误差的合成与分配

在实际工程中，有些被测量难以进行直接测量，而需要采用间接测量的方法，先对与被测量有确定函数关系的几个量进行直接测量，然后将直接测量结果代入函数关系式计算出被测量的数值。例如，测量圆柱体的体积，通常先要测量出圆柱体的高度h和横截面直径D，然后由公式V＝πD2h／4计算出体积。

在间接测量中，由于各个直接测量结果都含有一定的误差，因此，根据函数关系式计算出的测量结果也含有误差，由两个或多个直接测量结果的误差值合并得出间接测量结果的误差值，称为误差的合成。反过来，若已知对一个间接被测量的误差范围要求，进而确定各直接测量量的误差范围，称为误差的分配或误差分解。

要解决误差的合成与分配问题，首先要明确总的合成误差和各直接测量量的误差之间的函数关系，再按它们之间的变量关系进行计算。这实际上就是由多元函数的各个自变量的增量综合求函数增量或做相反计算的问题。

（1）函数系统误差的合成

间接测量值是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各个直接测量值误差的函数，故称这种误差为函数误差。研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递问题。

在间接测量中，函数的形式主要为初等函数，且一般为多元函数，其表达式为

对于多元函数，其增量可用函数的全微分表示，则上式的函数增量为

若已知各个直接测量值的系统误差为Δx1，Δx2，…，Δxn

用它来近似代替上式中的微分量，从而可得到函数系统误差公式为

式中，（ i＝1，2，…，n）称为各个直接测量值x1，x2，…，xn的误差传递系数。

（2）函数随机误差的合成

随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的，对于函数的随机误差，也是用函数的标准差来进行评定。因此，函数随机误差计算，就是研究函数y的标准差与各直接测量值标准差之间的关系。

根据标准偏差的定义，间接测量y的标准偏差可计算为

式中 σxi——第i个直接测量值的标准差；

ρij——直接测量的量值xi和xj的相关系数。

如果各测量值的随机误差是相互独立的，且测量次数适当大时，有

则函数随机误差公式变为

例2．3 测量一个圆柱体的体积V，采用间接测量法。V的表达式为V＝πD2h／4，其中，D为圆柱体的横截面直径，h为圆柱体的高，若已知D＝10mm，σD＝0．04mm，h＝50mm，σh＝0．06mm，试写出圆柱体的测量结果及其标准差。

解 圆柱体的测量结果为

圆柱体V的标准偏差为

（3）测量误差的分配

任何测量过程皆包含有多项误差，而测量结果的总误差则由各单项误差的综合影响所确定。

现在要研究当给定测量结果总误差的允差时，如何确定各个单项误差。在进行测量工作前，应根据给定测量总误差的允差来选择测量方案，合理进行误差分配，确定各单项误差，以保证测量精度。

现设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，则由式（2．26）可得

其中　

测量误差分配的目的是，根据已给定的σy，确定各个Di或相应的σi，使之满足

显然，式中Di可以是任意值，为不确定解，因此，通常按等作用原则分配误差原理对其进行求解。

等作用原则认为各个直接测量部分的误差对函数（间接测量）误差的影响相等，即

由此可得

按等作用原则分配误差需注意：当有的误差已经确定而不能改变时（如受测量条件限制，必须采用某种仪器测量某一项目时），应先从给定的允许总误差中除掉，然后再对其余误差项进行误差分配。

例2．4 在例2．3中，若要求圆柱体的体积测量的标准差不超过测量结果的0．5%，试进行误差分配。

解 总的标准差要小于

先按等作用原则分配

为达到以上要求，测直径D需采用千分尺，而测h需采用10分度游标卡尺。

直径和高度均为长度量，却要采用两种量具来测量，显然这是不合理的。按等作用原则分配的误差，往往与实际情况不符，因此需对各误差进行调整：将σD和σh均调整为0．02mm，则测直径和测高度均可用同一种量具——50分度游标卡尺来测量。此时

结果说明，σV小于允许值，调整后的误差分配是合理的。

（4）最佳测量方案的选择

选择最佳测量方案，即是当测量结果与多个测量因素有关时，采用某个方案确定各个因素，使测量结果的误差为最小。

函数（间接测量y）的标准差为

欲使σy为最小，可以从以下两方面来考虑：

①间接测量中的部分误差项数越少，则函数误差也会越小，即直接测量值的数目越少，函数误差也就会越小。

②若不同的函数公式所包含的直接测量值数目相同，则应选取误差较小的直接测量值的函数公式。如测量零件几何尺寸时，在相同条件下测量内尺寸的误差要比测量外尺寸的误差大，应尽量选择包含测量外尺寸的函数公式。

图2．6 箱体的孔轴示意图

例2．5 如图2．6所示，测量箱体上两轴孔的轴心距。

测量方法有3种：

方法1：测量d1、d2和L1，则

方法2：测量d1、d2和L2，则

方法3：测量L1和L2，则

若已知各直接测量的标准差分别为σd1＝3μm，σd2＝5μm，σL1＝6μm，σL2＝15μm。试确定最佳的测量方案。

解 分别计算3种方法的总标准差。

方法1：

方法2：

方法3：

由以上计算可知，方法1的总标准差最小，故选用方法1进行测量。