受向心力作用物体的相互吸引运动

受向心力作用物体的相互吸引运动^[16]

命题68　定理28　在相同的吸引力规律下，如果最里面最大的物体像其他物体一样也受到该吸引力的推动，而不是处于静止。完全不受吸引力作用，或者，不是被或是极强或是极弱地吸引而极强或是极弱地被推动，则最外面的物体S，以其伸向较内的物体P和T的公共重心的半径，关于该重心所掠过的面积更近于正比于时间，其轨道也更近于以该重心为焦点的椭圆。

该定理可以用与命题66相同的方法证明，但由于它冗长繁琐，我在此略过。可以用如下简便方法来考虑。由前一命题的证明易知，物体S受到两个力的共同作用而倾向的中心，非常接近于另两个物体的公共重心，如果该中心与该公共重心重合，而且这三个物体的公共重心是静止的，物体S位于其一侧，而那两个物体的公共重心位于其另一侧，都将关于该静止公共重心画出真正的椭圆。这可以由命题58推论Ⅱ，比较命题64和65的证明推知。现在这一精确的椭圆运动受到二个物体的重心到使第三个物体S被吸引的中心的距离的微小干扰，而且，还要加上三个物体公共重心的运动，摄动增加更多。所以，当三个物体的公共重心静止时，即当最里面、最大的物体T受到与其他物体一样的吸引力作用时，摄动最小；而当三物体的公共重心，由于物体T的运动的减小而开始运动，并越来越剧烈时，摄动最大。

推论如果若干小物体绕大物体旋转，容易推知，如果所有物体都受到正比于其绝对力，反比于距离平方的加速力的相互吸引和推动，如果每个轨道的焦点都位于所有较靠里面物体的公共重心上（即，如果第一个和最靠里面的轨道的焦点位于最大和最里面物体的重心上；第二个轨道的焦点位于最里面二个物体的公共重心上，第三个轨道的焦点位于最里面的三个物体的公共重心上，依此类推），而不是最里面的物体处于静止，而且是所有轨道的公共焦点，则轨道接近于椭圆，面积的生成也比较均匀。

命题69　定理29　在若干物体A，B，C，D，等等的系统中，如果其一个，如A，吸引所有其他物体B，C，D，等等，加速力反比于到吸引物体距离的平方；而另一个物体，如B，也吸引所有其他物体A，C，D，等等，加速力也反比于到吸引物体的距离的平方；则吸引物体A和B的绝对力相互间的比就等于这些力所属的物体A和B的比。

因为，由假设知，所有物体B，C，D指向物体A的加速吸引力在距离相同时相等；由类似方法知所有物体指向B的加速吸引力在距离相同处也相等。而物体A的绝对吸引力比物体B的绝对吸引力，等于所有物体指向物体A的绝对吸引力比在相同距离处所有物体指向物体B的绝对吸引力；物体B指向物体A的吸引力比物体A指向物体B的加速吸引力也与此相等。但是，物体B指向物体A的加速吸引力比物体A指向物体B的加速吸引力等于物体A的质量比物体B的质量；因为运动力（由第二，第七和第八定义）正比于加速力乘以被吸引的物体，且由第三定律相互间是相等的。所以物体A的绝对加速力比物体B的绝对加速力等于物体A的质量比物体B的质量。

证毕。

推论1　如果系统A，B，C，D中的每一个物体都独自以反比于它到吸引物体的距离的平方的加速力吸引其他物体，则所有这些物体的绝对力之间的比等于它们自身的比。

推论2　由类似理由，如果系统A，B，C，D中的每一个物体都独自吸引其他物体，其加速力或是反比或是正比于它到吸引物体的任意次幂；或者，该力按某种共同规律由它到吸引物体间的距离来决定；则易知这些物体的绝对力正比于物体自身。

推论3　在一系统中力正比于距离的平方而减少，如果小物体沿椭圆绕一个极大物体运动，它们的公共焦点位于极大物体的中心，椭圆形状极为精确；而且，伸向该极大物体的半径精确地正比于时间掠过半径；则这些物体的绝对力相互间的比，或是精确地或是接近于等于物体的比，反之亦然。这可以由命题68的推论与本命题的第一个推论比较得证。

附　注

由这些命题自然使我们推知向心力与这种力通常所指向的中心物体之间类似之处；因为有理由认为被指向物体的向心力应当由这些物体的性质和量来决定，如我们在磁体实验中所见到的那样。当发生这种情形时，我们必须通过赋予它们中每一个以适当的力来计算物体的吸引，再求出它们的总和。我在此使用吸引一词是广义的，指物体所造成的相互趋近的一切企图，不论这企图来自物体自身的作用，由于发射精气而相互靠近或推移；或来自以太，或空气，或任意媒介，不论这媒介是物体的还是非物质的，以任意方式促使处于其中的物体相互靠拢。我使用推斥一词同样是广义的，在本书中我并不想定义这些力的类别或物理属性，而只想研究这些力的量与数学关系，一如我们以前在定义中所声明的那样。在数学中，我们研究力的量以及它们在任意设定条件下的相互关系，而在物理学中，则要把这些关系与自然现象作比较，以便了解这些力在哪些条件下对应着吸引物体的哪些类型。做完这些准备工作之后，我们就更有把握去讨论力的本质、原因和关系。现在，让我们再来研究用哪些力可以使由具有吸引能力的部分组成的球体必定按上述方式相互作用，以及由此会产生哪些类型的运动。

（王克迪译）