四维世界的高维来客

我窥视着，但它一直未曾出现。

我等你给我，最好的纪念。

我如此想念你，而你我却从未谋面。

比约克（Bjork）

交换生平方K

阿西娜不得不承认，她非常想念艾克。虽然她常常觉得他很烦人，但没了他，阿西娜感到很孤独。这时，有一个交换生平方K要来住些日子，阿西娜已经在翘首以待了。可邻居们闭塞的观念令她吃惊，他们竟然害怕平方K的到来。尽管他与大家讲的是同一种语言，行为也不会有什么两样，可就现在这种气氛，单他来自国外这一事实就足以让人们警惕了。

阿西娜问她的邻居为什么这么担心，他们答道：“如果他把那些更加不安分的外国亲戚请来怎么办？他们会不会行为不端，只遵守自己国家的法律？如果他们都来了，谁知道会发生些什么呢？”

阿西娜赶忙告诉他们，平方K和他的亲戚不会待很长时间的，因为他们都不太喜欢安静，只有热闹聚会上那种热烈喧嚣的气氛才有可能把他的家人吸引来。可不幸的是，阿西娜的这番解释让邻居们的疑虑更重了。意识到自己措辞不当后，阿西娜赶忙改口说，外国客人在其短暂的来访期间，一定会遵守当地法律的。邻居们信了，并和阿西娜一起去欢迎平方K的到来。

本书开始时，我解释了额外维度是如何隐藏起来的：它们可能卷曲成很小的形状或可能被膜束缚起来，让人难以察觉。但额外维度真的有可能将其性质完全隐藏，以至于没有任何物质特征能将它与四维世界区分开来吗？这让人很难相信。即便卷曲的维度非常小，令我们相信世界是四维的，但高维世界一定包含着一些新的元素，能让我们将它与真正的四维世界区别开来。

如果额外维度存在，它的痕迹也一定存在。这些痕迹就是卡鲁扎-克莱因（KK）粒子[58]，1KK粒子是额外维度宇宙的附加成分，它们是高维世界的四维印记。

如果KK粒子存在且足够轻，那么高能对撞机就能生成它们，而它们会在实验数据里留下印记，高维侦探——实验者们，就能将这些线索拼凑起来，把数据转换成高维世界的确凿证据。本章将讲述卡鲁扎-克莱因粒子，以及我们相信它们存在于高维世界中的原因。

神秘的卡鲁扎-克莱因粒子，额外维度的印记

即使体粒子在高维空间穿行，我们仍可以用四维语言来描述它们的属性和相互作用。毕竟，我们不曾直接见过额外维度，因此所有东西在我们看来都好像是四维的。就如平面国的居民一样，他们只看的到两维，当一个三维球体穿过他们的世界时，他们看到的就只是两维的圆形碟片；而在我们看来，虽然那些粒子来自高维世界，看上去却好像只在三个维度里穿行。这些来自额外维度的新粒子，在我们看来是四维时空[59]的额外粒子，就是卡鲁扎-克莱因粒子。如果我们能测量和研究它们的所有性质，那么它们就能揭示有关高维空间所有未知的秘密。

卡鲁扎-克莱因粒子

来自额外维度的新粒子，在我们看来是四维时空的额外粒子。卡鲁扎-克莱因粒子是高维粒子在四维的表现形式，正如通过将许多共振模式重叠重现一根琴弦发出的所有声音一样，选择恰当的KK粒子来代替，也可能重现一个高维粒子的行为。

卡鲁扎-克莱因粒子是高维粒子在四维的表现形式，正如通过将许多共振模式重叠重现一根琴弦发出的所有声音一样，选择恰当的KK粒子来代替，也可能重现一个高维粒子的行为。KK粒子完全能代表高维粒子及其穿行的高维几何的特征。

为了模拟高维粒子的行为，KK粒子将必须携带高维动量。每个在高维空间穿行的体粒子都将被KK粒子的四维有效描述所代替，这些KK粒子有着模拟这个高维粒子的正确动量和相互作用。一个高维宇宙既包含我们熟悉的粒子，也包含它们相对应的携带由卷曲空间的具体性质所决定的额外维动量的KK粒子。

但四维描述不包括有关高维位置或动量的信息，因此当我们由四维视角来看时，KK粒子的高维动量必须有一个另外的名称。狭义相对论所规定的质量和动量的关系告诉我们，额外维度的动量在四维世界里就可以被看作质量。因此，KK粒子与我们熟知的粒子一样，只是其质量反映了它们的高维动量。

KK粒子的质量由高维几何所决定，但它们的电荷与已知的四维粒子是相同的。这是因为，如果已知粒子源于高维时空，那么高维粒子就必须与已知粒子携带同样的电荷，这对模拟高维粒子行为的KK粒子也一样。因此，对应我们熟悉的每个粒子，应该会有许多电荷相同的KK粒子，但质量却各不相同。

例如，如果一个电子在高维空间穿行，那么它就会有一个携带同样负电荷的KK伙伴；如果一个夸克在高维空间穿行，那么它也会有一个对应的KK粒子，与夸克一样经受强力。KK伙伴与我们熟知的粒子有相同的电荷，但质量要取决于额外维度。

确定卡鲁扎-克莱因粒子质量

为理解KK粒子的起源和质量，我们不应局限于早先考察过的不可见卷曲维度的直观感觉。为简便起见，我们先来看一个没有膜的宇宙，其中每个粒子从根本上讲都是高维的，而且能自由地在所有方向运动——包括那些额外的方向。具体来说，让我们设想一个只有一个卷曲成圆圈的额外维度的空间以及在这个空间里穿行的基本粒子。

倘使我们生活在牛顿经典力学主宰的世界，那么卡鲁扎-克莱因粒子就可能具有任何值的额外维度动量，由此，质量也会是任意的。可是，我们生活在一个量子力学的宇宙里，这样情况就不同了。量子力学告诉我们：正如只有小提琴的共振模式才能形成琴弦发出的声音一样，KK粒子在重现高维粒子的运动和相互作用时，只有量子化的额外维度动量才有贡献；也正如琴弦的音符依赖于琴弦的长度，KK粒子的量子化额外维度动量也取决于额外维度的大小和形状。

KK粒子携带的额外维度动量，在我们的四维世界看来，就是KK粒子与众不同的质量模式。如果物理学家发现KK粒子，这些质量就会为我们揭示额外维度的几何形状，例如，如果只有一个卷曲成圆圈的额外维度，这些质量就能告诉我们额外维度的大小。

寻找KK粒子在一个卷曲维度的宇宙里的容许动量（从而质量）的做法，就像你从数学上来确定小提琴的共振模式的方法，也像玻尔确定原子的量子化电子轨道所使用的方法。量子力学将所有粒子都与波相联系，只有那些能以整数倍在一个额外维度圆圈上振动的波才是被允许的。我们确定了允许的波，然后用量子力学把波长和动量联系起来，额外维度的动量就告诉我们KK粒子被允许的质量，这正是我们要知道的。

恒定的波（这个波根本不会振动）总是被允许的，这个“波”就像是一个完全静止的、不起涟漪的池塘表面，或者像一根未经拨动的琴弦。这个概率波在额外维度的任何地方都是同样的值，因为一个平坦概率波的值是恒定的，所以与这个波相关的KK粒子不会偏好额外维度的任何位置。根据量子力学，这个粒子不携带额外维度动量；因而由狭义相对论可知，它也没有额外的质量。

因此，最轻的KK粒子就是这类在额外维度里有恒定概率值的粒子。在低能量上，这是唯一能生成的KK粒子。因为它既没有额外维度的动量也没有额外维度的结构，因此很难与一个有着相同质量、相同电荷的常见四维粒子区分开来。在只有低能量的情况下，一个高维粒子根本不可能在收紧的卷曲维度里运动，换句话说，低能量不能生成可以区分我们的宇宙与高维宇宙的额外KK粒子。因此，低能过程和最轻的KK粒子不能揭示有关额外维度存在的任何迹象，更不用说它的大小和形状了。

但是，如果宇宙包含额外维度，而粒子加速器又达到了足够高的能量，那么它就能生成更重的KK粒子，这些携带了非零额外维度动量的重KK粒子，将是额外维度存在的第一个铁证。在我们的例子里，那些与重KK粒子关联的波有着沿额外维度的圆形结构，这些波缠绕着卷曲的维度，沿着圆周整数次地上下振动。

最轻的KK粒子就是那些概率函数波长最大的粒子。一个波围绕卷曲维度上下振动一次恰好围成一个圆，这就是最大的波长，这个波长是由额外维度的周长决定的（它们大约是同等大小），波长再大则会不适合：当它沿着圆圈回到那个点时，波与圆则不再重合。有着这种概率波的粒子就是能“记住”其额外维度起点的最轻的KK粒子。

这个有着非零额外维度动量的最轻粒子，其相关波的波长与额外维度大约同样大小，毕竟，只有小到足以探索极小尺度和相互作用的东西才会灵敏地探测到卷曲维度的存在。用一个较长的波长来探索额外维度，就好比要用一把尺子去测量一个原子的位置。例如，如果你用光或是其他有特定波长的探测工具来探测一个额外维度，那么光的波长必须短于额外维度的尺寸。因为量子力学将概率波与粒子联系起来，上述有关探测波长的陈述也是粒子性质的陈述。只有波长足够短（根据不确定性原理）而额外维度动量和质量足够高的粒子，才有可能灵敏地探测到额外维度的存在。

有着非零额外维度动量的最轻KK粒子，还有另一个吸引人的特征：当额外维度较大时，它的动量（从而质量）会更小。因为较轻的粒子更容易生成和发现，因此，较大的额外维度应该更容易探测，并且有更多较容易探测的结果。

如果确实存在额外维度，那么它们的证据将不仅仅是最轻的KK粒子，其他一些高动量的粒子，会在粒子对撞机里留下更鲜明的额外维度印记。当穿越卷曲的额外维度时，这些粒子的概率波不止振动一次，因为第n个这样的粒子对应的是绕卷曲维度上下振动n次的波，这些KK粒子的质量都将是最轻粒子质量的整数倍。动量越高，KK粒子在对撞机里留下的印记则越鲜明。图18-1简单说明了KK粒子的质量值，以及对应这些有质量粒子的两个波。粒子质量与额外维度的大小成反比。

图18-1　 KK粒子质量及其对应的波。卡鲁扎-克莱因粒子对应的波围绕卷曲的维度整数次地上下振动，波的振动次数越多对应的粒子则越重。

依次加重的许多粒子就好像一个移民家族的好多代：在美国出生的最年轻一代完全被美国文化所同化，他们讲着完美的英文，一点儿听不出外国口音，也就分辨不出他们的从哪儿来；而上一代人，他们的父母情况就不是这样了：也许他们会带一点儿口音，偶尔还会讲几句他们祖国的谚语；再上一代人的口音则更重，甚至他们的穿戴以及所讲的故事都是从祖国带来的。我们可以说，正是这些早几代的移民拓宽了我们的文化维度，使我们的社会不那么单一，变得更加丰富多彩。

同样地，最轻的KK粒子与一个本质是四维世界里的粒子是没有区别的，只有那些质量更大的“老亲戚”才能揭示额外维度的证据。尽管最轻的KK粒子看上去是四维的，但是一旦达到足够的能量，生成质量更大的“老一代”，它们的证据便会是显而易见的。

如果实验者发现新的与我们熟悉的粒子有相同电荷的重粒子，其质量也彼此相似，那么这些粒子将成为额外维度强有力的证据。如果这些粒子有相同的电荷，而且间隔一个固定的质量差，这很可能意味着我们发现了一个简单的弯曲维度。

但更为复杂的额外维度几何会生成更为复杂的质量类型。如果我们找到足够多的粒子，则KK粒子不仅能揭示额外维度的存在，还将告诉我们额外维度的大小和形状。无论隐藏的维度是什么形状，KK粒子的质量都会依赖于它。无论何种情形，KK粒子和它们的质量都将揭示出关于额外维度性质的许多东西。

实验限制

一直以来，大多数弦理论学家认为：额外维度不会比微小的普朗克长度大太多。这是因为，在普朗克级能量上引力会变得强大，这就需要量子引力理论来接管这一领域，而它可能是弦理论。但普朗克长度远小于我们实验所能探索的尺度，这个微小的普朗克长度对应的（据量子力学和狭义相对论）就是巨大的普朗克质量（或能量）——它是目前粒子加速器所能达到能量的1亿亿倍。普朗克质量的KK粒子如此之重，将远远超出我们能够想象的实验探测范围。

但是，额外维度也许会更大，而KK粒子会更轻。为什么我们不反过来问，有关额外维度的大小，实验都告诉了我们些什么？排除理论偏见，我们又实际了解到些什么？

如果世界是高维的，而且没有膜，那么我们熟悉的所有粒子，如电子，都会有它们的KK伙伴。这些粒子将与我们熟悉的粒子有恰好相同的电荷，携带着额外维度的动量。电子的KK伙伴将与电子一样带负电荷，只是更重。如果一个额外维度卷曲成一个圆，那么这种最轻粒子的质量和电子质量的差额与额外维度的大小便成反比。这就意味着，额外维度越大，粒子质量越小。因为一个更大的维度会形成一个更轻的KK粒子，而实验中还没有发现这样的粒子，所以KK粒子质量的限度就规定了卷曲额外维度被允许的大小。

迄今为止，在运行能量达到约1 000 GeV的对撞机里，还没有出现这种带电粒子的任何迹象。因为KK粒子就是额外维度的印记，我们没有找到它们，这就说明额外维度不可能太大。目前的实验限制告诉我们，额外维度不可能超过10-17厘米[60]，这个尺度是极其微小的——远小于我们能直接看到的任何东西。

额外维度大小的这一限定比弱标度长度大约小10倍，虽然10-17厘米很小，但比普朗克长度10-33厘米大16个数量级。这意味着额外维度可以比普朗克长度大得多，但仍未被发现。希腊物理学家伊格内修斯·安东尼亚迪斯（Ignatius Antoniadis）最先想到了额外维度可能不是普朗克长度，而是与弱标度长度差不多大小。他一直在思索，把对撞机的能量再提高一点儿会有什么新的发现。毕竟，等级问题告诉我们，在这些能量上肯定会发现某些东西，这是具有弱力级能量和质量的粒子生成的地方。

但即使是以上对额外维度大小的限定，也并不一定总是适用。虽然KK粒子是额外维度的印记，但它们难以捉摸，很难被发现。最近，我们对KK粒子及其表现的了解又增加了许多，后面的几章就将解释最新的成果：虽然我们认为更大的维度会形成更轻的KK粒子，可为什么一旦将膜考虑在内，额外维度就可能大于10-17厘米而仍不被发现？有些模型包括很大的维度（你可能以为这些维度会形成可见的结果），虽然仍是看不见的，但能帮助解释标准模型粒子的神秘属性。在第22章里，我们将看到一个更加出人意料的结果：一个无穷大的维度可以形成无穷多的轻KK粒子，却仍没有留下任何可观察的痕迹。

●卡鲁扎-克莱因（KK）模式是携带额外维度动量的粒子，它们是四维世界的高维来客。

●KK粒子看上去就与重粒子一样，与已知粒子有着相同的电荷。

●KK粒子的质量与相互作用要由高维理论来确定，因此它们反映了高维时空的属性。

●如果我们能发现和测量所有KK粒子的属性，我们就能知道高维度的大小和形状。

●目前的实验限制告诉我们，如果所有粒子都能穿行于高维空间，那么额外维度不可能大于10-17厘米。