像方的焦距比

3.3.2　理想光学系统拉—赫不变式与系统物方、像方的焦距比

为了得到光学系统的焦距值f和f＇与介质折射率n和n＇之间的重要关系，首先导出理想光学系统的拉赫不变式。

在图3.8中增加一对轴上点的共轭光线c、c＇，即得到图3.10。A点发出的光线c，与光轴夹角为－U，交物方主面于Q点，垂轴高度为h，其像方共轭光线c＇（Q＇A＇）与光轴夹角为U＇。

图3.10　由拉赫不变式决定的物方、像方的焦距关系

由直角三角形AQH和A＇Q＇H＇，应有：

h=ltanU=l＇tanU＇

亦即

（x+f）tanU=（x＇+f＇）tanU＇

由图中几何关系，还应有

代入前一式，并经整理，得到

yftanU=－y＇f＇tanU＇　　　　　　　　　　　　　　　（3.10）

可以称其为理想光学系统拉一赫不变式的第一种形式。

上式是由几何关系导出的结论。对于理想光学系统，不论U和U＇角为何值，y和y＇值为多大，上式恒成立；显然，对于小孔径、小视场的近轴光线区域上式关系也应成立。对于小角度，由于其正切值可以用角度的弧度值取代，因而式（3.10）变为

yfu=－y＇f＇u＇　　　　　　　　　　　　　　　（3.11）

上式可称为近轴光学拉—赫不变式的第一种形式，以示区别。

由于在共轴球面系统的近轴区，理想光学系统可以具体实现，因此应用近轴光学的拉—赫不变式（式（2.40））于整个光学系统的物空间和最后的像空间，可得到近轴拉—拉赫不变式的第二种形式：

ynu=－y＇n＇u＇　　　　　　　　　　　　　　　（3.12）

上式反映了实际光学系统的物理性质，包含了介质的折射率数n与n＇。

将在光学系统近轴区域成立的拉—赫不变式的第一种形式（式3.11）与第二种形式（式3.12）相比较，得到

上式是表征共轴球面折射系统的像方焦距与物方焦距的重要关系式，它是比较几何定理的结论与实际光学系统物理性质所得到的结果。上式表明，光学系统像方焦距与物方焦距之比等于相应介质折射率之比，而符号相反。

若将式（3.13）的关系代入式（3.10），则得到

yntanU=y＇n＇tanU＇　　　　　　　　　　　　　　　（3.14）

这就是折射型理想光学系统的拉—赫不变式的第二种形式。它是系统对任意大小物体、用任意宽的共心光束成像的普遍公式，具有重要的实用意义，也是通常所采用的形式。

若光学系统位于同一种介质中（例如位于空气中），即有n＇=n，代入式（3.13），则得到： f=－f＇。表明其像方焦距与物方焦距绝对值相等而符号相反。应该指出，这种情况虽属特殊情况，但却是实际存在的绝大多数情况。

最后还要说明的是，若光学系统中包含反射面时，由于反射相当于n＇=－n的折射，因此，每经过一次反射，则折射率比值前面的符号要改变一次。若系统中含有j个反射面，则整个系统像方焦距与物方焦距的关系，可表为

显然，对折射系统、具有偶数个反射面的折反系统或反射系统，焦距f与f＇符号相反；而对有奇数个反射面的折反系统或反射系统，则焦距f与f＇符号相同。上述规律对我们分析组合系统的特性很有意义。由于通常采用的光学系统大多数为折射型系统，因此一般就以折射系统为代表，讨论其特性及成像规律。以后凡不加说明，系统像方焦距与物方焦距的关系均按式（3.13）考虑，即。