单位脉冲响应函数与杜哈梅尔积分

在单位脉冲激励下的振动响应，称为单位脉冲响应函数。由于理想的单位脉冲载荷的激励频率范围是无限的，作为单位脉冲激励下的响应，单位脉冲响应函数包含了振动系统的全部动力特征参数。运用杜哈梅尔（Duhamel）积分可以求出系统对于一般非周期动载荷激励下的振动响应。

（一）单位脉冲响应函数

单位脉冲函数定义为

并有

具有以上形式的函数称为δ函数，也称为单位脉冲函数。该函数具有许多非常重要的性质，在许多领域的数值分析中都起到相当大的作用。任何一函数x（t）与δ（t）相乘的积分值等于此函数在零点的函数值x（0），即

式中，c——常数。

（1）任一函数x（t）与具有时移的单位脉冲函数δ（t-t0）乘积的积分值是在该时移点上此函数的函数值x（t0），即

（2）任一函数x（t）与δ（t）的卷积仍是此函数本身，即

（3）单位脉冲函数的傅里叶变换等于1，即

这一特征表明，单位脉冲激振力的傅里叶变换与白噪声的傅里叶变换是相同的。这说明单位脉冲激振力是一种宽频带的激振力。

单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为

对式（2-31）积分并取极限得

可解得

这说明单位脉冲激励使系统获得初始速度x·（0）＝1/m。因为这一脉冲作用的时间很短，此后系统即作自由振动，并由下式：

以及初始条件t＝0时，x（0）＝0，x·（0）＝1/m，可确定X和φ，最后将得到

其中，无阻尼固有频率为

阻尼比为

有阻尼固有频率为

在式（2-35）中，x（t）的表达式通常称为单位脉冲响应位移函数，一般用h（t）来表示，代入式（2-35）为

同理，单自由度系统在单位脉冲荷载作用下的速度和加速度反应分别为H（ω）直接反映系统固有的动力特征，即系统的固有频率、阻尼比等。也可以通过对频域响应函数H（ω）进行傅里叶逆变换，求出单位脉冲位移响应函数h（t）。

（三）杜哈梅尔积分

系统在脉冲函数作用下，其响应可表示为脉冲响应函数h（t）。若系统受到连续力函数f（t）的作用，其响应可用杜哈梅尔积分来求得。杜哈梅尔积分的基本原理是将力函数f（t）用一系列时间间隔为Δτ矩形脉冲函数来近似代替f（t）的作用，其响应可由这一系列脉冲响应的叠加得到

（二）单位脉冲响应函数的傅里叶变换

单位脉冲位移响应函数h（t）的傅里叶变换被称为频率响应函数，用H（ω）来表示，即

当Δτ足够小，Δτ→dτ，则上式的叠加可用积分形式代替，即