一个简单例子

13.6.1 应用贝叶斯法则：一个简单例子

从表面上看，贝叶斯法则似乎不是很有用。它需要3个项——1个条件概率和2个无条件概率——仅为了计算另一个条件概率。

但在实际中，因为在很多情况下我们的确对这3项数值有很好的概率估计，而需要计算第4项，所以贝叶斯公式是很有用的。在诸如医疗诊断的任务中，我们经常有因果关系上的条件概率并希望得到诊断结果。医生知道脑膜炎会引起病人脖子僵硬，比如说有50％的机会。医生还了解一些无条件事实：病人患脑膜炎的先验概率是1/50000，而任何一个病人脖子僵硬的先验概率为1/20。令s表示“病人脖子僵硬”的命题，m表示“病人患有脑膜炎”的命题，我们有

P(s|m) = 0.5

P(m)=1/50000

P(s)=1/20

也就是说，我们期望5000个有脖子僵硬症状的病人中只有1个人患有脑膜炎。注意到尽管脑膜炎相当强烈地预示着会有脖子僵硬的症状（概率为0.5），但脖子僵硬的患者患脑膜炎的概率却仍然很低。这是因为病人脖子僵硬的先验概率比患脑膜炎的先验概率高很多的缘故。

第13.4节阐述了一个过程，通过它可以避免对证据的概率（这里，就是P(s)）进行评估，而替代地计算查询变量的每个值的后验概率（这里，是m和¬m），然后对结果进行归一化。当使用贝叶斯法则时同样的过程也可以应用。我们有：

P(M|s) = α P(s|m)P(m), P(s|¬m)P(¬m)

因此，为了使用这种方法我们需要估计P(s|¬m)而不是P(s)。天下没有免费的午餐——有时候这很容易，但有时候却比较困难。使用归一化的贝叶斯法则的一般形式为：

其中α是便P(Y|X)中所有条目总和为1所需的归一化常数。

关于贝叶斯法则的一个明显问题是为什么一个人在一个方向上有可用的条件概率，在反方向上却没有。在脑膜炎的域中，也许医生知道5000个病例里有1个是脖子僵硬暗示着患有脑膜炎的，也就是说，在从症状到病因的诊断方向上，医生有定量信息。这样的医生不需要使用贝叶斯法则。不幸的是，诊断知识往往比因果知识脆弱得多。如果一个地区突然流行脑膜炎，那么关于脑膜炎的无条件概率P(m)会增长。直接根据在脑膜炎流行之前关于病人的统计观察事实得到诊断概率P(m|s)的医生，就会对如何更新这个概率值一无所知。但是根据另外3个值计算P(m|s)的医生，就会发现P(m|s)应该与P(m)成比例增长。更重要的是，因果信息P(s|m)是不受流行影响的，因为它只是反映了脑膜炎的机理。对这种直接的因果知识或者基于模型的知识的使用，为实现在现实世界中可行的概率系统提供了所需的至关重要的鲁棒性。