进入柏拉图的洞穴

著名的英国哲学家、数学家怀特黑德（Alfred North Whitehead，1861—1947）曾经这样评价^［43］：“关于西方哲学史最准确的概括就是，这些都是柏拉图思想的脚注。”

事实上柏拉图（约公元前428—前347）最先把数学、科学、语言学、宗教、伦理、艺术等学科融合在一块，统一对待、研究，这种方法的本质是把哲学定义为一门学科。对柏拉图而言，哲学并不是那种与日常活动完全脱节的、抽象的主题，而是引导人类按正确的方式去生活、认识真理，并管理他们的政治活动的主要力量。尤其需要注意的是，柏拉图认为哲学能帮助人类进入真理的王国。在柏拉图的观念里，真理王国绝非人类可轻易触及，如果我们只是通过直接的感官感知，或者仅仅利用简单的常识来推导，就想进入这个王国，是不可能成功的。那位纯粹知识、绝对完美和永恒真理的不懈追寻者是谁呢^［44］？

柏拉图出生于雅典，也有记载认为是埃伊纳岛（Aegina）。他的父亲是阿里斯通（Ariston），母亲是克里提俄涅（Perictione）。图 2-7是柏拉图的罗马石柱头像，它极有可能是现存最接近柏拉图本人的雕塑了，据说是根据公元前 4世纪的古希腊作品复制的。柏拉图父母两族都人材辈出，比如梭伦（Solon），他是一位著名的立法学家，还有科德罗斯（Codrus），他是雅典最后一位国王。柏拉图的叔叔卡尔米德（Charmides）、表舅克瑞提亚斯（Critias）是著名哲学家苏格拉底（约公元前470—前399）的好友，而苏格拉底对柏拉图在许多方面都有深远的影响，特别是对柏拉图早期哲学思想的形成更是如此。早年，柏拉图的志向是从事政治，但是当时一系列政治派系之间的暴力活动使他对当时的政治十分失望。后来，早期这种由政治带给他的厌恶感，刺激他开始思考教育本质。在柏拉图看来，教育的本质就是培养日后保护国家的精英。有一次，他甚至试图（当然最终他并未成功）成为锡拉丘兹（Syracuse）的国王狄奥尼修斯二世（Dionysius Ⅱ）的家庭老师。

图2-7

公元前 399年苏格拉底被判处死刑，这件事对柏拉图刺激很大。之后他开始广泛的游历，直到公元前 387年左右，他建立了一所著名的学院（Academy）。这所学院讲授的课程主要是哲学和科学。直到去世时，柏拉图一直担任该学院的院长。在他之后，该职位由他的外甥斯珀西波斯（Speusippus）继任。与今天正规的高等院校不同，Academy学院有些不正式，学院的学生大多都是当时的俊杰，他们在柏拉图的指导下，根据自己的兴趣自由选择研究方向，而后进行深入的研究。学院不收学费，没有必须遵照执行的课程表，甚至没有全职的教职人员。尽管环境十分宽松，但想进入学院学习却不是那么容易，据说学院有一条明确的“入门须知”。根据公元4世纪罗马国王、“叛教者”朱利安的某次演讲^［45］，我们得知，柏拉图的学院门口悬挂着一块颇为沉重的石碑，然而石碑铭文的具体内容是什么，在朱利安的演说中并未明确提及。但在公元 4世纪的一部著作的旁注中却有记载：“不懂几何的人不得入内。”柏拉图学院的建立与对这块石碑铭文的首次描述之间相隔了至少 800年，因而我们不能完全确定这句话的真实性。不过，毫无疑问，这个苛刻的要求所表达的含义反映了柏拉图对待数学的态度。在柏拉图一篇有名的对话《高尔吉亚篇》（Gorgias）中，他表示：“几何中的等式对于诸神和人类都同样重要。”

柏拉图学院中的“学生”通常自己承担食宿。他们中的某些人，例如亚里士多德，甚至在里面呆了 20年。柏拉图认为与那些富有智慧的俊杰朝夕相处，共同研究，不断讨论，可以相互启发，教学相长，这种可以不断激发新思想的学习方式是最好的学习方法。他们研究的课题范围十分宽泛，涵盖抽象的形而上哲学、数学、伦理学、政治学，等等。在柏拉图学院中所教授的学科是十分纯粹的，甚至在某种程度上可以说是神圣的。比利时象征主义画家琼·戴尔维（Jean Delville，1867—1953）在一幅名为《柏拉图的学院》的绘画作品中，传神地捕捉到了这种品质，并通过他的作品进行了精彩的诠释。为了强调柏拉图学生们的自由精神，戴尔维用裸体的艺术形式表现他们的形象，画作中的人物看起来都是中性（兼具两性）的，这是因为这种形式被认为是人类最原始的形态。

考古学家至今仍未发现任何柏拉图学院的遗迹，对此我非常失望^［46］。2007年夏天，我去希腊旅游了一次，期间我特地去探寻了柏拉图学院存在的线索。由于柏拉图曾提到宙斯柱廊（公元前 5世纪修建的有顶人行道）是与朋友交流的最好去处，我专门去那看了看。今天这条柱廊只留下一些断壁残垣（如图2-8所示），位于雅典西北部的一所古集市内。但是在柏拉图时代这个地方可是世界文明的中心。必须要说的是，虽然那天室外气温高达 115℉，但当我徘徊在这条小道上时，仍然不由自主激动地颤抖。想象一下吧，我脚下的小道，也是人类历史上最伟大的那些人同样走过了成百上千次的地方。

图2-8

柏拉图学院大门上那块传奇的石碑清楚地表达了柏拉图对数学的态度。事实上，公元前 4世纪最重要的数学研究与发现，都与柏拉图学院有着千丝万缕的联系。然而，让人吃惊的是，柏拉图本人却不是一位专业的数学家，他对数学直接的贡献就更少了。在某种程度上，他只是一名热情的观众，是激发竞争的源头，是能给出准确评价、富于洞察的评论家，是鼓舞人心、激发前进动力的向导。公元 1世纪，哲学家、历史学家菲洛德穆^［47］（Philodemus）描绘了这样一幅画面：“柏拉图好像是一位总设计师，他提出问题，分配人员，安排进度，数学家们则极其认真地开展研究。通过这样的研究方式，当时最伟大的发现都集中在了数学领域。”新柏拉图派的哲学家、数学家普罗克洛斯^［48］（Proclus）补充道：“出于对数学等研究领域的热情，柏拉图极大地发展了数学，特别是几何学。众所周知，他在著作中高度关注数学课题，并且不遗余力地引导并激励他的学生在各自研究中重视数学。”换句话说，尽管柏拉图本人的数学成就并不突出，但他对数学的理解基本与时代同行，他是一位问题发现者，并能与数学家进行平等的对话和交流。

另外一项评判柏拉图在数学领域中的贡献的重要证据，来自于他的著作《理想图》（The Republic），这也许是他最重要、最伟大的对话录。在《理想国》一书中，各种思想融合为一体，包括美学、伦理学、形而上哲学和政治学。在这本书的第7章，通过主要的对话对象苏格拉底之口，柏拉图提出了通过教育培养乌托邦管理者的宏伟计划。这张严格的培训课程表（也许过于理想化了）中包括以下内容：从孩童时期就通过戏剧、旅游和体操对他们进行训练，之后从中挑选出有培养前途的苗子，进行不少于10年的数学教育、不少于5年的辩证法教育，以及不少于15年的实践锻炼。实践锻炼的主要途径是让他们在战时和平时担任“适合于年轻人”的领导职务，通过这种方式增加实际经验。对于为什么要对那些未来的政治精英进行这种严格的训练，柏拉图给予了清晰明确的解释^［49］：

我们需要那些就职后不会变得墨守成规的人，否则，就会有一场竞争了。还能有比那些从政经验丰富、拥有各种卓越才能、适合政治家生活的精英更合适的人，来管理这座城市吗？

令人耳目一新，是吧？这种要求即使在柏拉图时代可能也是不切实际的。不过，乔治·华盛顿就认同柏拉图的某些观点，他认为对未来政治家进行数学和哲学教育是十分有必要的^［50］：

数学，就某种程度而言，不仅在现代文明时代各行各业中都不可或缺，而且在人们探索数学真理的过程中，会使人类思维习惯于通过推理的方法思考解决方法和寻找正确答案。同时，它也是培养理性思维最有效的方式。事物存在本身就令人难以理解，有太多不确定因素交织在一起，阻碍了我们对事物的认识，然而理性思维能帮助我们发现其根源。有了数学和哲学的引导，人类会不自觉地进行全面的观察和深入的思考。

数学的本质是什么？比起柏拉图是数学家还是研究的发起者这类问题来，更值得关注的问题是，柏拉图是一位数学哲学家吗？柏拉图那光耀千古的思想不仅使他超越了所有同时代的哲学家和数学家，而且也使他成为随后千年以来最具影响力的重要人物之一。

柏拉图关于数学本质的观点，在他那个著名的山洞的寓言里得到了极好的诠释，在这个寓言中他着重表达了对人类感官所提供信息的正确性的怀疑。柏拉图认为，人类所能感知的世界，并不比在洞穴墙壁上投射的阴影更真实^［51］，这儿有一段摘自《理想国》的著名篇章：

假设有一群人居住在地底一个山洞中，这个山洞只有一个长长的出口，洞口正对着横扫过的光线。这些人从小就被困在这个山洞里，他们的腿和脖子都被绑起来，不能随意移动，头部也不能任意转动，只能看到自己的正前方。洞中的光明来自于他们头顶和身后极远处的火堆，在火和这些居民之间有一条小路，路的尽头有一面墙，它有点儿像是木偶剧中观众面前的幕布，通过这块幕布能看到木偶的表演。从墙上还能看到人类拿着手工制品、木头、石块和其他各种材料进行生产活动，所有这些场景都被投射到了这面墙上。你可以想象，这些人看不到他们自己和别人，而只能看到被火光映射到洞中那面墙壁上的影子。

根据柏拉图的观点，我们与那些生活在山洞中、把影子当做真实存在的人，在本质上并没有什么不同（图 2-9 所示的版画是简·萨恩莱姆于 1604年创作的，版画的内容表现的就是柏拉图的这个寓言）。特别需要关注的是，柏拉图着重强调，数学真理反映的不是圆、三角形、正方形这些可以被画在纸莎草纸上，或者用一根木棍画在沙滩上的有形的事物，而是存在于理想世界中抽象的无形的东西，这个理想世界是所有真理和完美汇集的地方。这个数学形式的柏拉图世界与物理世界截然不同，并且正是在这个世界中，数学命题——例如毕达哥拉斯定理，才是真正正确的。我们能描绘在纸上的直角三角形并不是完美的直角三角形，它只是理想的、“真正”的直角三角形的一个近似副本。

柏拉图关注的另一个基础课题就是数学证明过程的本质，他从细节上对这个问题进行了研究，这种证明过程以假设和公理为基础。这里所谓的公理就是一些基础的论断，它们的正确性被认为是不证自明的。例如，欧几里得几何学中第一条公理是：两点之间只有一条直线。在《理想国》中，柏拉图用十分精辟的语言，把假设的概念，与他的数学世界的概念联系在了一起。

图2-9

我想你应当知道，那些专注于几何学和算术学以及其他相关学科的人，把这些学科中的奇数、偶数、算术、三种角度，以及其他与它们同根同源的概念视为理所当然。他们认为这些概念众所周知。当把这些基本概念作为假设前提后，就不需要对自己或其他任何人再作解释，他们觉得，这些对每个人而言都是显而易见的。基于这种假定，他们立刻着手研究论题中其余的部分，直到得出能获得普遍认同的结论。你还应该知道他们利用了可见的图形，并为之争论，但是在此过程中他们考虑的不是图形，而是图形代表的意义。因此，他们讨论的主题是绝对的正方形和绝对的直径，而不是那些能画在纸上的圆的直径……人们研究的是能看到的事物，它们是绝对存在的具体化的对应物，这种绝对存在不可能被看到，但能被思考。

柏拉图的观点形成了柏拉图主义^［52］，柏拉图主义专门讨论了数学的本质。柏拉图主义认为存在某种抽象、持久和不变的客观真相，这种客观真相与我们感知到的、短暂的世界没有关系。根据柏拉图主义的观点，和宇宙的存在一样，数学也是作为一种客观真相存在的。不仅自然数、圆和正方形是真实存在的，而且，虚数、函数、分式、非欧几何学、无限集合，以及与它们相关的各种定理也同样是真实存在的。简而言之，每一个数学概念或者“客观真相”的陈述（稍后定义），无论是已形成的确切的阐述，还是想象中的陈述，以及无数尚未发现的概念和表达，都是绝对的实体，或者说是万物。这些实体既不能被创造，也不会被毁灭，它们独立存在于我们的认识之外。更不用说，这些事物不是物质的，它们存在于一个永恒的、由事物本质构成的世界里，这个世界是完全自治的。柏拉图主义认为数学家在某种程度上和探险家是一样的，他们只能发现真理，却不能发明真理。在哥伦布或雷夫里·埃里克森（Leif Ericson）发现之前，美洲大陆一直都在那儿。同样，在巴比伦人开始研究之前，数学定理已经存在于柏拉图的世界里了。对柏拉图而言，唯一真实并完全存在的是那些抽象的数学思想和表达形式，在他看来只有在数学世界中才会有绝对的肯定和客观的知识。因此，在柏拉图的观念里，数学与神圣联系在了一起^［53］。他在对话录《蒂迈欧篇》（Timaeus）中提到造物主利用数学创造了世界，在《理想国》中他再次提到，数学知识是理解神圣形态的一个关键环节。柏拉图没有利用数学公式表达那些可以用实验验证的自然法则。除此之外，柏拉图认为人类所处世界中的数学特性，仅仅是“上帝研究几何学”的产物。

柏拉图还把这种“真实形态”的思想拓展到了其他学科领域，特别是天文学。他主张在真实天文学中“不能打扰天空”，并且不要试图解释可见星辰的排布和明显的运动^［54］。不过柏拉图认为真实的天文学是一门研究理想数学世界中运动法则的科学。对于真实的天文学而言，可观察到的天空只不是一种图示罢了（如同画在纸莎草纸上的几何图形也仅仅是真实图形的示例）。柏拉图对天文学研究的建议被认为是极富争议的，甚至在那些最虔诚的柏拉图主义者中也有不同意见。他的支持者提出，柏拉图的真实意思并不是说真实天文学应当只关注与可观察到的天空毫无关系的理想天空，实际上他认为应当研究天空星体真正的运动，而不是我们从地球上看到的表面上的星体运动。然而，反对者们则指出，严格按照柏拉图观点的字面意思去做的话，会对作为一门科学的观测天文学发展产生巨大阻碍。无论柏拉图对天文学的态度如何，当柏拉图主义意识到数学的基础性时，也就成为领先的信条之一了。

可是，柏拉图的数学世界是否真实存在？如果它存在，那么它究竟在哪里？并且那些所谓的我们这个世界里的“客观真实”的陈述是什么意思？遵循柏拉图主义的数学家是不是只是在表达一种浪漫的信仰？这种浪漫的信仰被认为出自于文艺复兴时期伟大的艺术家米开朗琪罗。根据传说，米开朗琪罗相信他所有的雕塑作品事实上已经存在于大理石中了，他的工作不过是把它们表层的覆盖物揭掉而已。

今天，柏拉图主义者（是的，他们绝对存在，后续的章节会详细讨论他们的观点）坚持认为数学形式的柏拉图世界真实存在，并且还提供了他们认为真实存在的关于客观真实的数学表达的有力证据。

让我们看看以下这个很容易理解的命题：所有比 2大的偶数都可以表示为两个质数（只能被 1和它自己整除的数）之和。这个听起来十分简单的陈述就是著名的哥德巴赫猜想，之所以被称为“哥德巴赫”，是因为类似的说法最早出现于普鲁士业余数学家克里斯汀·哥德巴赫（1690—1764）在1942年6月7日所写的一封信里。你可以很轻易地验证猜想中前几个偶数的正确性，如4＝2＋2、6＝3＋3、8＝3＋5、10＝3＋7（或5＋5）、12＝5＋7、14＝3＋11（或7＋7）、16＝5＋11（或3＋13）。这个表达是如此简单，甚至英国数学家哈代都声称“傻瓜都能猜出来”。事实上，在哥德巴赫之前，法国数学家、哲学家笛卡儿已经预言了这个猜想。然而，证实这个猜想却绝非易事。中国数学家陈景润在1966年取得了重要进展。他证明了任何一个足够大的偶数都是两数之和，并且其中一个是质数，另一个至多有两个因子。截至2005年，葡萄牙研究员托马斯·奥利维拉·席尔瓦（Tomás Oliveira e Silva）证明，对于小于或等于3×10¹⁷（30 万万亿）的数，该猜想都是正确的。尽管有许多天才的数学家都为哥德巴赫猜想付出了巨大努力，但直到本书撰写前，该猜想仍未得到完全证明，甚至2000年3月20日至2002的3月20日之间，曾有人悬赏100万美元（帮助出版小说《彼得叔叔和哥德巴赫猜想》^［55］），也未产生预期效果。这就引出了一个本质性问题，数学里的“客观真相”究竟表达的是什么意思？设想如果到了2016年，通过严格的数学推理，证实该猜想是正确的，那么我们是否能说当笛卡儿第一次思考这个猜想时，它就已经是正确的了？许多人会认为这个问题有点儿愚蠢。很明显，如果一个命题被证明是正确的，那么这个命题总是正确的，甚至在我们知道它将是正确的之前，它也是正确的。让我们再来看一个貌似更加简单的加泰罗尼亚猜想。数字8和数字9是连续的整数，并且每个数字都是纯幂数，也就是说8＝2³，9＝3²。1944年，比利时数学家尤金·查尔斯·加泰罗尼亚^［56］（Eugène Charles Catalan，1814—1894）猜测在所有可能的整数幂中，唯一一对连续的数字就是8和9（0和1除外）。换句话说，你可以用你一生的所有时间把所有的纯幂数写下来，但是除了8和9之外，你不会发现其他任何两个幂数相差为 1。1342年，法国的犹太人哲学家和数学家莱雅·本·格尔森（Levi Ben Gerson，1288—1344）的确证明过该猜想的一小部分，他证实8和9是唯一相差1的2和3的幂数。1976年，数学家罗伯特·泰德曼（Robert Tijdeman）向前迈出了一大步。直到那时，加泰罗尼亚猜想的证明已经困扰那些最优秀的数学家们近150年了。最后，2002年4月18日，罗马尼亚数学家布莱达·米哈伊列斯库（Preda Mihailescu）提供了该猜想完整的证明。他的证明过程于 2004年发表，目前已经得到完全认可。你可能还会问：加泰罗尼亚猜想究竟是什么时间才真正成为正确的命题？是 1342年？1844年？1976年？还是2002年？抑或2004年？加泰罗尼亚猜想本来就是正确的，只是先前我们并不知道它是正确的，这难道不是很明显吗？这些问题就是柏拉图学派所指的“客观真相”。

有一些数学家、哲学家、认知科学家^［57］，以及其他一些数学“消费者们”（例如，计算机专家）认为柏拉图的世界是过于空想的头脑幻想出来的虚构事物（在本书以后的章节中，我还要详细讨论这种观点和其他与之相关的一些观点）。事实上，在1940年，著名的数学历史学家艾里克·坦普尔·贝尔（Eric Temple Bell，1883—1960）作出了如下断言^［58］：

根据预言，柏拉图数学理想世界的最后一个信徒将在2000年与恐龙为伍。如果剥去永恒论神秘主义的外衣，数学被认为自它诞生之日起就是人类发明并由人类构建的一种语言，并且用于人类自己为其设定的目标。最后一座绝对真相之塔就这样消失不见，它里面原本就空空如也。

贝尔的预言已经被证明是错误的了。当完全反对柏拉图主义的各种信条出现时，它们并未赢得所有数学家和哲学家的认同，至今这些反对派之间仍有分歧。

假设柏拉图主义在我们今天这个时代赢了，而且我们都成为了虔诚的柏拉图主义者，柏拉图主义真的能解释在人类认识周围世界的过程中，数学那种“无理由的有效性”吗？不能。为什么物理现实活动要遵循抽象柏拉图世界中的法则呢？这曾经是彭罗斯感到困惑的一个问题，而彭罗斯本人也是一名虔诚的柏拉图主义者。因而，此刻我们不得不接受这样一个事实：即使我们接受了柏拉图主义，对数学能力的疑惑，仍然没有得到解决。按维格纳的话说：“很难否认我们正面对着一个奇迹，其神奇之处就像人的思维可以串起成百上千条论据而不致于陷入矛盾。”

为了完整准确地理解这种奇迹的伟大和重要，我们还必须深入研究那些带来奇迹的人，包括他们的生平和他们所留下的遗产，也就是隐藏在那些精确得令人难以置信的数学规律后面的光辉思想。