现代数学基础研究的三个主要学派

自古以来，数学与哲学的联系是非常密切的。人们在不断发展、运用数学的同时，提出了许多问题：数学大厦的基础是否巩固？它的结构是否还有内在的缺陷？数学是否可以无条件地信赖？这些都是和数学有关的哲学问题。另一方面，许多哲学观点的形成或展开，又和数学有着不解之缘。数学作为一门抽象的科学，对于一般的世界观和方法论有着重大的影响。因而，和数学有关的一系列的哲学问题，值得关心数学的人们深思。

19世纪末到20世纪初，数学发展进入了一个激烈的变革时期。由于非欧几何的发现，人们认识到必须建立起不依赖于直观的数学基础；而 “分析的严格化”运动，则是导致现代数学基础研究的主要原因。人们最终把数学的严格性 （可靠性或相容性）的基础逐次地化归为集合论的严格性。但集合论悖论的发现却清楚地表明集合论是包含矛盾的，这表明数学基础的严格性并没有确立起来。人们不禁要问：数学妥善的基础究竟是什么？这促使许多著名的数学家、逻辑学家投身到这项研究工作中去，数学的发展走向了哲学。

数学基础的哲学化研究，比较有代表性的是以罗素和怀特海 （英国数学家，1904—1960）为代表的逻辑主义，布劳威尔 （荷兰数学家，1881—1966）和韦尔 （德国数学家，希尔伯特的学生，1885—1955）为代表的直观主义，以希尔伯特为代表的形式主义等。数学哲学的兴起和发展，是数学走向成熟的一个重要标志。

一、逻辑派的数学哲学思想

逻辑派的数学哲学思想被称为逻辑主义。

逻辑派的思想萌芽，可以追溯到莱布尼兹，因为他曾明确提出过 “数学真理就是逻辑真理”的思想，并指出应把逻辑看成是 “一种高于一切科学，并且包含了作为一切科学基础的原则和思想”的科学。不过，在莱布尼兹那里，关于 “数学真理就是逻辑真理”的观念只是停留在一般的哲学分析上，他本人并没有具体从事这方面的工作。但现代逻辑主义者关于 “把数学化归为逻辑”的思想就不再停留在一般的哲学分析上，而是将哲学的分析与具体的数学研究有机地结合起来，并为实现这一宗旨进行了大量的工作。

逻辑主义直接来源于德国数学家、逻辑学家弗雷格 （1948—1925）。其主要代表人物是英国两位数学家、逻辑学家罗素和怀特海 （1861—1947）。弗雷格和罗素彼此独立地提出了 “把数学化归为逻辑”的宗旨。这就是说，他们认为数学的概念可以借助于逻辑的概念得到明确的定义，数学的定理可以从逻辑的命题出发，经由纯粹的逻辑演绎而得到证明。于是，全部数学都可以建立在逻辑的基础之上，数学只不过是逻辑的延伸。对此，罗素曾说过，数学与逻辑事实上 “确是一门学科”，“它们的不同就像儿童与成人的不同：逻辑是数学的少年时代，数学是逻辑的成人时代”（《数理哲学导论》）。

概括起来，逻辑主义的主要思想是：一是先有逻辑而后有数学；二是整个数学大厦完全可以建立在逻辑的基础上。他们的具体方案是：使所有的数学概念都归结为自然数算术的概念，而算术的概念就通过逻辑概念来定义，这样就企图构造出一个包括全部数学在内的逻辑公理系统，并由这系统的几条逻辑公理中推出算术，再由算术推出全部数学。

然而，逻辑主义者的努力并没有取得成功。由于逻辑主义者事实上是以集合论为基础来开展数学理论的，但集合论不能认为是属于逻辑的，何况集合论的可靠性问题也并未得到真正的解决；又由于按照分支类型论的原则建立起来的数学理论是十分复杂和不自然的。因此，逻辑主义者就从未能实现为全部数学奠定一个 “可靠的、永恒的基础”的目标。正是在这样的意义上，人们认为逻辑派是以失败告终的。

失败的根本原因是由数学哲学思想的错误所决定的，即只看到并且过于夸张了数学与逻辑在演绎结构上的同一性，而完全抹杀了数学与逻辑科学的质的差异性，由此错误地认为 “数学可以化归为逻辑”。

虽然逻辑派的工作以失败告终，但他们的工作对数学和逻辑的发展作出了重要贡献。主要表现在：

（1）罗素的分支类型论，特别是经过拉姆齐 （Ramsey）改进之后发展起来的简单类型论，不仅对于悖论的研究有重要意义，而且提出了排除悖论的行之有效的具体方案。即使是现在一些解决悖论的方案，都与罗素早年提出的见解有关。

（2）由于逻辑主义者的工作，数学基础的研究得到了深化。他们提供了如何由集合理论出发去开展全部数学的一个可能的模式，这不仅标志着在数学理论的系统化方面达到了新的、更高的水平，而且也直接促进了对集合论的研究。

（3）罗素－怀特海 （Russell-Whitehead）构造以完全符号的形式实现了逻辑的彻底的公理化，从而大大地推进了数理逻辑这门学科的发展。例如，作为现在数理逻辑基础的命题演算系统和一阶谓词演算系统得到了完整的建立，而这正是数理逻辑成熟的主要标志。值得指出的是，数学逻辑在计算机技术的研究中具有十分重要的作用。

二、直觉派的数学哲学思想

直觉派的数学哲学思想被称为直觉主义。

直觉派的思想萌芽，可以追溯到德国哲学家康德 （Immanuel Kant， 1724—1804），是对康德唯心主义数学观的进一步发展。康德认为，人的先天感性直观形式有两种：时间直觉和空间直觉。用时间的先验性观念整理关于事物的多与少的经验，便创造了数的概念。因为数是一个接一个的、有先后顺序的。用空间的先验性观念整理关于事物的形状的经验，便创造出了几何公理。康德的思想在19世纪的一部分数学家中有着相当深刻的影响。布劳威尔曾说：我们可以在康德那里找到直觉主义的一种古老形式。

直觉派在数学上的直接先驱是德国数学家克罗内克 （Kronecker，1823—1891）。他认为，自然数及其运算构成了数学的一个合适的基础，他的名言是：“上帝创造了整数，其他一切都是人造的。”他主张所有的定义和证明都必须是构造性的。因此，纯逻辑的证明在数学上未必产生正确的数学结论，因为逻辑的证明不能保证相应数学对象的可构造性。

直觉主义在数学上的另一大先驱是法国数学家庞加莱。他与克罗内克一样，坚持所有的定义和证明都必须是构造性的，他也反对实无穷及无穷集合，主张潜无穷；反对古典数学中常用的一个重要公理——选择公理，认为根本无法进行无穷的选择和构造。他也不承认逻辑派挽救数学的计划，但他始终没有明确提出自己的直觉主义的哲学观点。

一般认为，现代直觉主义的代表人物是荷兰数学家布劳威尔 （Brouwer， 1881—1966）。因为他完整而彻底地从哲学和数学两个方面贯彻和发展了 “存在必须等于被构造”的观点。由于非欧几何的建立，布劳威尔放弃了康德关于空间的先验性观点，而唯一地将人类关于时间的纯直觉作为数学的最终依据。他提出了 “原始数学直觉”的概念，其实，这就是康德关于时间的直觉。作为原始直觉的反复应用，就是所谓的数学直觉。他认为，正是借助于这种数学直觉，才构造出了各种各样的数学理论。

另外，著名数学家H.外尔和A.黑丁 （Heyting）也曾为直觉主义的发展作出过重要贡献。

直觉主义数学观完全不同于逻辑主义，而且与传统观念有很大区别。概括来说，直觉主义突出地强调了数学的直观性、主观性和构造性。直觉主义数学观的核心是：纯直觉是数学的最终依据。从这一思想出发，直觉主义提出了 “存在必须等于被构造”这个著名口号。这就是说，只有在 （数学）直觉上能够得到构造的数学对象，才能被认为是存在的，相应的数学理论才能被认为是可靠的。

然而，直觉派在数学基础研究上并没有获得成功，这源于他们数学哲学思想的错误：

（1）直觉派的数学哲学思想是唯心的。直觉主义者对非构造性数学 （一般地说，就是古典数学）采取绝对排斥的态度，这是错误的。人类长期的实践已经充分证实了古典数学的真理性，因此，直觉主义者这种否定其真理性的观点理应遭到大多数学家的反对。

另外，直觉主义者对其构造性数学采取绝对肯定的态度也是错误的。因为直觉主义者实质上假设了一个绝对可靠的、客观的 “数学直觉”的存在性，这种假设显然与通常的关于直觉的认识——关于直觉在本质上是易谬的、主观的认识——是相悖的。

（2）逻辑主义者认为数学可以化归为逻辑，从而认为数学只是逻辑的一部分；直觉主义者认为逻辑可以化归为数学，从而逻辑只是数学的一部分。这两种相互对立的观点都是错误的。因为，从认识论看，尽管逻辑主义和直觉主义两者的侧重点和出发点不同，但是他们都片面地强调了数学与逻辑的同一性，而忽视了数学与逻辑的差异性。从历史上看，无论将数学化归为逻辑，还是将逻辑化归为数学，理论上都未证明，实践上也行不通，都以失败而告终。

（3）直觉主义者对实无限性概念的绝对排斥以及对于数学客观主义的完全否定也是错误的，因为这不符合科学认识论原则。

虽然直觉派在数学基础研究上没有成功，但他们的工作在一定程度上促进了数学与逻辑的发展。

（1）直觉主义者强调可构造性或能行性，这可以认为是对于数学中的定义和证明的一种新的、更为严格的要求。因此，在这个意义上，直觉主义的数学工作就为数学研究开拓了一个新的、可能的方向。例如，正是由于强调可构造性或能行性，从而对现代递归函数论的建立和发展起了巨大推动作用。

（2）直觉主义者的可构造性或能行性问题研究具有重大的现实意义。这是因为电子计算机的理论和方法就是建立在能行性基础上的，计算机只处理可构造出来的具体符号串。我国数学家吴文俊教授就曾指出：由于计算机技术的发展，可构造性数学在不远的将来将出现大的发展，甚至成为数学的主流。

三、形式派的数学哲学思想

关于形式派的观点有好几种不同的流派。这里我们仅介绍以希尔伯特为代表的形式公理学派的数学哲学思想。这一流派又被称为形式公理主义或希尔伯特主义。

希尔伯特无疑是20世纪最伟大的数学家之一。以他的名字命名的有希尔伯特空间、希尔伯特不等式、希尔伯特变换、希尔伯特不变积分、希尔伯特不可约性定理、希尔伯特公理、希尔伯特子群、希尔伯特类域等。希尔伯特对数学基础的研究，是他早期关于几何基础工作的自然延伸。他在几何基础的研究中已将几何学的相容性归结为算术的相容性。1904年，他在海德堡召开的数学家大会上做的 《论逻辑与算术的基础》，表明了他从几何基础向一般数学基础的转移，这篇演讲勾画了后来被称为 “证明论”的轮廓，但这一思想当时并未得到进一步发展。直到1917年左右，由于集合论悖论和直觉主义的发展紧迫地危及古典数学的已有成就，他又被迫回到数学基础研究上来，这年9月，他向苏黎世数学会做了题为 “公理化思想”的演讲，再次公布了证明论的构想。此后，他又在一系列演讲和论文中明确展开了以证明论为核心的、关于数学基础的所谓形式公理主义纲领。

1.希尔伯特的数学观

希尔伯特的数学观包括了两个相互矛盾的侧面：一方面，希尔伯特认为绝对的可靠性只存在于有限的范畴，而对无限的任何涉及都是不那么可靠的。古典数学中充满了无限的概念和方法，希尔伯特为其可靠性感到忧虑。另一方面，希尔伯特又强烈地希望保存古典数学中任何有价值的部分。例如，他肯定实无限概念，热烈赞美康托的集合论等。

对于这两个相互矛盾的侧面，希尔伯特试图借助 “理想元素”的方法得到统一。他认为，应当把数学中的无限性成分同样看成是所说的理想元素。于是，希尔伯特为了要在有穷主义可信性的准则下保存实无限观点下的古典数学与经典逻辑推理规则，不得不把全部数学划分为 “真实数学”和 “理想数学”两个大类。凡涉及有限概念和有限集合的数学，称为真实数学；凡涉及实无限概念和超穷推理方法的数学，称为理想数学。希尔伯特认为，尽管理想数学是不具有真实意义的，但是只要能证明理想数学这种理论不会导致错误 （特别是不会导致悖论），那就仍然应当在数学中保留它们的地位。可见，就对古典数学的立场而言，希尔伯特的数学观是 “对有限性立场的坚持”及 “对无限性成分的保存”这样两个相互矛盾的侧面的统一。

关于数学与逻辑，希尔伯特认为它们之间存在着质的区别，任何企图把数学化归为逻辑的努力都是不可能成功的。在希尔伯特那里，数学理论就是数学与逻辑的一种统一体。

2.希尔伯特规划

为了避免数学中的悖论，并把古典数学从直觉主义的攻击下挽救出来，希尔伯特建议将数学形式化为一个系统。这个形式系统的对象 （数学定理及其证明），可通过符号逻辑的语言表述为语句，而这些语句只有逻辑结构而无实际内容。形式系统的这些对象可以用这样的方式来选择：就一门数学的全体定理而言，这个形式系统忠实地表现了这门数学理论。这个形式系统 （亦即数学）的相容性可以通过希尔伯特所谓的有限方法来证明。这样，通过跟直觉派要求相符合的严格的有限方法，希尔伯特深信他能够克服新的基础危机，并一劳永逸地解决这些基础问题。为此，希尔伯特在他60岁 （1922年）时提出了这种挽救整个古典数学的方法，这种方法是：“在不减少任何财富的情况下，对古典数学的意义进行彻底的重新解释。”[2]后来，人们称它为 “希尔伯特规划”。

希尔伯特规划提出后，遭到了一些数学家的异议。尤其是对直觉主义来说，希尔伯特规划是不可接受的。布劳威尔认为，用这种办法不会得到有数学价值的东西。但不管人们如何看待希尔伯特规划，希尔伯特把数学化成没有意义的公式，其目的只在于证明相容性、完备性，以及其他性质。然而， 1931年，奥地利数学家和逻辑学家哥德尔发表的 《论 〈数学原理〉和有关体系的形式不可判定命题》一文，证明了 “哥德尔不完备性定理”，摧毁了希尔伯特规划的希望。

“哥德尔不完备性定理”，如果仅就算术系统而言，则该定理可简单地表述为：如果形式算术系统W是无矛盾的，则存在着这样一个命题，该命题及其否定在该系统中都不能证明，亦即它是不完备的。后来，经罗塞尔（Rosser）改进，变为下属形式：如果形式算术系统是无矛盾的，则它是不完备的。

“哥德尔不完备性定理”是个惊人的、无人预料到的发现。这个发现表明：希尔伯特 “把古典数学组成无矛盾的完备的形式系统”的目标已被证明是不可能实现的。

希尔伯特规划失败的原因在于：首先，数学的抽象形式表现能力总是有限度的，间接抽象概念 （如数学中的无限性概念便是间接抽象的结果）本身总是带有某种简单性、粗糙性和僵化性。实践证明，数学的真理性不只是存在于形式系统的严格证明里，还要受到外部条件的制约和客观实践的检验。其次，把数学的真理性归结为逻辑的无矛盾性是片面的。因为任何一个数学理论，如果它是真理，它当然必须满足逻辑无矛盾的要求；反之，凡是满足逻辑无矛盾的公理系统不一定都是真理。逻辑的无矛盾性只是一个逻辑准则，它只能说明一个系统能 “自圆其说”，但能 “自圆其说”的未必是真理。最后，那种完全否定包含有无限性成分的古典数学的客观意义的立场是错误的，因为这不符合人们长期实践的结果——古典数学的真理性已经被充分证明。

尽管哥德尔不完备性定理及其推论使希尔伯特规划受到了挫折，但恰如哥德尔所说：虽则有了我的否定结果，希尔伯特有关数学基础的方案仍不失其重要性，它促进了20世纪基础数学研究的深化。特别是，希尔伯特通过形式化，第一次使数学证明本身成为数学研究的对象。元数学 （证明论）已发展成标志着数理逻辑新面貌的富有成果的研究领域。希尔伯特不愧为 “元数学之父”。

综上所述，逻辑派、直觉派和形式公理派在20世纪初围绕数学基础问题展开的这场大论战中，各有所偏，各有所见。尽管他们对待数学本体论的见解是不足取的，但在方法论上却各有重要贡献。而且，通过激烈的争论，彼此在一定程度上起到了相互借鉴与相互促进的作用。进入20世纪中叶以来，这三大学派之间的争论渐渐平息。数学家们发现，无论哪一派的主张，都不可能令人满意地、一劳永逸地解决由数学悖论提出来的数学基础问题。不同观点的数学家，沿着自己选定的道路前进，发现大家不约而同地到达了同一个地方：数学研究的对象是一些关系和形式，这些关系和形式可以用有限符号来表达，它又能包含着无限丰富的内容。丰富的数学内容无法简单归结为逻辑，也不能仅仅被视为人的直觉创造物，它的正确性更不能用符号的推演来证明。各派最终都导致了对算法的研究，于是在这一研究的基础上出现了计算机理论。

本章要点

数学化是现代科学的突出特点之一，它已成为衡量一个学科是否成熟的重要标志。数学作为科学研究的一种有效方法和理论思维的一种重要形式，正向各门科学渗透。本章开篇首先明确了数学方法的含义和特征，并且介绍了数学发展所经历的四个时期以及数学方法在科学研究中的作用。其次，在明晰了数学模型的含义和分类之后，主要介绍了建立数学模型的方法。其中通过对 “哥尼斯堡七桥”问题和欧拉的解决方法的分析，概括了应用数学抽象建立数学模型的一般过程。再次，通过对经典物理学、爱因斯坦相对论、量子力学、生命科学等领域对于数学方法使用的介绍，肯定了对 “自然界数学化”图景的期待——尽管承认在某些领域有特殊的难处。本章在最后，还介绍了现代数学基础研究的三个主要学派 （即逻辑派、直觉派和形式派）的主要代表人物及其数学哲学思想。虽然这三个学派各有所偏，各有所见，但在方法论上都各自有重要贡献。三个学派经过激烈的争论，在一定程度上起到了相互借鉴与相互促进的作用，并且也催生了新的理论。

思考与练习

1.什么是数学方法？它有哪些特点？它在科学研究中有哪些作用？

2.什么是数学模型？你认为它和一般模型有哪些区别？

3.建立数学模型的主要方法是什么？你认为建立一个数学模型需要哪些过程？试举一实例予以说明。

4.近代数学基础研究有哪些主要学派？试以其中的一个学派为例，简述其主要的数学哲学思想及其偏颇之处。

[1] 华罗庚：《华罗庚科普著作选举集》，上海教育出版社，1984年，第337页。

[2] ［美］康斯坦西·瑞德：《希尔伯特》，上海科学技术出版社，1982年。