韩信点兵与中国剩余定理
韩信将军在操点士兵。士兵排成三列纵队时，最后一伍只有一个人。排成五列纵队，剩4人。排成七列纵队，剩3人。韩信略想一下，便责问身旁的值日副将：刚才你报告今天到场的兵士是1264人，女际上怎么只有1249人呢？
这是中国古代流传于民间的一道趣味算题，叫做韩信点兵。还有四句歌诀，隐含了解题的法门：
“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，
七子团圆正月半，除百零五便得知！”
歌诀里让人记住几个数：3与70，5与21，7与15，还有105，即3×7×5。这些数的用法是：题中三列纵队剩1人，用1乘70，5列纵队剩4人，用4乘21，7列纵队剩3人，用3乘15，三个乘积相加：
1×70＋4×21十3×15＝199这个199，是符合题中条件的士兵数目。因为199用3除余1，5除余4，7除余3。但是，因为105是3、5、7的公倍数，所以199加上、减去若干个105仍符合条件。这样一来，94，199，304，409，514，619，724，829，……，总之，94加上105的整数倍，都可能是答案。韩信根据现场观察和值日副将的报告，选择了和1264最接近的解：94＋11×105＝1249。
口诀里的70，21，15又是从何而来？原来：
70是5和7的公倍数，除以3余1，那么，5和7的公倍数中，为什么恰巧能找到除以3余1的数呢？原因是5×7和3互素——也就是说5×7和3没有大于1的公约数。只要两个整数a、b互素，a的倍数中一定有被b除余一的数。
韩信点兵题中“排成三列纵队剩一个人”，用数学语言表达，就是同余式
x≡1 （mod3）
这个x当然是士兵的数目，整个题目实际上就是求解同余式组
这样的同余式组，最早出现在唐代的《孙子算经》书中。后来，宋代数学家秦九韶提出了这种同余式组的最一般形式：
x≡ak（modpk）（k＝1，2，…n）
秦九韶用“大衍求一术”彻底解决了这个问题。设p1，p2，…，pn两两互素，用秦九韶的方法可以找出b1，b2，…，b，其中b能被
整除，被p除时余1，则x
nkk的通解是x＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn＋mp1p2…pn（m＝0，±1，±2，…）
这个结果比西方大数学家欧拉、高斯对这个问题的系统研究早五百多年，被世界各国数学家们称为“中国剩余定理”。
（任宏硕）
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