单个折射球面的近轴光路计算公式

2.2.1　单个折射球面的近轴光路计算公式

在近轴光线的条件下，将实际光线经单折射球面的光路计算式（2.1）～式（2.4）中角度的正弦值用弧度值取代，角度参量以相应的小写字母u、i、i＇、u＇表示，截距以小写字母l、l＇表示，则得到单折射球面的近轴光路计算公式：

u＇=u+i－i＇　　　　　　　　　　　　　　　（2.15）

这样，给定l、u，依次应用上述公式，即可求出折射后的l＇、u＇。

若将式（2.13）、式（2.14）、式（2.15）代入式（2.16），则变量u在中间过程被消掉，得到：

上式表明，在结构参量n、n＇、r确定的条件下，对近轴光线来说，像点位置l＇只是物点位置l的函数，而与u的大小无关。若给定物距l，则像距l＇唯一确定，即一物点对应于唯一像点。通常称近轴光线所成的像点为“近轴像点”，又称“高斯像点”；过高斯像点且垂直于光轴的像面称为“高斯像面”。这表明，轴上物点以足够靠近光轴的细光束成像时，可以得到完善像，这是近轴区的成像特性。

图2.8　角度的各种函数关系曲线

然而，应该指出，近轴区并没有绝对的界限，其范围应由略去级数中高次项所产生的相对误差（即）的容许值来确定。表2.3给出了不同角度的正弦值与其弧度值的相对误差。由表中数据可见，若允许近似取代的相对误差为千分之一时，近轴光线的角度范围θ应小于5°；若允许的相对误差为万分之一时，则近轴光线的角度θ应小于1.5°。

图2.8给出了角度的正弦、正切、余弦值与弧度值的函数关系曲线。由图可见，正弦和正切函数曲线是以斜率为1的直线为渐近线的，在角度很小时，曲线与直线的相对差值很小；同时余弦曲线与具有常数为1的水平线非常逼近。

表2.3　不同角度正弦值与孤度值的相对误差

为了说明对已知结构及给定的物点，其近轴光线与实际光线折射成像的不同，对［例2－2］作近轴光路计算。应该指出的是，在式（2.17）中，l＇只与l有关，而与u无关。因此，实际作近轴光路计算时，u为中间变量，其值不论取任意数值，最终计算出的l＇值均应相同。通常可取其等于实际光线的sinU值，以便于比较实际光线与近轴光线折射情况的差别；或取便于简化计算的整数值（如－1），而不需真取像u为10^－3这样小的数值。

表2.4表示了u=sin（－1°）=－0.017453和u=－1两种取值下的单折射球面近轴光路计算情况。将表2.4计算的近轴像距l＇=36.423与表2.2实际光线光路计算结果L＇（U=－1°，－2°，－3°）作比较，并表示于图2.9中。图中A₀＇为物点A的近轴像点。通常，视近轴像点为实际光学系统的理想像，则实际光线与光轴交点相对于近轴像点的偏离（以δL＇表示），即反映球差的概念。表示为

δL＇=L＇－l＇　　　　　　　　　　　　　　　（2.18）

δL＇随实际光线孔径角U的不同而不同。式中，近轴像距L＇可以视为实际光线孔径角趋于零时的像距。

表2.4　单折射球面近轴光路计算结果

图2.9　单折射球面的近轴像点与实际光线像点