均匀设计表的设计

5.3.4　均匀设计表的设计^＊

从均匀实验设计理论和方法提出以来，出现了很多均匀实验设计表，对于水平数不是很大（q＜13）的均匀实验设计，可以在相关的参考书籍中查到均匀表及其适用表。当水平数较大时，查不到其均匀表。可以采用好格子点方法设计均匀表。

由于均匀设计表中的水平数q＝实验次数n，故将均匀设计表U中的水平数和实验次数均用n表示。每个U表可看作是一个有n行m列的矩阵，其每一行代表一个实验方案，每一列由｛1，2，…，n｝的不同排列组成（m为U表最多可考虑的因素数）。采用好格子点法构造U表的步骤如下。

（1）对于给定的n与m，寻找比n小的整数h，且使n和h的最大公约数为1。符合这些条件的正整数组成一个向量h＝（h₁，…，h_m）。

（2）均匀设计表的第j列由下法生成

这里［modn］表示同余运算，若jh_i超过n，则用它减去n的一个适当倍数，使差落在［1，n］之中。u_i，j可以递推来生成

用上述步骤生成的均匀设计表记作U_n（n^m），向量h称为该表的生成向量，有时为了强调h的作用，可将U_n（n^m）记成U_n（h）。给定n，相应的h可用上式方便地求得，从而m也就确定了。所以m是n的一个函数，这个函数曾由大数学家欧拉研究过，称为欧拉函数，记为E（n）。这个函数告诉我们均匀设计表最多可能有多少列，即U表中最多可包含多少实验因素。

根据数论理论分析，E（n）可由以下三种情况决定。

第一种，如果n是个质数，则

第二种，若n是一个质数的n次幂，即n＝s^k（s是一个质数，k是一个常数），则

第三种，若n不满足上述两个条件，则n必可表示成不同质数的幂的乘积，即n＝是一组不同的质数，k1，k2，k3，…，kq是一组整数）。

质数n可限定最大的实验因素数m＝n－1，但根据方程（5－18）与方程（5－19），m总是小于n－1。

若把U表的每一行看成是实验因素空间的一个点，则U_n（n^m）给出了m维空间下的n个实验点，这些点的坐标由｛1，2，…，n｝组成。为方便起见，用线性变换将｛1，2，…，n｝均匀地变到（0，1）之间，如下

若用q_ki表示U_n（n^m）中的元素，则方程（5－20）的变换等价于令

根据方程（5－21）与方程（5－22），所有n个实验点变换成［0，1］^m＝C^m中的n个点：x₁，…，x_n。考核原n个实验点的均匀性，等价于考核x₁，…，x_n在C^m的均匀性。

上述好格子点均匀表设计算法的MATLAB函数如下。

function［h，u，ustd］＝uniform（n）

%采用好格子点法设计均匀表的自编函数

% u是生成的均匀矩阵

%ustd是处理后各点都在［0 1］之间的U矩阵

ustd＝（2＊u－1）/（2＊n）；%对实验点进行处理，使之都在［0 1］之间

%程序结束

当实验因素数小于m时，由于Un（nm）的不同列组成的实验方案不同，此时应选择具有最好均匀度的实验点（即均匀表的使用表所推荐的列），需要对所有可能的实验方案在m维空间组成的实验点的均匀性进行评价，这涉及复杂的数学计算与理论。因此，构造均匀表不难，难的是如何给出其使用表。