集合与映射

谈论任何数学，总是离不开用集合论的符号和术语，集合论主要由George Boole（布尔）（1815—1864）和Georg Cantor（康托尔）（1845—1918）建立起来的，它对20世纪数学的发展有深远的影响。它统一了许多看似没有关联的数学概念，满足逻辑要求的集合论是一个相当复杂的理论，幸运的是它包含的基本概念不多，经过讨论我们可以很快掌握一些在数学上常用的词汇。在本章第一节，我们让大家熟悉一下本书将会采用的与集合有关的一些符号和词汇。

在数学上，一个集合是指一些可确定、可分辨的事物构成的整体，我们常用大写字母来记集合：A，B，C，…，X，Y，Z．下面是一些在本书常看到的一些数集合：

组成一个集合的成员是这个集合的元素，通常用小写字母来标记：a，b，c，…x，y，z．

定义0.1.1

（1）a∈X表示a是X的一个元素。

（2）a∉X表示a不是X的一个元素。

给出一个集合的方法有两种：

（1）列出集合的所有元素。例如

X＝｛a,e,i,o,u｝

是一个由5个元素组成的有限集合。自然数、正整数和整数分别是

它们是含有无穷多个元素的无限集合。

（2）给出集合的一切元素所满足的属性。集合

X＝｛x｜P（x）｝

表示X是由满足性质P（x）的全体x构成，如有理数可表为

又如

是指全部大于或等于0且小于或等于1的实数。

定义0.1.2　设A，B为集合。如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B为A的子集。这时也称B被A包含或A包含B，记为

B⊂A．

上面提到的数集合有下面包含关系：

我们称一个不包含任何元素的集合为空集，记为⌀．显然⌀是每一个集合的子集。

定义0.1.3　设A，B为集合，如果A⊂B且B⊂A，称A与B相等．记作

A＝B．

显然A与B相等当且仅当A中的元素和B中的元素完全相同。

设虽然它们表出的形式不一样，但A和B包含的元素是一样的，所以A＝B．集合中元素的重复和次序是不重要的，如｛1,2｝＝｛2,1｝＝｛1,2,1｝．

每一个集合本身也是它自己的一个子集。如果B⊂A并且B≠A，则称B是A的真子集。

从给定的集合，我们可以构造一些新集合。下面是最常用的集合的基本运算：

定义0.1.4　设A，B为集合。

（1）A与B的并集是

A∪B＝｛x｜x∈A或者x∈B｝．

（2）A与B的交集是

A∩B＝｛x｜x∈A并且x∈B｝．

（3）A与B的差集是

A－B＝｛x｜x∈A并且x∉B｝．

（4）若B⊂A，也称A－B为B关于A的补集或余集，记为．

这些运算，可以用图（图0.1）来说明，在习题中，我们将列出一些集合运算的性质。

图0.1　集合运算

定义0.1.5　设a，b∈，a＜b.

（1）称集合

为的一个开区间，a和b分别是其左端点和右端点，它们不在集合（a,b）中。

（2）称集合

为的一个闭区间，a和b分别是其左端点和右端点，它们都在［a,b］中。

（3）称集合

为的半开半闭区间，a和b分别是左端点和右端点，如图0.2所示。

图0.2　的区间

（4）引进记号＋∞（读作正无穷大）和－∞（读作负无穷大）如下

称上面集合为无穷区间，它们只有左端点或者只有右端点。

（5）对于称（a－ε,a＋ε）为a的ε邻域，记作N（a,ε）．如果我们不关心区间的大小，可以将ε略去，称为a的一个邻域，记为N（a）．

积集或Descartes（笛卡儿）积是另外一个构造新集合的方法。

定义0.1.6　设A，B为集合。A与B的积集是

A×B＝｛（x,y）｜x∈A,y∈B｝，

其中（x,y）是一个有序对（也称序偶），即x与y的次序是重要的，先x，后y，两个序偶（x,y）与（x′,y′）相等当且仅当x＝x′，y＝y′，如图0.3所示。

图0.3　积集

设A＝｛a，b｝，B＝｛α,β,γ｝，则A×B＝｛（a,α）,（a,β）,（a,γ）,（b,α）,（b,β）,（b,γ）｝．

很明显，如果A≠B，则A×B≠B×A．

如果A＝B，则将A×A写成A²．设则A²是一个边长为1的正方形（包括内部）。

取则

就是我们熟知的平面。

如果取则

记之为

我们学习的微积分将建立在集合和内，分别称为一维、二维和三维欧氏空间。

一个映射将一个集合X的元素对应于另外一个集合Y的元素，但是这种对应需要满足一些条件。

定义0.1.7　设X，Y为集合。

（1）若对于X中的每个元素x，按照某一法则f，在Y中有唯一确定的元素y（记作y＝f（x））与它对应，则称f为从X到Y内的一个映射，记为

f∶X→Y，

称X为映射f的定义域，Y为映射f的值集。

（2）称与x∈X对应的f（x）∈Y为x在f下的象。若A⊂X，称

f（A）＝｛f（x）｜x∈A｝⊂Y

为A在f下的象。称f（X）为f的值域。

（3）称G＝｛（x,f（x））｜x∈X｝⊂X×Y为映射f的图形。

一个映射由三个部分组成：（1）定义域的集合X；（2）包含值域的值集Y；（3）法则f．两个映射f∶X→Y和g∶A→B相等当且仅当X＝A，Y＝B和对于任何x∈X，f（x）＝g（x）．

在映射的定义中，我们可以这样表达x在f下的象f（x）的唯一性：如果f（x）＝y₁和f（x）＝y₂，则y₁＝y₂．

映射的概念可用多种简图来说明。例如在图0.4（a），我们将X和Y看成为点的集合，一个箭头用来表示x∈X是按照法则f与f（x）∈Y对应。另一个简图是将f想象为一部机器（图0.4（b）），当我们将x∈X输入这部机器，输出的是f（x）∈Y．

图0.4　映射

最常碰到的一些基本映射是：

（1）恒等映射　I_X∶X→X，I_X（x）＝x．

（2）常值映射　固定y₀∈Y．对于任意x∈X，定义f（x）＝y₀，则f∶X→Y的值域是f（X）＝｛y₀｝．

（3）投影映射　集合X和Y的积集X×Y有两个自然的映射

p¹∶X×Y→X；p²∶X×Y→Y，

其中p¹（x,y）＝x，p²（x,y）＝y．映射pⁱ将序偶（x,y）投影到第i个坐标，i＝1，2．

在下面定义中，我们列出一些具有“良好”性质的映射：

定义0.1.8　设f∶X→Y是映射。

（1）如果对于任意x₁，x₂∈X且x₁≠x₂，有f（x₁）≠f（x₂），则称f是单射，或称f为一对一的映射。例如图0.5（a）所示。

（2）如果f（X）＝Y，则称f是满射，或者说f是从X到Y上的映射。例如图0.5（b）所示。

（3）如果f同时是单射和满射，则称f是双射，或者说f是一一对应的映射。例如图0.5（c）所示。

图0.5　有“良好”性质的映射

和一对一等价的条件是：如果f（x₁）＝f（x₂），则x₁＝x₂．如果f是一个单射，则对于每一个y∈f（X），只有一个x∈X使得f（x）＝y．如果f是满射，则对于每一个y∈Y都至少存在一个x∈X使得f（x）＝y．如果f是双射，则X和Y的元素的“个数”是相等的。

恒等映射是双射，投影映射是满射。如果f∶X→Y是一常值映射，而且X和Y都有多于一个元素，则f既不是单射，也不是满射。

在适当的条件下，我们可以从已知的映射构造新的映射。

定义0.1.9　设f∶X→Y，g∶Y→Z是映射。f和g的复合是用

定义的映射。如图0.6．

设f∶X→Y，g∶Y→Z，h∶Z→A是映射，则因此，多个映射的复合满足结合律。

我们可以利用一个双射的一一对应性来构造新映射。

定理0.1.10　设f∶X→Y是双射。用g（y）＝x当且仅当f（x）＝y可以定义一个新映射g∶Y→X，而且g也是一个双射，同时满足：

证明　（a）因为f是满射，对于任意y∈Y，至少存在一个x∈X使得f（x）＝y．因为f是单射，至多存在一个x∈X使得f（x）＝y．所以g是一个映射。

（b）设g（y₁）＝g（y₂）＝x．由g的定义知：f（x）＝y₁和f（x）＝y₂．因为f是映射，有y₁＝y₂，所以g是单射。

（c）设x∈X．因为f是映射，f（x）∈Y．记y＝f（x），则g（y）＝x．因为x是任意的，所以g（Y）＝X，即g是满射。

（d）由g的定义，g（y）＝x当且仅当f（x）＝y，所以

定理0.1.10保证下面的定义有意义。

定义0.1.11　设f∶X→Y是双射。称用f^-1（y）＝x当且仅当y＝f（x）定义的双射

f^-1∶Y→X

为f的逆映射或反映射。

一一对应是一个很强的要求。一般的映射不是双射，因此没有逆映射。但是逆映射的应用比表面看来要广泛得多。如果f∶X→Y不是双射，我们可以将X和Y适当地缩小，使它变成一个双射。具体来说，假设A⊂X而限制于A时f是一对一的。定义一个新映射g∶A→Y，g（x）＝f（x），则g是单射。再定义一个新映射，仍然用g来记这个映射g∶A→g（A），则g是双射，这样我们就可以构造g的逆映射（图0.7）。一般来说，如果A⊂X，B⊂Y，而且f（A）⊂B，我们称

g∶A→B，g（x）＝f（x）

为f∶X→Y在A上的限制映射，也称f为g的延拓映射。

图0.6　复合映射

图0.7　逆映射

我们还可以用积集来构造新的映射。例如已知映射f₁∶X₁→Y₁，f₂∶X₂→Y₂，则明显

f₁×f₂∶X₁×X₂→Y₁×Y₂，（f₁×f₂）（x₁，x₂）＝（f₁（x₁），f₂（x₂））

是定义在积集X₁×X₂上的映射。又例如已知f₁∶X→Y₁和f₂∶X→Y₂，则

（f₁，f₂）∶X→Y₁×Y₂，（f₁，f₂）（x）＝（f₁（x），f₂（x））

是有意义的映射。

在不同的数学内容里，映射有不同的名称，如函数、映照、变换或算子。在微积分中，我们习惯地称一个从（n＝1,2,3）的一个子集到的一个子集内的映射为函数。在第二节中，我们会看到，复合函数和反函数是构造新函数常用的手段。