数是存在的

最后这几章考察数学哲学中的一些当代立场，作为这个学科当前状况的一些例子。我要向那些被我忽略的观点的拥护者（当然也向那些被我介绍错了的观点的拥护者）道歉。围绕数学可应用性的那些问题现在更受关注，也许，数理逻辑的进展已经被吸收并被用来服务于哲学的议题。

粗略地说，当代数学哲学（在某种程度上还有形而上学和认识论）有两大流派。一派认为数学断言应该多少从字面上理解，即“表面意义”。零是自然数是一个算术公理，而对任何自然数n，存在一个自然数m>n，m是素数是一条算术定理。合在一起，它们蕴涵存在无穷多素数。也就是说，有无穷多素数存在。类似地，有集合存在，等等。第一派的成员在直接的、字面的意义上理解这些。只有一种类型的“存在”，这种类型的存在对数学和日常话语的可应用性是相似的。就像存在爆出性丑闻的总统，也存在素数。

根据类似排中律这样的原则及其相关推论（见前一章的第1节），这派哲学家的大多数认为数、集合以及等等独立于数学家的心灵、语言和约定而存在。用当前的话说，第一派的成员是本体论实在论。

众所周知，这一派面临着严重的认识论问题。例如，人类对数学对象的任何认识是如何可能的？对于我们关于它们的断言是真的这一点，我们能抱有什么样的信心？

第二派是第一派的对立面。如果从字面理解数学的话，它的成员对数学持怀疑态度，不过他们接受数学在我们整个理智生活中的重要性。所以他们尝试重新系统阐述数学，或某种扮演了数学角色事情，而不用到数学实体。这第二个艰巨任务的要点在于，如果不断言像集合和数这样的抽象对象的存在，我们还能走多远。

本章涉及第一派的成员，本体实在论者。这里被考虑的人们也都是真值实在论者，他们认为数学命题的大多数要么真要么假，是客观的，独立于数学家。简而言之，我们的实在论者认为数学家想说的就是他们所说的，而数学家所说的，绝大部分，都是真的。前面遇到的本体实在论者有柏拉图（第2章，第2节）、弗雷格（第5章，第1节）以及新逻辑主义者怀特和海尔（第5章，第4节）。