包装测试求稳态响应例题

在实际问题中，经常要遇到这样一类问题．在一个总体中原来参数θ为θ0，由于工作或生产条件的改变，参数θ可能要变化，θ是变大了，还是变小了，或者是没变？这是我们要知道的．它可以通过所谓的“假设检验”来实现．

例如，据以往经验，某地区成年男性平均身高为172（cm）．现随机抽取一个样本，算得平均身高为174（cm）．能否据此认为该地区成年男性平均身高提高了，或者是没有变？

如果将该地区成年男性身高记作总体X，这就是检验X的均值μ的变化情况．当检验平均身高有没有变化时，可以用检验假设H0：μ＝172；H1：μ≠172表示．H0称为原假设， H1称为备择假设（一般它是H0的对立面），H0与H1统称为检验假设．

当检验平均身高有没有提高时，可以用检验假设H0：μ≤172；H1：μ＞172表示．也可以用检验假设H0：μ＝172；H1：μ＞172表示．

又例如，甲、乙两台包装机包装糖果，各随机抽取一个样本，算得样本标准差分别为21（g）和23（g）．问能否据此认为甲包装机工作更稳定一些？

如果将甲、乙两台包装机包装白糖的质量分别记作总体X和Y．这就是比较X与Y的方差大小．可以用检验假设表示，或者用检验假设表示．

下面通过一个例子来说明假设检验的基本思想．

例8．1．1 某车间用一台包装机包装糖果，包装的每袋糖果的重量是一个随机变量，它服从正态分布N（μ，0．0152），当机器正常时，其均值为0．5千克．某天随机地抽取它所包装的糖果9袋，称得净重（单位：千克）分别为：0．497，0．506，0．518，0．524，0．498， 0．511，0．520，0．515，0．512．问该天包装机工作是否正常？

我们按照下面的步骤进行分析求解：

（1）看它工作是否正常，实际上就是看是否可以认为μ＝0．5．若可以认为μ＝0．5，则表明该天的包装机工作正常，否则，若不认为μ＝0．5，则表明该天的包装机工作不正常．

（2）现在要从已观测到的9个数据判断假设H0：μ＝0．5是否成立，将这个问题一般化，就得到下面的一个参数假设检验问题．

设正态总体是来自总体X的一个样本，现对X提出一个假设（称为原假设）：H0：μ＝μ0，和一个对立假设（又称为备择假设）：H1：μ≠μ0．现在要根据样本观测值x1，x2，…，xn判断是接受H0，还是拒绝H0接受H1．

下面讨论依据什么样的准则来决定接受H0，还是拒绝H0．

由第7章知样本均值X作为总体均值μ的一个无偏估计，故当H0成立时，与μ0＝0．5应该比较接近，但由于抽样的随机性，与μ0＝0．5之间不可避免地会出现一定的差异，故一般｜－μ0｜≠0，但是如果｜－μ0｜太大时我们有理由怀疑H0的正确性，并进而拒绝H0．那么｜－μ0｜的值大到什么程度才算是太大了呢？这就需要知道的分布，从它的分布可以确定一个合理的值k，使得当｜－μ0｜≥k时就拒绝H0，于是问题就变成了如何从的分布来确定临界值k．注意在这里我们称｜－μ0｜≥k为拒绝域．

上述关于接受还是拒绝H0的讨论，实际上就是要找到一个临界值k，当H0成立时，随机事件是不太可能发生的，即它是一个小概率事件，设其概率为α，即当H0成立时，有PH0｛｜－μ0｜＞k｝＝α．这里的α称为显著性水平．

由第六章知，当H0成立时，查标准正态分布表有上分位数满足

从而解得临界值因而我们得到如下判别准则：

当时，拒绝H0，接受H1，即认为包装机工作不正常；

当时，接受H0，即认为包装机工作正常．

（3）在本例子中，由题设可以计算出样本均值＝0．511．若取α＝0．05，则k＝zα2·＝＝0．0098，于是有从而拒绝H0，即认为包装机工作不正常．

从上面的例子可以看出假设检验的基本思想，参见节8．1．1－8．1．3．