《方法论》

当你阅读任何一本古希腊几何学著作时，你都不能不惊叹于那些两千年前就提出的定理和证明的简洁和精炼，并会不由自主地被这种风格所打动。但是，这些书籍通常都不会向你提供一个清晰的思维线索，以让我们能明白这些理论和定理最初是如何构想的。阿基米德那本杰出的专著《方法论》填补了这方面的空白，他揭示了他自己在知道怎样证明之前，是如何确定定理的真实性的。这里有一段文字，它们摘自阿基米德写给昔兰尼的数学家埃拉托色尼（约公元前276—194）的一封信，在这封信里，阿基米德简要介绍了他的《方法论》的主要内容^［78］：

我将在本书中向您展示这些定理是如何证明的。我知道，您是一位勤奋和优秀的哲学老师，对任何数学研究都非常感兴趣，所以我认为在这本书里向您详细地说明我所采用的这种特殊的方法是十分合适的，通过这种特殊的方法，您将能借助力学的帮助认识特定的数学问题。我认为这对于发现那些定理的证明更有价值也不无益处。有些问题，最初是通过物理方法认识的，随后却是用几何方法证明的，因为力学方法无法提供真实的证明。这主要是由于解决那些先前已经获得一些相关知识的问题，比起那些事先没有一点背景知识的问题要轻松得多。

在这里，阿基米德触及了在科学研究中和数学发展史上最重要的一个观点——找到“什么是重要的问题或定理”，通常要比解决那些已知的问题或证明已知的定理更加困难。那么，阿基米德是如何揭示新理论的呢？利用他对力学、平衡理论、杠杆原理的深刻理解，阿基米德先在自己的脑海里与已知物体的体积和图形的面积进行比较，大体估量一下他准备计算的物体的体积和图形的面积。通过这种方式，阿基米德发现从几何学上证明未知物体体积和图形面积就容易多了。随后，在《方法论》中阿基米德指出一系列图形的重心位置并给出了几何证明。

在这里，我们可以从两个方面来认识阿基米德方法的不同凡响之处。首先，从本质上讲，是阿基米德把思想实验引入到了严谨的科学研究之中。公元 19世纪，德国物理学家汉斯·克里斯汀·奥斯特（Hans Christian Orsted）第一次把这种用虚构的实验代替真实实验的方法定名为“Gedankenexperiment”（在德语中，它的意思是“思考引导的实验”）。在物理学中，这个概念具有很高的地位和价值，思想实验可以用在真实实验之前，让我们能事先了解实验过程。或者在某些情况下，由于缺乏必要条件，真实实验根本没有可能在现实中进行，此时思想实验就有了用武之地，它可以帮助我们理解实验内容。其次，这一点也许更重要，阿基米德把数学从欧几里得和柏拉图等人所打造的人造链条上拆了下来，让它获得了自由。对于欧几里得和柏拉图来说，有一种方式，也仅有这一种方式，可以完成数学工作：你必须从公理出发，利用指定的工具，沿着固定不变的逻辑步骤顺序进行证明。但是，拥有自由灵魂的阿基米德却不甘于被这种方式所束缚，他使用他所能想到的所有方法和证据，提出新问题，并根据自己的思考将它们解决。他毫不犹豫地探索和发展抽象的数学公式、概念（柏拉图的世界）和物理现实（真实的物体）之间的联系，并在这个过程中不断发展他的数学理论。[11]

最后一项奠定阿基米德“魔法师”地位的基础并使之更加牢固的成就，是他预测了微积分^［79］。微积分是数学的一个分支，是由牛顿在17世纪末（几乎与此同时，德国数学家莱布尼茨经过独立研究后也提出了该理论）正式建立和发展起来的。

积分背后所隐藏的基本思想实际上非常简单（当然，是在被指出来之后）。例如，如果你想要计算椭圆上的一段弧与这段弧的两个端点之间的直线所围成图形的面积。你可以把这个图形分解成许多宽度相等的长方形，当把这些长方形的面积相加之后，就得到了所求面积（如图 3-5所示）。很明显，分解出的长方形数量越多，这些长方形面积和就越接近真实的数值。换句话说，当被分解的长方形数量逼近无限的时候，把这些长方形的面积加起来就得到了你想要计算图形的实际面积。阿基米德所发现的这个极限就称为积分。利用我在上面描述的方法，阿基米德计算了球面、圆锥面、椭圆面和抛物面的面积和由它们形成的实体的体积（把椭圆或抛物面绕它们的轴旋转后得到的）。

图3-5

微分的一个主要的目标就是计算曲线上给定一点的切线的斜率，此时这条切线与这曲线只在这一点相交。阿基米德给出了一种特殊螺旋的切线斜率计算方法，对微分更进一步的研究是由牛顿和莱布尼茨完成的。今天，微积分的面积计算以及由此衍生的数学分支是建立绝大多数数学模型的基础，在物理学、工程学、经济学或流体力学中都有广泛应用。

阿基米德改变了数学世界，也从根本上改变了人们对数学与宇宙之间的关系的认识。通过展示数学理论与实践之间令人震惊的紧密联系，阿基米德第一次提出了以观察和实验为基础，而不是靠神秘的臆想来解释自然界中似乎利用数学设计过的各种现象。正是由于阿基米德的努力，人类才孕育出了“数学是宇宙的语言”，以及“上帝是数学家”的思想和认识。当然，也有一些是阿基米德没有做到的。例如，阿基米德从来没有讨论过，如果把他所建立的数学模型应用于实际物理环境中时，可能会存在哪些限制。举个例子来说，在阿基米德关于杠杆原理的理论探讨中，他就没有考虑过杠杆自身的重量，并且还假设他所研究的杠杆硬度是无穷大的。我们可以说阿基米德推开了一扇门（穿过这扇门之后，人类就可以用数学模型解释自然现象），但阿基米德推开的幅度有限，只达到了“挽回面子”[12]的程度。这种观念就是，数学模型也许仅仅能代表人类所观察到的，而不能描述现实存在的物理世界。希腊数学家格米纽斯（Geminus，约公元前10—公元60）在研究天体运动时，第一个从细节上讨论了数学模型和物理解释之间的差异。格米纽斯^［80］指出了天文学家和物理学家的差别，按照他的观点，天文学家（或数学家）的工作仅仅是提出模型构造的建议，这个模型实际上是他们观察到的天空中星体运动的再现，而物理学家的工作则是解释这种真实运动。这种特殊的差别在伽利略的时代达到了戏剧性的白热化程度，在本章的稍后部分我还会继续讨论它。

也许你会感到奇怪，阿基米德本人认为他最杰出的成就是发现了圆柱体内切球体（如图3-6所示）的体积是该圆柱体体积的2/3。阿基米德对于他的这个发现极为自得，甚至于要求将这个发现镌刻在他的墓碑上作为他的墓志铭^［81］。在阿基米德去世后 137年，罗马著名演讲家马库斯·图利乌斯·西塞罗（Marcus Tullius Cicero，约公元前106—前43）发现了这位伟大数学家的墓地，西塞罗对于他的寻找过程有一段相当生动也十分令人感慨的描述^［82］：

图3-6

当我在西西里岛任财务官时，我就四处寻访阿基米德的墓地，锡拉库扎人对此一无所知，并且拒绝承认阿基米德墓地的存在。但是，这一小片完全被荆棘覆盖、被灌木所包围的区域，的确是伟大的阿基米德埋骨之所。我曾经听说过几句据说是镌刻在他墓碑上的很短的诗句，这些诗句提到了圆柱体和球体模型。为此，我遍访阿格里根琴门（Agrigentine Gate）附近所有的墓地，逐个查看这些墓地上所立的墓碑。最后，我注意到有一块墓碑经过清洗后，上面可以模糊地发现刻有一个小柱体，在它之上是一个球体和圆柱，我马上意识到并告诉我身边的锡拉库扎人，这就是我正在寻找的目标。我们安排了一些人手用镰刀把四周的杂草清理了一下，并开辟出了一条小路直接通向这座纪念碑。碑上的那些诗句依稀可辨，只不过每句的后半部分已经在岁月的侵蚀下模糊不清了。这座城市是古希腊世界中最著名的城市之一，同时也是过去岁月里伟大的学术中心，却对它曾经诞生过的最光彩夺目的公民的葬身之地完全一无所知，幸亏我这位来自阿尔皮努姆（Arpinum）的人出现了并认出了它！

西塞罗的描述并未夸大阿基米德的伟大。事实上，在用“魔法师”作为标题时，我有意抬高了魔法师的门槛，以伟大的阿基米德为基准，以致我们要向前一跃至少1800多年去寻找与阿基米德相比肩的人物。与宣称自己能够推动地球的阿基米德不同，这位“魔法师”坚持认为地球已经在移动了。