001

111111111111111111111111111111＝111×1001001001001001001001001001

111111111111111111111111111111111＝111×1001001001001001001001001001001

111111111111111111111111111111111111＝111×1001001001001001001001001001001001

111111111111111111111111111111111111111＝111×1001001001001001001001001001001001001

……

纯元数1的个数是5的倍数，即F（5n）：

1111111111＝11111×100001

111111111111111＝11111×10000100001

11111111111111111111＝11111×1000010000100001

1111111111111111111111111＝11111×100001000010000100001

111111111111111111111111111111＝11111×10000100001000010000100001

11111111111111111111111111111111111＝11111×1000010000100001000010000100001

1111111111111111111111111111111111111111＝11111×100001000010000100001000010000100001

111111111111111111111111111111111111111111111＝11111×10000100001000010000100001000010000100001

……

纯元数1的个数是7的倍数，即F（7n）：

11111111111111＝1111111×10000001

111111111111111111111＝1111111×100000010000001

1111111111111111111111111111＝1111111×1000000100000010000001

11111111111111111111111111111111111＝1111111×10000001000000100000010000001

111111111111111111111111111111111111111111＝1111111×100000010000001000000100000010000001

……

（以上n＝2，3，4，…）

作为等式队列，有的巧妙，如对称数；有的整齐，如同穿上制服的军队，穿上校服的学生．数字“清一色”或排列有序，是特别受青睐的，所以纯元数扮演了等式队列的主角．有一些整齐的等式可能是偶然发现的，比如“缺8数”，偶然中的必然却是需要探究的，这就是数学！我们更需要的是按照数学规律寻找等式队列．

借助于现代计算技术，首先我们找到了构成美妙等式的奥秘．其次，我们通过特殊自然数的素因数分解并且拆分组合再求积，可以制造多种美妙的等式．将所得到的等式排列出来，就得到等式队列！

再看几个实例：8个1，10个1和12个1的纯元数的素因数分解，试试将它们分组求积，取有趣的等式作为等式队列的源头：

F（8）＝11111111＝11×73×137×101＝101×110011，　…………………………………………………………………………（i）

F（10）＝1111111111＝11×41×271×9091＝122221×9091，………………………………………………………………………（ii）

F（12）＝111111111111＝3×7×11×13×37×101×9901＝（3×101×9901）×（7×11×13×37）＝3000003×37037．……（iii）

在Excel工作表中计算，分别用101×110011＝11111111，122221×9091＝1111111111和37037×3000003＝111111111111三个等式做出等式队列：

（i）110011乘以9，101依次乘以1、2、3、…、7、8、9，其积分别再相乘，得到等式队列：

101×990099＝99999999

202×990099＝199999998

303×990099＝299999997

404×990099＝399999996

505×990099＝499999995

606×990099＝599999994

707×990099＝699999993

808×990099＝799999992

909×990099＝899999991

（ii）9091依次乘以1、2、3、…、7、8、9，再分别乘以122221，得到等式队列：

9091×122221＝1111111111

18182×122221＝9999999999

27273×122221＝19999999998

36364×122221＝29999999997

45455×122221＝39999999996

54546×122221＝49999999995

63637×122221＝59999999994

72728×122221＝69999999993

81819×122221＝79999999992

（iii）3000003乘以9再依次乘以1、2、3、…、7、8、9，再分别乘以37037，得到等式队列：

3000003×37037＝111111111111

27000027×37037＝999999999999

54000054×37037＝1999999999998

81000081×37037＝2999999999997

108000108×37037＝3999999999996

135000135×37037＝4999999999995

162000162×37037＝5999999999994

189000189×37037＝6999999999993

216000216×37037＝7999999999992

243000243×37037＝8999999999991

F（12）＝111111111111＝（11×13×37×101）×（9901×3×7）＝534391×207921，分组不同，求积得到不同的表示，因此得到的等式队列不同，但是等式右边相同．

534391×207921＝111111111111

4809519×207921＝999999999999

9619038×207921＝1999999999998

14428557×207921＝2999999999997

19238076×207921＝3999999999996

24047595×207921＝4999999999995

28857114×207921＝5999999999994

33666633×207921＝6999999999993

38476152×207921＝7999999999992

43285671×207921＝8999999999991

隐去素因数的真面目，变化多多，因人而异，结果各有千秋．将上述各等式队列堆垒起来，就是数字大厦．

找等式队列，我们从寻宝开始，也会偶有收获，进而探幽，寻求隐藏“偶然”背后的秘密．现在进入佳境，揭秘并且创造属于自己的等式队列．您试试，成功的喜悦就将属于您！

我们知道，在纯元数1111…11中，如果是偶数个1，必定被11整除，得到等式队列，如111111＝11×10101．

同样，在纯元数111…111中，如果1的个数是3的倍数，必定被111整除，得到等式队列，如111111＝111×1001．

对各等式的来源我们已经心中有数了，在计算器中都可以进行运算．

如果对以上纯元数进行素因数分解，而后拆分组合，又可以得到创建等式队列的素材：

1111＝11×101

111111＝37×3003

11111111＝73×152207

111111111＝37×3003003

1111111111＝9901×11222211

111111111111＝37037×3000003

11111111111111＝4649×2390000239

111111111111111＝38232951×2906161

1111111111111111＝188888887×5882353

111111111111111111＝333667×333000000333

家用计算机当中，用Excel 工作表文档进行运算，只能输入15位，计算器可以计算32位．现在我们要用家用计算机计算32位以上的数，对纯元数进行素因数分解，就需要引入纯元数的一些性质．

3．纯元数的性质与纯元数分解

将k个1组成的数 1111…11记作F（k）（k个1），用函数式可以表示为

111…11≡F（k）＝1+10 +100 +1000 +L+10^k-1＝1+10¹+10²+10³+L+10^k-1（k＝1，2，3，…）．

性质1：如果n＝km，那么F（km）＝（1+10^k+10^2k+…+10^k(m-1)⋅F（k）（m、n、k＝1，2，3，…）．

例如：F（12）＝111111111111＝3×7×11×13×37×101×9901

　　　　　　 ＝11×10101010101（k＝2，m＝6，其中3×7×13×37×101×9901 ＝101010101）

　　　　　　 ＝111×1001001001（k＝3，m＝4，其中7×11×13×101×9901 ＝1001001001）

　　　　　　 ＝1111×100010001（k＝4，m＝3，其中3×7×13×37×9901 ＝100010001）

　　　　　　 ＝111111×1000001（k＝6，m＝2，其中101×9901 ＝1000001）．

性质2：设n＝km，如果素数p整除F（k），那么p整除F（km）．

特别地，偶数个1组成的纯元数F（2m）均能被11整除，除了F（2）＝11是素数，其他都是合数；

而 n＝3m时，F（3m）均能被111（3×37）整除，所以F（3m）都是合数．

111111…1111（m个11）＝11+11⋅10²+11⋅10⁴+L+11⋅10^2（m+1）1)＝11×10101…01（m-1个01），

111111…111111（m个111）＝111+111⋅10³+111⋅10⁶+…+111⋅10^3（m-1）＝111×(1+10²+10³+…+10^3（m-1）＝111×1001001…001（m-1个001）．

例：已知41整除F（5），试分解F（15）为素因数的积．

解：∵15＝3×5，∴F（3）和F（5）都能整除F（15），即111111111111111＝111×11111k ，

已知41整除11111， 由11111÷41＝271（271是素数），得11111＝41×271，

又111＝3×37，∴111111111111111＝3×37×41×271×k＝1233321×k ，

k＝90090991＝31×2906161，

∴111111111111111＝3×31×37×41×271×2906161．

涉及自然数整除的性质，都知道如下规律：

一个自然数，如果其数字之和被3整除，这个自然数也被3整除；一个自然数，如果其数字之和被9整除，这个自然数也被9整除；

一个自然数，如果奇数字符数字之和跟偶数字符数字之和相等，或两者的差被11整除，这个自然数也被11整除；

因为1001＝7×11×13，一个自然数如果被1001整除，这个自然数也被7×11×13整除，当然也被7、11、13整除．

有了以上常用的自然数整除的性质，再加上上文中提到的这两个性质，试证明下面的结论：

（1）纯元数1111…11中，如果1的个数是偶数，那么它能被11整除；

（2）纯元数111…111中，如果1的个数能被3整除，那么它能被111整除．

推论：F（km）＝111…11×100…0100…0100…01…00…01，其中：111…11有m个1，共1−k个“00…01”，“00…01”里有1−m个0．

如　F（15）＝111111111111111＝111×1001001001001＝11111×10000100001，

F（42）＝1111111×100000010000001000000100000010000001（m＝7，k＝6）．

有了这些基本的规律，我们就可以使用计算机的32位计算器，分段分解64个以下的大多数纯元数．

例：将F（42）＝111111111111111111111111111111111111111111分解为素因数的乘积．

解：∵42＝6×7，

∴F（42）＝111111×1000001000001000001000001000001000001，　　　①

　　　　　（1后边有6个000001，111111的素因数都是F（42）的素因数）

F（42）＝1111111×100000010000001000000100000010000001，　　　　 ②

　　　　　（1后边有5个0000001，1111111的素因数都是F（42）的素因数）

已知　111111＝3×7×11×13×37，1111111＝239×4649，

因此， 3、7、11、13、37、239、4649都是F（42）的素因数，但是并不是全部！

用这些素因数依次去除F（42）所得到的商，再进行素因数分解，可以得到F（42）的素因数分解．

当然用3×7×11×13×37×239×4649＝123456654321去除F（42），对所得到的商再进行因式分解，同样可以得到F（42）的素因数分解．

F（42）＝ 111111111111111111111111111111111111111111

　　　 ＝ 3×7×7×11×13×37×43×127×239×1933×2689×4649×459691×909091×10838689．

如果用①的111111去除②后边的数100000010000001000000100000010000001，即

100000010000001000000100000010000001÷111111＝900000990000999000999900999991

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝7×43×127×1933×2689×459691×909091×10838689，

所得到的素因数都是F（42）的素因数，就可以找到全部F（42）的素因数．

后面这种方法，因为除数111111结构简单，做除法比较方便！

据此，我们又可以得到纯元数的各种分解，每个等式都可以演化成等式队列，从而构建你的数字大厦．它们都是由0与1两个数字组成，但是并非二进制数，而都是十进制数！

F（24）＝111111111111111111111111

　　　 ＝11×10101010101010101010101＝111111111111×1000000000001

　　　 ＝111×1001001001001001001001＝11111111×10000000100000001

　　　 ＝1111×100010001000100010001＝111111×1000001000001000001，

F（30）＝111111111111111111111111111111

　　　 ＝11×10101010101010101010101010101＝111111111111111×1000000000000001

　　　 ＝111×1001001001001001001001001001＝1111111111×100000000010000000001

　　　 ＝11111×10000100001000010000100001＝111111×1000001000001000001000001．

我们构建了数字大厦：

11111111＝11×1010101

22222222＝11×2020202

33333333＝11×3030303

44444444＝11×4040404

55555555＝11×5050505

66666666＝11×6060606

77777777＝11×7070707

88888888＝11×8080808

99999999＝11×9090909

111111111＝111×1001001

222222222＝111×2002002

333333333＝111×3003003

444444444＝111×4004004

555555555＝111×5005005

666666666＝111×6006006

777777777＝111×7007007

888888888＝111×8008008

999999999＝111×9009009

111×1001＝111111＝11×10101

111×2002＝222222＝11×20202

111×3003＝333333＝11×30303

111×4004＝444444＝11×40404

111×5005＝555555＝11×50505

111×6006＝666666＝11×60606

111×7007＝777777＝11×70707

111×8008＝888888＝11×80808

111×9009＝999999＝11×90909

1111111111＝11×101010101

2222222222＝11×202020202

3333333333＝11×303030303

4444444444＝11×404040404

5555555555＝11×505050505

6666666666＝11×606060606

7777777777＝11×707070707

8888888888＝11×808080808

9999999999＝11×909090909

1001001001×111＝111111111111＝11×10101010101

2002002002×111＝222222222222＝11×20202020202

3003003003×111＝333333333333＝11×30303030303

4004004004×111＝444444444444＝11×40404040404

5005005005×111＝555555555555＝11×50505050505

6006006006×111＝666666666666＝11×60606060606

7007007007×111＝777777777777＝11×70707070707

8008008008×111＝888888888888＝11×80808080808

9009009009×111＝999999999999＝11×90909090909

11111111111111＝11×1010101010101　9090909090909×11＝99999999999999

22222222222222＝11×2020202020202　8080808080808×11＝88888888888888

33333333333333＝11×3030303030303　7070707070707×11＝77777777777777

44444444444444＝11×4040404040404　6060606060606×11＝66666666666666

55555555555555＝11×5050505050505　5050505050505×11＝55555555555555

根据随书光盘中提供的材料，您就可以用计算机上的计算器，演算F（4）到F（22）分解成素因数的乘积，选取您喜欢的数据，制造等式队列并且构建您的数字大厦．

如果有时间，还可以用上面给出的性质，使用计算机的32位计算器．选择F（60）以内的纯元数进行分解素因数．

★纯元数构建等式队列的素材详见随书光盘