近似的数学

对我们而言，我们刚才分析过的例子在我们所说的最简单的问题之一上获得成功，人们在力学即最少复杂性的物理学理论中必须处理这个问题。这种极端的简单性容许阿达玛透彻地深入研究充分暴露出某些数学演绎绝对不可挽回的物理无用性的问题。在许多比较复杂的问题中，如果有可能足够近似地分析解答，那么我们不会遇到那种诱惑人的结论吗？对这个问题的回答几乎是毋庸置疑的；数学科学的进步无疑将向我们证明，对数学家来说充分定义的众多问题，对物理学家而言却丧失它们的全部意义。

这里有一个问题，它与阿达玛讨论的问题的关系是显而易见的；它是十分有名的。 ^[19]

为了研究组成太阳系的天体的运动，数学家用质点代替这些天体——太阳、行星、小行星、卫星；他们假定，这些质点对相互吸引，引力与质量之积成正比，与把两个要素分开的距离的平方成反比。对于像这样的体系的运动之研究，是比我们在前面的篇幅讨论的问题复杂得多的问题。它在科学史上以“n体问题”的标题而著名；即使当隶属于相互作用的数目减小到三，“三体问题”对数学家来说也是一个令人生畏的难题。

无论如何，如果我们以数学精确性知道形成太阳系的每一个天体在给定时刻的位置和速度，我们可以断定，每一个天体从此瞬时起遵循十分确定的轨道；有效地决定这个轨道，对数学家的努力来说可能要对抗远未消除的障碍，但是可以容许我们假定，它们在某一天将被克服。

因而，数学家可以问自己如下的问题：形成太阳系的天体的位置和速度是它们今天所是的这个样子，它们都将无限期地继续绕太阳旋转吗？相反地，这些天体之一最终将逃离它的一大群伙伴，而迷失在无垠的空间，这种情况将不可能出现吗？这个问题构成太阳系的稳定性问题，拉普拉斯以为他解决了这个问题，但是现代数学家尤其是昂利·彭加勒的努力格外表明，它是极其困难的。

太阳系的稳定性问题对数学家来说肯定有意义，因为天体的初始位置和速度在他看来是以数学精确性已知的要素。但是，对于天文学家来说，这些要素只能通过包含误差的物理程序来决定，而误差则由于仪器和测量方法的改进而逐渐减小，但将永远不会消除。因而，情况必然是，太阳系的稳定性问题对天文学家来说是一个完全没有意义的问题；他给数学家提供的实际数据对后者来说等价于彼此邻近，但却依然不同的无限的理论数据。也许在这些数据中间，存在一些会永久地维持所有天体相互处于一定距离的数据，而其他数据则会把这些天体中的某一个抛入广漠的空间。如果类似于阿达玛问题所提供的这样的境况应该在这里出现的话，那么与太阳系的稳定性有关的数学演绎也许对物理学家来说是他永远也不能够使用的演绎。

在不怀疑天体力学和数学物理学的众多而困难的演绎被宣判为永久无结果的情况下，人们不能够通过这些演绎。

确实，只要数学演绎被局限于断言，一个给定的严格地为真的命题就其推论而言具有此类其他命题的严格的准确性，那么它对物理学家来说就是无用的。要对物理学家有用，还必须证明，当第一个命题只是近似地为真时，第二个命题依然近似地精确。甚至这还不够。必须界定这两个近似的范围；当测量数据的方法的精确程度已知时，必须固定在结果中能够导致的误差的限度；当我们希望获悉在确定的近似度内的结果时，必须确定能够被认可的数据的概差（probable error）。

我们不得不强加于数学演绎的严格条件就是这样的，倘使我们希望这种绝对精确的语言能够在不背叛物理学家的习语的情况下翻译的话，因为物理学家的这种习语的词汇像它们所表达的感知一样，是并将总是模糊的和不精密的。基于这些条件，而且仅仅基于这些条件，我们将拥有近似的数学描述。

但是，让我们不要就它而受骗；这种“近似的数学”不是数学的更简单、更粗糙的形式。相反地，它是更透彻、更精致的数学形式，它要求问题的解时常是极其困难的，有时甚至超越今天代数处理的方法。

[1] J.Hadamard，“Les surfaces à courbures opposées et leurs géodé siques”,Journal de Math-matiques pures et appliquées,5th series,Vol.IV（1895）,p.27.

[2] Ibid.,p.71.