点兵场上的神算术
我国汉初的一代名将韩信，非常善于带兵。传说有一天，他在一名部将的陪同下，检阅士兵的操练。当全体士兵编成三路纵队时，韩信问：“最后一排剩多少人？”部将报告：“排尾剩下2人”，当队伍编成五路纵队时，韩信又问：“最后一排剩几人？”答说：“剩下3人”，最后韩信又下达了队伍编成七路纵队的命令，并得知排尾依旧余有2人。
韩信像
韩信在编队结束后突然问到：“今天有多少将士参加操练？”部将回答说：“今天上场操练的应当有2 345人。”韩信想了一想说：“不对吧，场上实际只有2 333人，比你报的数字要少12个。”部将半信半疑，下令重新清点队伍，结果果然是2 333人，一个不差，于是惊服。当部将问韩信是怎样得知准确数字时，韩信笑着说：“我是根据你刚才报的编队排尾余数算出来的。”
上面讲的就是著名的“韩信点兵”的故事。故事的情节无疑是后人杜撰的，但点兵场上的神算术，却包含着深刻的科学道理。它源于公元2世纪我国古代的一部算书《孙子算经》。
《孙子算经》里有这样一道题：有个数字，用三除余数是二，用五除余数是三，用七除余数又是二。现在问这个数究竟是什么数字？由于这道题融趣味性和困难性于一体，使得它在千百年的历史长河中，演化出许多颇带神秘色彩的名字：诸如“鬼谷算”“神奇妙算”“简管术”“秦王暗点兵”“大衍求一术”等等。这些无从查考的名字，除最后一个外，实在都与问题的本身风马牛不相及。
《孙子算经》为这道题提供了以下答案：先把5和7相乘，再乘2，得出70，用3除余数是1；再用3和7相乘，得出21，用5除余数又是1；再用3和5乘得出15，用7除余数也是1。然后把用3除所得的余数2和70相乘，得出140；把用5除所得的余数3和21相乘，得出63；把用7除所得的余数2和15相乘，得出30。再把以上所得的140，63，30三者加起来，得233。由于3×5×7＝105，所以233扣去两倍的105，得到数23。它正好符合题意。所以23就是“物不知数”问题的最简答案。
以上算法可以归纳为两个式子：
70×2＋21×3＋15×2＝233
233－105×2＝23
我国明代数学家程大位于1593年在《算法统宗》一书中，还把《孙子算经》上的方法，概括为一首颇妙的诗：
“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；
七子团圆正半月，除百零五便得知。”
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