行列式的历史

在历史上，最早引入行列式概念的是日本“算圣”关孝和。几乎与其同时，西方著名数学家莱布尼兹也引入了这一概念。在这一节，我们将对这两位数学史上著名人物的生平、数学业绩及在行列式方面所做的工作做一简要介绍。最后，我们将简要介绍一下在两人之后行列式概念的发展。

关孝和（约1642～1708），姓关名孝和，又名新助，字子豹，号自由亭，日本著名数学家、天文学家、数学教育家。

关孝和出生于一武士家庭，本名叫内山孝和，后来过继给姓关的人当养子，所以改姓关并继承关氏家业。关孝和自幼聪明异常，从小就显示了数学天赋，尤其擅长计算。后世流传着很多关于他小时候数学天才的故事。据说他6岁时就指出了大人计算中的错误，深感惊讶的大人们称他“神童”。另一个故事说，他9岁时看见仆人在学吉田光由的《尘劫记》。当仆人被书中某个问题搞糊涂时，他告诉了仆人正确的答案。

（日本学士院所蔵关孝和画像）

关孝和后来曾长期在江户（今东京）做德川幕府贵族家臣，掌管财赋，直到1706年退职。有一些轶事就发生在这一时期。据说有一次，他为主人的事情出门。他坐在轿子上，一路观光，关注沿途的方向、路程、景物、高度和洞穴，然后根据这些观察画了张详细而精确的地图，主人称赞说，“尽管他像武士出游，却像地理学家一样观察。”还有一则故事说，中国皇帝送给他的主人一台精美的时钟，到点时，有个小人儿出来敲钟。几年后，时钟的机械坏了，小人儿不敲钟了。当地最能干的工匠都被招来修钟，但无济于事。关孝和听说后，自告奋勇把钟带回家，很快就将完好如初的时钟送还给了主人。

在关孝和生活的年代，具有自己特色的日本传统数学才刚起步不久。

日本传统数学曾深受中国数学的影响。6世纪，中算第一次传入日本。8世纪，日本仿照隋唐时期的数学教育制度设立算学博士并采用包括《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》等在内的《算经十书》作为教材。然而，在其后很长时间内，日本都没有产生重要的数学家与有价值的数学成果。直到17世纪，一方面，伴随城市手工业和工商业的发展，社会对数学的要求日益迫切，形成了很盛的学习数学的风气；另一方面，《杨辉算法》（1378，宋代杨辉著）、《算学启蒙》（1299，元代朱世杰著）、《算法统宗》（1592，明代程大位著）等中算著作陆续传入日本，日本数学终于赢来了自己的繁荣期，并逐渐形成了具有自己特色的日本传统数学：“和算”。

“日本从中国得到好多东西，江户时代的和算是从学习《算法统宗》开始的”。1622年，日本出版了第一部印刷本数学专著，即毛利重能编写的《割算书》，其内容即受《算法统宗》影响，主要介绍珠算。1627年毛利重能的弟子吉田光由（1598～1672）出版《尘劫记》。书中许多内容也源自《算法统宗》，只是其中许多例题根据日本的实际情况做了改写。它的出版使珠算在日本迅速得到普及。作为日本数学史上最重要的数学著作之一，《尘劫记》对当时及以后日本数学的普及、提高具有重大作用。在1641年新编《尘劫记》小型三卷本中还首次出现了日本数学的一种特有形式：遗题。所谓遗题是作者在书中提出的自己无法解答的问题。由于是作者无法解答的问题，所以对读者有很大的吸引力。解出遗题的人不仅可以把答案公布于众，而且有权提出新的遗题与答案一起公布。这样的做法也叫“遗题承继”。随着遗题的继承和发展，问题的难度也越来越大。遗题承继后来在和算中形成风尚，前后延续达170多年，它使和算逐渐超越实用的领域，而迈向高深数学的研究，对日本数学的发生与发展产生了极大的刺激作用。

同时期还有几本著作是专门介绍和解释《算学启蒙》（1299）的，此书是元代数学家朱世杰的一本数学启蒙读物，内容涉及四则运算、面积体积计算、线性方程组、开方法等多方面的数学知识，其中也包括对“天元术”的介绍。住在京都的日本数学家泽口一之还以《算学启蒙》为蓝本，写了一本日文的《古今算法记》（1671）。由此，作为中国宋元时期最重要数学成就之一的“天元术”也引入日本，各种繁难的数学问题在日本逐渐得到研究。

然而，具有日本特色的和算直到关孝和出现才得以真正建立。事实上，作为日本古代数学史上最著名的数学家，关孝和可称为和算的真正奠基者。而其创立的关氏学派（也称“关流”）绵延数百年，成为和算的一个最大学派。也正是17世纪70年代之后，随着关孝和及其学派的出现，日本数学开始进入兴旺发达时期。

关孝和一生完成著作20余种，生前发表的仅有《发微算法》（1674），去世后又由学生整理出版了一部《括要算法》（1709年写成序、跋，1712年出版）。其余都没有正式出版，而是以抄本形式秘传，如《三部抄》（包括《解见题之法》、《解隐题之法》、《解伏题之法》）、《七部书》等。1974年，《关孝和全集》编纂出版，收录其全部著作26种。

关孝和在数学上取得的成果非常多，我们下面简单罗列重要的几条：改进了中算中的天元术，开创了和算独有的笔算代数；开创了“圆理”研究（圆理是和算的最高成就，是和算家在传统方法上得到的一种在算理上类似于微积分的数学方法，被称为东方微积分。早期和算圆理研究主要是关于圆周率、弧长、圆和弧的面积、球以及球缺的体积等计算问题，后演化为曲线和曲面的求积法）；给出勾股定理的新证法，得到椭圆的面积公式，研究了如何求阿基米得螺线长；开创了关于正多边形计算的新领域——“角术”，即研究正三角形至正二十边形的各正多边形中内切圆半径、外接圆半径以及边长之间的代数关系；将中算中的“三差之法”推广为一般的招差法；在高阶等差数列求和方面发展了中国宋元时期的垛积术，给出了求“乘方垛”和（即1p+2p+3p+……+np）的一般公式，并且在推导这一公式中得到了现在所称的“贝努利数”；创立“零约术”，并用它解释了祖冲之密率的由来；发展了杨辉的翦管术，讨论并解决了更一般的同余式，完善了一次同余式组的解法；在对数字高次方程解法研究中，发展、完善了秦九韶法，并提出另一种类似于“牛顿迭代法”的方法，在此过程中，发现了负根、虚根，探讨了方程正负根的个数问题，提出了判别式概念和相当于多项式函数导函数的多项式；在线性方程组的研究中，提出解线性方程组的消元法，创立了行列式理论，通过行列式变换求解方程；探讨了各种幻方的构造规律；解决了日本广泛流传的“继子立”问题……这些推陈出新的研究表明，深受中算影响的关孝和已摆脱了日本数学家单纯介绍中国数学的束缚，而具有了自己独特的东西。

对这些研究成果，特别值得一提的是，关孝和独立得出了许多与当时西方数学类似的结果，有些在理论广泛性与时间上还略领先于西方。如他在《括要算法》（1712）中得到著名的贝努利数（贝努利在1713年的名著《猜度术》中发表同样结果）；在《括要算法》（1712）中得到求弧长插值公式（牛顿的求弧长插值公式发表于1711年）；建立了行列式概念及初步理论（1683），而西方最早的行列式概念由莱布尼兹于1693年引入。

由于其杰出的数学成就，关孝和在日本被尊称为算圣。而日本著名数学史家三上义夫称他为“日本的牛顿”。出生时间的巧合与两人的一些相似之处使这一称谓恰如其分：同关孝和一样，牛顿恰好也出生于1642年（儒略历）；关孝和与牛顿一样，自学掌握了大部分知识，两人都不但喜欢数学，是解题能手，也都精于机械；关孝和创立了圆理，这相当于东方的微积分，而牛顿则发明了西方的微积分，两者的微积分都有待后来数学家的改进和发展；牛顿生前被封爵士，关孝和死后获得皇家的封赏（1907年，天皇追赠他日本学者的最高荣誉）。

关孝和不仅是一位数学家，同时还是一位著名的数学教育家。关孝和本人一生中亲授弟子有数百人，他们及其弟子、再传弟子等构成了和算的一个最大的学派：关流。为培养弟子，关孝和创立了一种独特的教育方式和教学模式。他的基本方式是把学生按具体学识分为五个等级分别进行集中指导，每一级都规定有相应的具体教学内容和具体教材，每一级完成学业后发给相应的“免许证”，即现在所谓毕业证，免许有五个段位——“见题免许”、“隐题免许”、“伏题免许”、“别传免许”、“印可免许”，只有前一段学完获得免许证之后才能进入下一段的学习，后来这种方式不断发展，成为关流严格的教育制度——五段免许制。只有获得所有五段的免许证后才可以被称为“关流第几传”弟子。从历史上看，由关孝和创立并后来得以完善的五段免许制体系，还保证了和算研究总体上能实现代际传承，避免了大规模知识失传现象，对日本和算的发展产生了积极的影响。

在第一编第二章中，我们曾简单介绍了关孝和在方程数值求解方面的工作，下面我们将介绍他的另一项重要成就：行列式的引入。

为了介绍关孝和行列式的工作，我们首先要从他对和算革新的发明——“傍书法”——说起。

上面已经提到，在包含“天元术”的《算学启蒙》一书传入日本后，日本数学家泽口一之在深入研究此书的基础上，1671年出版了《古今算法记》。在自己的书中，泽口一之利用天元术解决了许多数学问题，并在书末提出了15个遗题，考虑到天元术的局限（必须用算筹排布，因而无法方便地处理未知数参与运算等），他认为这些问题无法用天元术解答。

在潜心研读《古今算法记》后，关孝和试图解决作者留下的15个遗题。关孝和同样意识到问题难解是由于天元术本身存在的局限。为此他独辟蹊径，发明了笔算方法，称为“傍书法”，并以此为基础得出一种消元的方法，称为“天元演段术”，从而圆满解决了这15个用筹算天元术无法解决的问题。关孝和把自己的解答写在他《发微算法》（1674）一书中。然而，当书出版时，由于只留下问题和结果，没有给出具体演算过程，所以当时的人们难以理解其解法，以致有人认为他的结果是编造出来的。1680年，当时的一位日本数学家佐治一平竟写成《算学详解》指出《发微算法》中解的“错误”并给予“订正”。为反击这类批评，关孝和的弟子建部贤弘完成并出版《发微算法演段谚解》（1685），书中对关孝和的傍书法演段术作了详细解说，并使之传播开来。我们下面先简单介绍一下关孝和发明并首次见于其秘传著作《解见题之法》的傍书法。

所谓傍书法即在一条短竖线旁边写上文字作为记号来表示数量关系的一种方法。例如，“甲加乙”、“甲减乙”、“甲乘乙”、“甲除以乙”分别写成“｜甲｜乙”、“｜甲乙”、“｜甲乙”、“乙｜甲”。而甲2，甲3，甲4……依次写成，巾是幂的简略写法；“甲开平方”写成。数字系数多用筹式数字，如“3甲”写成｜｜｜甲（后来直接写为甲三）。

我们举两个例子看看如何用这套符号来表示文字方程。如方程甲-乙×x+丙×x 2+丁×x 3=0可表示为：｜甲乙｜丙｜丁。

如果一个方程有两个未知数，如2y3+5xy2+7x2y+3x3=0，就用“甲”代替y，整个方程表示为：。

对已经熟悉a+b, a-b, ab, a2，a3，√a……更简练代数符号的现代人来说，关孝和的傍书法仍然显得烦琐。但这种采用独特的汉字加短线的记号，在当时确是一种独创。它的优点是明显的，它将复杂的筹算布式以简单的文字算式表述出来，克服了“天元术”的缺点，突破了中国古代“四元术”中元数限制，也比筹的运算简便了许多。在数学史家看来，这种笔算代数的问世与使用，堪称和算史上的一大特色，也是日本和算在中国传统数学基础上产生质的飞跃的原因。确实，和算之所以能在继承中算的基础上取得众多优秀成果，是与它使用这种较先进的符号系统密不可分的。事实上，关孝和之所以能引入行列式，正是建立在他所发现的“傍书法”基础之上的：由于“傍书法”可以表示含有两个或者多个未知数的方程，因而“消元”就有了可能，这使得关孝和能够用消元法解方程组，从而得出他的行列式理论。

关孝和在行列式方面做出的发现，最早记录在《解伏题之法》（1683）中。书中介绍了一系列以傍书法为基础的算法，他称之为“天元演段术”。这种演段术，是一种通过引进辅助未知数，解联立高次方程组的方法。在此过程中会出现两个重要问题。一是，由于除目的未知数（称作真数）外还要引入多个辅助未知数（称为虚数），于是就需要消元。二是，消元后会出现一元高次方程。对后者的处理刺激了日本方程理论的发达。而为了解决前者即消元，关孝和则发明了联立高次方程组的行列式解法。

在《解伏题之法》中，关孝和将其整个算法分为五个步骤：真虚、两式、定乘、换式、生尅。其过程可简要描述为：

第一步：根据条件引入辅助未知数建立多元方程组。

第二步：对方程组实施一系列同解变换得到n个方程联立的n-1次齐次方程组。

第三步：进行n阶行列式运算。

为实现第一步与第二步，关孝和在傍书法基础上引入了许多种方程变换的方法：略、省、约、缩、叠、括等。通过这些方法，他最终导出n个关于x的n-1次齐次方程，这些方程都写成标准形式，即方程右边为0（所谓齐次即是指方程组右边的数都为零），左边按x的升幂排列，而x的幂的系数都是另一未知数y的多项式。这n个方程被关孝和称为“换式”。比如，2个方程联立的关于x的一次齐次方程组可表示为：；3个方程联立的关于x的二次齐次方程组可表示为：。

通过以上两步，求解多元方程的问题就转化为求解由换式构成的方程组了。由于x的幂的系数都是另一未知数y的多项式，下面的事情就是把方程组中所有含x及x幂的项消去，从而最终得到由x的幂的系数表示的等式，即关于未知数y的一个一元方程。

以简单的为例。在这个由2个方程联立的一次齐次方程组中，需要做的事情是消去x。这比较简单：（2）×a-（1）×c，即可消去x，并得到ad-bc=0，这个等式中的项是含有未知数y的式子，因此它表示了y的一元方程。

下面，我们再看关孝和处理过的较复杂的由3个方程联立的二次齐次方程组的情况，即要消去下面方程组中所有含x及x2的项。

关孝和的处理方法是：（1）式分别乘以eg，-dh；（2）式分别乘以ah，-bg；（3）式分别乘以bd，-ae，于是共可得到如下6个式子：

将这6个式子相加，会发现含有未知数x, x2的项都已相消，剩下的6个项ceg，-cdh, ahf，-bgf, bdk，-aek的和为0[事实上，它与我们上一节介绍的稍微简便些的消元方法是完全相同的：（1）式乘以（eg-dh）；（2）式乘以（ah-bg）；（3）式乘以（bd-ae），然后把得到的3个式子相加]。而ceg-cdh+ahf-bgf+bdk-aek=0这一等式中的项是含有未知数y的式子，因此它表示了y的一元方程。

至此，结合上一节的介绍，稍加观察即可注意到ad-bc=0的左边恰好是二阶行列式的展开式，而ceg-cdh+ahf-bgf+bdk-aek=0的左边则恰好是三阶行列式的展开式。

关孝和还讨论了由4个方程联立的三次齐次方程组消元问题，即要消去下面方程组中所有含有x、x2、x3的项。

类似的，关孝和通过上述4个式子分别乘以一些数，最终得到24个方程，这些方程的和相加可以消去x, x2，x3。而同时，24个项的和也是零。而这24个项之和恰好是我们已定义过的四阶行列式的展开值。

就这样，在对n个关于x的n-1次齐次方程消元中，关孝和极其巧妙而自然地引入了行列式概念。而且显然，在有了行列式概念后，只要令相应行列式值为0，即可实现消元的目的。这就大大简化了上面烦琐的消元过程。这促使关孝和对行列式本身做了进一步的研究，探讨了行列式展开的一般方法。

对此，我们在上一节中已经介绍了一种现代的处理方法，与之相比关孝和的处理方法要复杂得多。他给出的第一种计算行列式值的方法称为逐式交乘法。其基本思想即上面刚介绍的：对行列式的各行分别乘以适当的式子，再将各列元素相加，直到除第一列外，其余各列元素的和均为零，这时第一列元素的和即为行列式的值。这种方法除烦琐外，当行列式阶数较高时，要看出各行要乘的因式也显然不容易。“相乘之数位繁多而不易见，故以交式斜乘代之”。于是，关孝和又给出了另一种计算行列式的方法：交式斜乘法。在用这种方法展开行列式时，要通过“交式”、“斜乘”两步骤。

我们先简单说明一下“斜乘”。用关孝和书中的表述即：“交式各布之，从左右斜乘而得生尅也。以左斜乘为生，以右斜乘为尅”。结合关孝和给出的如下“斜乘”图示，很容易理解这一规则。其中，“生”代表符号取“+”，“尅”代表乘积符号取“-”。可以注意到，关孝和斜乘各项符号与现在行列式展开符号相反。

显然，当行列式为二阶时，按这种对角线展开行列式可得到2项（其中一个左斜乘取负，一个右斜乘取正）；当行列式为三阶时，按这种对角线展开行列式可得到6项（其中3个左斜乘取负，3个右斜乘取正）。在这两种情况下，都可以得到行列式展开后的全部项。但问题是，当行列式为三阶以上，比如说四阶时，按这种对角线展开只能得到8项（其中4个左斜乘取负，4个右斜乘取正）。如何得到展开的全部项（如我们已经知道的，四阶行列式展开全部项应有24项）呢？关孝和给出的方法是：先逐次交换行列式的行，然后再斜乘。那么，按照什么方式或规则交换行列式的行呢？为此，关孝和又给出交式以及交式的构造步骤。对其构造步骤我们不再介绍，我们只提一下根据其步骤可以得到的结果。如下所示，是关孝和书中给出的换三式与换四式的交式表。

表中汉文数字表示方程序号，相当于行列式之行号。因此，换三式的交式表是说，三阶行列式“交式”只有一种，因此可以按对角线方式展开即可得到全部项。换四式的交式是说，四阶行列式“交式”有3种：第一种是按方程组最初的位置排列；第二种是，原来方程组的第一行位置不变，第二行换成第三行，第三行换成第四行，第四行换成第二行；第三种是，原来方程组的第一行位置不变，第二行换成第四行，第三行换成第二行，第四行换成第三行。“交式各布之”，然后对每一种“交式”都可以按上面的“斜乘”法则得到8项，于是最终可得到四阶行列式展开式中的全部24项。

关孝和在自己的书中还给出了换五式的交式表，包括五阶行列式的12种交式。再结合他所给出的换五式的斜乘图表，就可以得到五阶行列式展开式中的全部120项。

通过以上介绍，我们看到关孝和在解决高次方程消元问题时，在世界数学史上首次引入了行列式概念，并对行列式的展开进行了深入研究：他讨论了三阶、四阶、五阶行列式交式的构造方法；在得到交式后，他给出了二阶至五阶行列式斜乘规则，最终得到这几种行列式的展开式。这意味着，早在1683年关孝和就阐述了从二阶到五阶行列式的计算方法（不过，他在书中最初给出的换五式有失误）。而且从理论上而言，其交式与斜乘方法可以推广到更高阶的行列式，因此可看做是关于行列式展开的完整的叙述。日本为纪念关孝和的这一数学贡献，曾发行了一张邮票，其中有他计算四阶行列式时所用的图表。

关孝和的这些工作走在世界的最前列，但由于当时缺乏交流，他的这些研究成果长期只限于日本，没有对其他国家的数学产生影响。不久后，一位欧洲数学家莱布尼兹独立发现了行列式，并因之与关孝和共享行列式创立者的荣誉。

在行列式创立中，与关孝和共享荣誉（或者说享有更高荣誉）的是莱布尼兹（1646～1716）。

莱布尼兹

莱布尼兹生于莱比锡一个书香门第，父亲是莱比锡大学的教授，母亲出身教授家庭。耳濡目染，使莱布尼兹从小就十分好学。不幸的是，他的父亲在他6岁时去世，庆幸的是，年幼的莱布尼兹在父亲的教诲下，已产生了读书和学习的强烈愿望。而父亲丰富的藏书更为他的学习提供了良好的便利条件。在年轻时，莱布尼兹就已自学了拉丁文，并沉迷于各种哲学、神学等著作中。

1661年，15岁的莱布尼兹进入莱比锡大学学习法律。在学校中，他又广泛地阅读了开普勒、伽利略等人的著作。1663年5月他取得学士学位；1665年，他提交了博士论文；1666年，因太年轻（年仅20岁）而被拒绝授予法学博士学位。于是，他离开莱比锡转到纽伦堡的阿尔特多夫大学，并于1667年获得该大学授予的博士学位。

结束学业后不久，莱布尼兹担任了美因茨选帝候的外交官。1676年后，汉诺威成了他的永久居住地，他在那里担任不伦瑞克公爵枢密顾问兼图书馆馆长。1679年，不伦瑞克公爵去世，其弟继任爵位，莱布尼兹仍保留原职。新公爵夫人苏菲是他的哲学学说的崇拜者，“世界上没有两片完全相同的树叶”的名言就出自两人的谈话。

莱布尼兹的职业是法律和外交，许多时候他的工作极为忙碌，但他仍然能找到时间钻研各种问题。他善于用访问和通信的方式与人讨论问题、交流思想。他一生中曾与千余人有过书信交往，留下了15000多封信件。在勤奋的一生中，莱布尼兹涉猎了极其广泛的领域，包括哲学、法学、数学、逻辑学、历史、语言学、神学、物理学、光学、地质学、化学、生物学、气象学等，其博学在科学史上罕有所比，被誉为“百科全书式的人物”。更难得的是，他在涉及的这些各个不同的学术领域，都留下了深深的印记，对后世产生了不同程度的影响。罗素因而称他为“一个千古绝伦的大智者”。在他所涉及的每一个领域，他都完成了足够一个普通人干一辈子的事情。

莱布尼兹还是一位科学活动家，他的一些创举使科学获益匪浅。从1695年起，他就一直为在柏林建立科学院而四处奔波。1700年，莱布尼兹终于一手促成了柏林科学院的创建，并出任第一任院长。彼得堡科学院、维也纳科学院也是在他的倡议下成立的。莱布尼兹的科学远见和组织才能，有力地推动了欧洲科学的发展。据说他还曾写信给中国康熙皇帝建议成立北京科学院。

莱布尼兹与中国的渊源不限于此。他对中国的科学文化和哲学思想一直非常关注。对中国有极大兴趣的他，曾交给一位到中国的传教士一份提纲，其中开列了他希望了解的30个条目（包括天文、数学、地理、医学、历史、哲学、伦理以及火药、冶金、造纸、纺织、农学等各种技术）。1697年他编辑出版了《中国新事萃编》，在该书的绪论中他写道：“我们从前谁也不信这世界上还有比我们的伦理更美满，立身处世之道更进步的民族存在，现在从东方的中国，给我们以一大觉醒！东西双方比较起来，我觉得在工艺技术上，彼此难分高低；关于思想理论方面，我们虽优于东方一筹，而在实践哲学方面，实在不能不承认我们相形见绌。”他还强调，中国与欧洲位于世界大陆东西两端，都是人类伟大灿烂文明的集中地，应该在文化、科学方面互相学习，平等交流。

莱布尼兹一生没有结婚，晚年凄惨悲凉。1716年11月14日，由于痛风和胆结石症引起腹绞痛卧床一周后，莱布尼兹离开了人世，终年70岁。弥留之际，陪伴他的只有他所信任的大夫和他的秘书。一位朋友在回忆录中写道，莱布尼兹的“丧事办得更像是埋葬强盗，而不是为这个国家的光辉人物送行。”1793年左右，在汉诺威建立了他的纪念碑；1883年，莱比锡的一个教堂附近竖起了他的一座立式个人雕像；1983年，汉诺威照原样重修了被毁于二战中的“莱布尼兹故居”，以供后人瞻仰。

在莱布尼兹所涉足的众多领域中，数学是其中一个，而且是涉足比较晚的一个。然而，他很快就证明了自己是一个天生的数学家。

1672年，莱布尼兹肩负外交使命出使巴黎，在那里度过了此后4年的大部分时间。在此之前，莱布尼兹对数学只进行了不多的研究，对当时的数学趋势和方向，他基本上一无所知。幸运的是，他遇到了杰出的学者惠更斯。在这位专家的指导下，莱布尼兹很快发现了他自己。初次成功激发了他进一步深入钻研数学的兴趣。在惠更斯的指点下，他开始认真研究数学。通过自学卡瓦列里、巴罗、帕斯卡、沃利斯等人的著作，他迅速走到数学的前沿。在巴黎的4年是他在数学方面“发明创造的黄金时代”。在这期间，他构想出他最重要的数学成就——微积分的主要特征，并于1684年、1686年先后发表两篇关于微积分的划时代论文，从而与牛顿共享微积分创建者的殊荣。除独立创建微积分外，莱布尼兹还在多方面发展了这门新的数学分支。

在微积分这一最突出的成就之外，莱布尼兹系统阐述了二进制计数法，并用它的这一发现理解中国古老的易图，发现易图结构可以用二进制数学予以解释；提出符号逻辑思想，指出发明“推理演算”和逻辑代数的重要性，并为此做了一些超越于时代的工作，从而引导了后来的数理逻辑；他还是制造计算机的先驱。1673年，在对伦敦短暂访问期间，27岁的莱布尼兹向人们展示了一台能够执行加减乘除四种基本运算的计算机模型。他对组合、线性方程组、行列式也都进行过研究。正如后人所评价的：莱布尼兹集数学思想的两个宽广的领域（分析和组合，或连续和离散）中的最高能力于一身。他是数学史上唯一的一个在思维的两方面都具有最高能力的人。由此，我们或许能理解数学之王高斯的遗憾：莱布尼兹把他研究数学的伟大天才，浪费在各种各样的学科中了。没有人能希望在所有这些学科中都是最杰出的，而按照高斯的看法，莱布尼兹在数学上拥有最高的才智。

莱布尼兹还是历史上最伟大的符号学者之一。他确信，选取恰当的符号并且定出它们的操作规则是极为重要的。他认识到，好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他自觉和格外慎重地引入每一个数学符号，常常对各种符号进行长期的比较研究，然后再选择他认为最好的、富有启示性的符号。他所创设的符号如：除号“a/b”、相似符号“∽”、全等符号“≌”、交符号“∩”、并符号“∪”等都被沿用至今。特别是在微积分中，莱布尼兹发明的一套适用的符号系统，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号大都是当时莱布尼兹精心选用的。

在下面，我们所要介绍的是这位数学天才的重要发现之一：行列式概念。

莱布尼兹关于行列式的思考与研究被记录在两封写给朋友的信中。在1693年4月28日致法国数学家洛比达的信中，莱布尼兹写道：“我引进方程：

此处，在两个数码中，前者表示此数所属的方程式，后者代表此数所属的字母（未知数）。”为了避免误解，我们有必要解释一下：上面方程组中出现的10、11、12、20、21、22、30、31、32都不是通常意义上的数字，而是用来标明方程系数的符号。如10相当于现在的a10、11相当于现在的a11……简单说，莱布尼兹创设了采用两个数码的系数记号，类似于现在我们所使用的aij。因此，莱布尼兹所引入的方程用现在我们更熟悉的记号可表示为：

对引入这种双码标记处理方程组的好处，莱布尼兹也有清楚的认识：“这样，在进行计算时，我们会看到其美妙之处，它不仅能便于检验核查，而且能够使我们意识（到计算中的）某些规则、定理。”

可以看到，莱布尼兹研究的方程组是一个包含三个方程与两个变量的齐次线性方程组。而他所要探讨的是，如何消去这种方程组中的所有未知数。

为此，他先从方程（1）、（2）中消去y，得到的结果用现代记号可表示为：

随后，他又从方程（1）、（3）消去y，得到的结果用现代记号可表示为：

进而，莱布尼兹又从方程（4）、（5）中消去x，得到的结果用现代记号可表示为：

至此x、y都已消去。

在另一封未标年代但很可能要早得多的信（一般认为这信写于1678年）中，莱布尼兹还对自己这方面的工作做过更一般性的说明。信中他指出：“在任何一个一次方程组中，若方程式的数目比未知数的数目多1，我有一个消去其所有未知数的法则。

这个法则如下：考虑系数的所有可能的乘积，在每个乘积中，所用的系数不能有两个选自同一方程式也不能有两个属于同一个未知数。在这些乘积中，每个乘积都须按照下面将要叙述的法则来决定符号。然后，将这些乘积加起来，令其和为0，这样所得等式就是消掉所有未知数的结果。

而符号法则是这样的：选择其中任意一个乘积（其符号定为正或负均可），对于其他的乘积，若其因数与选定之乘积有2、4、6……（即偶数）个因数不相同，则符号与选定之乘积的符号相反；若有3、5、7……（即奇数）个因数不同，则符号与选定之乘积的符号相同。

然后莱布尼兹给出了1693年信中的例子：对

而言，使用上述法则（根据第一部分法则可以确定出现的6个乘积，根据第二部分符号法则可以确定每个乘积的正负）可以直接得到1693年信中通过消元得到的同样结果：

对最后他得到的结果，如果用现代符号与术语表示就显得更清楚了，事实上这一等式相当于三阶行列式。而其给出的消去所有未知数的法则与相关的符号法则则相当于给出了行列式展开的一般方法。

莱布尼兹的工作还可以做另一种理解。如上面已说明的，莱布尼兹探讨的是含有三个方程两个未知量的方程组。在这类方程组中，由于方程个数比未知数的个数多，未知数就受到更多的限制，从而可能不存在同时满足所有方程的解，即方程组可能无解。当然，这类方程组也可能有解。简单说，当方程组的个数比未知数个数多一个时，方程组不能保证一定有解。那么，什么条件下能保证解存在呢？莱布尼兹的发现相当于给出了一个确定这类方程组是否有解的判别办法。具体而言，即当由方程组的各系数组成的行列式为0时意味着存在一组x和y，满足所有的三个方程；而当这一行列式不为0时，就不存在同时满足这三个方程的x, y。

由此可见，莱布尼兹不仅引入了行列式概念，而且在此过程中还得到了许多深有意义的结果：提出一种新的记号，即使用指标数的系统集合来表示方程组的系数；给出了上述方程组有解的必要条件（由各系数组成的一个行列式为0）；给出了行列式展开办法，迈出了行列式理论研究的重大一步。莱布尼兹独立得到的这些重大结果，开创了行列式的新领域，使他足以与关孝和共享行列式开创者的荣誉。

关孝和最早提出了行列式概念，然而他的思想在当时没有传播到欧洲。因而长期不为西方数学界所知。差不多同时，德国著名数学家莱布尼兹重新发现了这一概念。遗憾的是，莱布尼兹的独创性研究同样未对行列式后来的发展产生影响。因为，莱布尼兹的结果只记录在他的信中，一直没有公开发表。于是，在长达100多年的时间里莱布尼兹这方面的研究也鲜为人知。直到1850年，莱布尼兹与洛必达的来往书信公开，尤其是1863年他的遗作集整理出版以后，人们才了解了他在这方面取得的重大成就。于是，在关孝和与莱布尼兹开创性研究之后，行列式理论还要等若干年后由其他数学家重新发现。

先是1729年，英国数学家马克劳林（1698～1746）最早用行列式方法解含有两个、三个和四个未知量的线性方程组，并得到了与克莱姆法则一致的结果。马克劳林生前没有公布自己的这一方法，其发现在他去世2年后，发表在其遗著《代数论著》中。

1750年，瑞士数学家克莱姆（1704～1752）在其著作《代数曲线的分析导引》中，独立得到了与马克劳林一致的结果。不仅由于结果的公开发表，而且由于符号记法的优越，克莱姆的方法得到流传，于是用行列式解线性方程组的著名方法现在被命名为“克莱姆法则”。

在关于行列式的早期工作中，特别值得提到的是法国数学家贝祖（1730～1783）的研究。1764年，他把确定行列式每一项符号的方法进行了系统化。此外，他还证明了，给定n个未知量的n个齐次线性方程，系数行列式等于零是方程组有非零解的条件。

可以注意到，行列式概念在提出后很长一段时间内，只是作为解线性方程组的一种有效工具使用，而且正如我们已经看到的，通过这些研究，人们确实得到了线性方程组解的紧凑简单的表达式。但在早期的研究中，没有人意识到行列式可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。在行列式的发展史上，改变这一状况的一位重要人物是法国数学家旺德蒙德（又译范德蒙，1735～1796），他在历史上第一个把行列式理论与线性方程组求解相分离。

旺德蒙德自幼在父亲的指导下学习音乐，在这方面很有造诣。但对数学有浓厚兴趣的他也从事数学研究。1771～1772年，他向巴黎科学院提交了4篇数学论文（这也是他的全部数学论文）。在这几篇论文中，他得到了几项重要结果。他证明了根的任何对称函数都能用方程的系数表示；他把行列式理论应用于线性方程组，给出了用二阶子式及其余子式展开行列式的法则（1772年，法国数学家拉普拉斯推广了这一结果，用r阶子式及其余子式来展开行列式，得出现在以其名字命名的“拉普拉斯展开定理”）。特别是，他第一个把行列式理论与线性方程组求解分离开考察行列式，首次对行列式理论作出系统的逻辑论述，成为行列式理论的奠基人之一。学习行列式理论时，我们还会遇到以他的名字命名的一种特殊行列式：“旺德蒙德行列式”。关于这一命名，数学界有不同看法，因为这一行列式并没有出现在他的论文中。

继旺德蒙德之后，1815年，法国大数学家柯西（1789～1857）又对行列式理论进行了系统研究并得出许多重要结果。

其中之一是行列式的乘法定理，其中a|ij|和b|ij|代表n阶行列式，而，即在乘积的第i行第j列的项是a|ij|的第i行和b|ij|的第j列的对应元素的乘积之和。另外，他于1812年最早引入了现代意义上的行列式的名称。我们现在所熟悉的，双重足标的记法以及把元素排成方阵的做法也源自柯西。可以说，在前人研究的基础上柯西给出了系统的近代行列式理论。

英国著名数学家凯莱、西尔维斯特也都对行列式理论的发展作出了贡献。1841年，凯莱最先给出沿用至今的行列式的两条竖线记法。西尔维斯特在这方面的重要成就之一是他改进了从一个n次的和一个m次的多项式中消去x的方法。

事实上，整个19世纪都有行列式的新结果。在一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式（如对称行列式、斜对称行列式、正交行列式等）的其他定理都相继得到。

在行列式理论发展的同时，行列式应用范围也不断扩大。

说起行列式的应用，作为一个非常有力的工具，它首先可以用于研究和讨论线性方程组。在上面我们已经看到，在引入行列式概念后，借助于克莱姆法则我们已从理论上解决了含有n个方程的n元一次线性方程组在有解时的求解问题。

行列式的另一个应用，在上面介绍关孝和与莱布尼兹的工作时也已经提到了，即它可用于方程组消元。我们这里对两人的这方面工作再做些补充说明。

对关孝和来说，他探讨的是二元高次方程组的消元问题。具体来说，设有两个方程，其中x的次数分别是m, n（m≥n），而方程中每一项中x的幂的系数都是辅助未知数y的多项式，关孝和所要做的是一次消去所有x的幂。为此，他先用叠、括方法从原来的两个方程中导出n个关于x的n-1次齐次方程。这n个方程被他称为“换式”。随后他考虑了如何从这n个关于x的联立方程组中消去x，为此他引入了行列式，并进一步研究了行列式的运算。因此可以说，和算家们的行列式理论产生于高次方程组的消元。事情反过来看，在引入行列式概念后，我们就可以应用行列式去处理相关的消元问题，并把方程组消元看做是行列式的应用之一。

对莱布尼兹来说，他考虑的是当方程式的数目比未知数的数目多1时，消去其所有未知数的办法。沿着这条途径，他也引入了行列式思想。对照莱布尼兹与关孝和的研究，还可以发现两者非常相近之处：如果把上面提到的关孝和3个x的二次方程组中的x2视为另一变量y，那么关孝和与莱布尼兹所研究的方程组一致。而两人最后得到的结果在本质上也都是把方程组有解的条件归结为一个行列式为0。

在关孝和、莱布尼兹不为人知的研究之后，牛顿、欧拉、贝祖等人又都研究了两个多项式方程有解的条件。特别是贝祖给出了一种一般方法，贝祖方法也是把方程组有解的条件即结式归结为一个行列式。关于高次多项式方程组有公共解时系数必须满足的条件后被称为方程组的消去式或结式。结式是消去理论的中心。

1842年，英国数学家西尔维斯特在这方面取得进一步系统成果。由他改进的从两个关于x的n次方程和m次方程消去未知元x的方法，被他称为析配法。我们举一个简单的例子说明一下。比如：要消去下面方程组中的x，

方法是，（1）式分别乘以x，1，（2）式分别乘以x2，x，1，于是得到一个新的方程组：

这一方程组可以看做是x4，x3，x2，x，1这5个量的齐次方程组，它有解的充要条件是：

西尔维斯特的方法可以推广到如下更一般的情形。

为消去上面方程组中的x，可以通过与上面简单例子类似的方法，使它们的系数构成一个m+n阶的行列式：

而此行列式为零是两个方程有公共解的充要条件。西尔维斯特给出这一结论，并没有给出充分性的证明，后来柯西证明了这一条件的充分性。

西尔维斯特的方法常用来解多元方程组，我们以下面一个比较简单的问题为例：

我们打算先消去含有x的项。于是可取（1）式的系数：1、-1、-2y2，取（2）式的系数：2、0、-5y2+3y，两者的结式是：

令这一行列式等于0，并将行列式展开整理得，y4-6y3-y2+6y=0，解得y=0，1，-1，6，进而可得x。这样我们就解得了原方程组。

显然，在这些方法中，为了消元引入的结式都具有行列式形式，都是以行列式为工具的。于是，在消元法理论中，我们看到了行列式的又一重要应用。

1841年，德国数学家雅可比（1804～1851）在其著名论文《论行列式的形成和性质》中，推广了代数行列式的应用，引进函数行列式，即“雅可比行列式”，由此函数行列式开始应用于多重积分的变量替换、解微分方程组。

大量的事实表明，起源于解线性方程组的需要，最早作为一种速记表达式的行列式，现在已成为数学中一种非常有用的工具，在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等众多的领域中都不时有它的踪影出现。这种广泛的应用，同时也促进了行列式理论的大发展。