与不确定性同行

说明：要准确描述小空间中粒子的位置，粒子的动量就会变得不确定，反之亦然。粒子总体的不确定性大于等于某一确定量。

发现者：海森堡。

发现时间：1927年。

人人都理解，或者认为自己理解不确定性。

——迈克·弗雷恩所写剧本《哥本哈根》中的海森堡台词

说起来我们亏欠海森堡的有很多。作为量子力学的奠基人之一，他给物理学留下了一笔巨大的遗产。而作为不确定性原理的提出者，他又给物理学之外的其他领域留下了同样巨大的遗产。爱因斯坦或许受到公众更广泛的认同，他的相对论是在流行文化中一下子出现的。然而对公共话语和流行文化，海森堡有着与爱因斯坦同样深远的影响。

大部分非科学人士都认可爱因斯坦的方程 E=mc²。一般而言，他们都清楚该方程的效应只在某些约束条件下才会显现，只有物理学家才真正清楚它的含义。而海森堡方程ΔxΔy≥ h/2 却不是这样。海森堡不确定性原理对大众而言似乎具有精神上的意义。这种意义很快就变得深刻和明显起来。比如，在任何一个书店的近现代区，都可以见到自信地坚持不确定性原理的断言：不确定性原理的含义是迷幻的，预示着一场“文化上的革命”。即便在学术圈中，对这一原理的各种奇怪解释也频频露面。下面是一段发表在《美国戏剧》（American Theater）上的著名戏剧导演安·博格（Anne Bogart）和著名声乐教练克莉丝汀·林科雷特（Kristin Linklater）之间的对话：^［1］

林科雷特：有些思想家说最伟大的精神境界是不安全感。

博格：海森堡已经证明了这一点，从数学上。

林科雷特：没错。

但是我们到底在哪里？是怎么到这里的？不确定性原理起源于一种纯数学的原子物理研究方式。在原子物理领域，不确定性原理有着明确的定义，而且适用范围也有着严格的限制。

通向赫尔戈兰之路

海森堡的父亲是德国慕尼黑大学的一位希腊语教授。海森堡本人具有诗人般的个性：他长相时髦潇洒；但身体虚弱，很容易过敏；具有优秀的音乐才能；对周围世界的反应常常是敏感的，带有情绪化的色彩。^［2］他颇有想象力、智力超凡，喜欢用非常规的严格数学方法使理论与实验相吻合。海森堡也非常幸运，他身处一个非常热烈、非常渴求的科学团体中，并从中汲取营养。该团体的成员有玻尔、波恩、约尔当、克喇默斯和泡利。

这些理论物理学家大体上分布在三个研究中心：慕尼黑、哥廷根和哥本哈根。每个中心都有各自的特色。慕尼黑主要以实验为主，哥廷根是世界闻名的正规数学中心，而哥本哈根有着研究量子世界的强大哲学方法（源自创始人和领导人玻尔）。这一物理学家团体中的激烈，甚至常常是异常坦率的交流（私人谈话、工作进展的信件和手稿，以及发表论文的复本）保证了所有参与者都有很高的水准。某个人提出的想法常常是由另外一个人实现的。作为中心人物，海森堡经常在三个中心之间穿梭。他的深刻见解也时常在谈话中显现出来。

海森堡（1901—1976年）

1923年7月，海森堡在慕尼黑完成了博士考试，并计划于当年秋天去往哥廷根，在波恩的指导下工作。谁曾想，被公认为神童的海森堡竟然几乎完全忽视了实验物理，差点没能通过考试。他甚至连蓄电池的工作原理都不能解释。后来，多亏一位主考官的强行干预，海森堡才勉强通过。丢脸的考试之后的第二天，带着一丝沮丧的海森堡突然在哥廷根出现在波恩的门前。他向波恩承认了自己考试的窘况，问波恩是否还愿意把自己留下。波恩的答复是继续支持他。于是海森堡放心地离开了，去参加每年必去的一个青年组的夏日旅行。

此时正是历史学家马克斯·詹摩尔所描述的量子理论乱作一团的时期。如今，问题（最终被完全解决）所采用的分析方法还是传统方法，加上量子条件，得到几个“允许的”运动状态。当时，年仅21岁的海森堡决心要把这一切合理化。

海森堡知道一定要从经典力学出发。他后来说道：“量子力学的概念只能用已知的牛顿概念加以解释。也就是说，量子力学是以经典物理学为基础的。这是玻尔极力强调的一点——我们不能脱离已有的经典物理学去谈论量子物理。”^［3］

在经典物理学中，所有事件都是在四维时空场中发生的。在任意时间，所有物体在空间中都有一个特定的位置。物体之所以从一个地方运动到另一个地方，是因为它对一定的力作出了响应，并采取了一定的路径。经典物理学主要关心物体受到扰动之后会发生什么现象，追踪何种力会产生何种效应。与平稳流动的水流一样，所有物体运动的路径都可以被追踪和预测，物体将从每个点连续平稳地运动到下一个点；而物理性质（都可以测量）在空间机械地在时空场中连续平稳地传播。因此，经典物理学为宇宙的终极元素组成和这些元素之间的相互作用提供了一种自信的实体论（或图景）。这种事件就是图景（anschaulich）。

然而，25年来人们不断提出量子现象经典模型的尝试却全部失败。受所在丰富智力环境中各种辩论的激发，年轻的海森堡开始怀疑问题可能并不是出在这上面。如果构建原子世界图景（电子的位置和路径及其轨道的大小和频率）的尝试从一开始就注定要失败呢？他听到泡利曾说过，原子事件模型只具有“象征意义”，是量子现象的经典“类似物”。^［4］麦克斯韦得出麦克斯韦方程的过程不就是一个教训吗？有时候，只有抛弃机械解释，才能捕捉到真实。难道没有这种可能：理论家基于实验家测量结果构建模型时，模型仅仅是人们无法描述的现实的象征？^［5］海森堡曾写道：“科学上的进步常常会伴随着牺牲。这种牺牲的代价就是我们声称要理解自然。”海森堡和同事们想，这次可能会是真正的“直观”了。

于是海森堡决定继续下去，他不再尝试去提出描述原子级事件在时空中如何发生的理论。利用在哥廷根学到的对形式结构的鉴赏能力，他要为实验学家实际观察到的现象找到纯数学的描述：电子所发射出的光的频率和振幅。这些描述需要遵守对应原理（大的量子数遵守经典定律）和其他一些约束条件，如能量守恒原理等。不过，可测属性和连续传播函数是不需要的。实际上，在海森堡看来，不连续性是量子世界的一个主要的独特特征。

这一发现非常重要，就好像是哥伦布发现了太阳系的结构。两者都改变了科学家惯常看待世界的视角。他们常常会把自己天真地以为是客观实在的反映的事物当成是人类观察者和自然之间相互作用的复杂产物。

这一步也是革命性的，不过通向这一步的道路却并非全由海森堡一人建成。第一，他利用了从玻尔、波恩和其他人那里获得的理论工具，并且抛弃了时空场。抛弃的理由仅仅是为了能使这些理论工具派上用场。第二，海森堡所采用的策略已有一个很好的先例——爱因斯坦在1905年时就已采用这一策略提出了狭义相对论。爱因斯坦抛弃了把传统意义上的“同时”当成是“在统一的时空瞬间发生”的做法，转而采用观察者能够观察到的形式对其重新定义。海森堡希望，通过抛弃原子内部的“位置”和“动量”等传统概念（不能观察到，是推断出的量），用实验者从外部观察到的现象（谱线的频率和振幅）来对其重新定义，从而取得同样重大的突破。最终，所有的尝试却都归于失败。虽然构建理论的尝试已被放弃，但这一激进的做法仍不足以描绘出观察不到的那些事物。

然而，与大多数革命一样，这一做法也有着长期的影响。这种影响需要数年时间才能变得清晰起来。如果说成为一个“事物”意味着在特定时间占据特定的位置，那么这种做法就意味着“从原子领域消除粒子的概念，即‘物性’”。^［6］它实际上是替代了牛顿的自然实体论。在自然实体论中，物体最基本的部分在特定的时间都是客观存在于特定位置上的。而新的实体论，如后来一位科学哲学家所说的，涉及的是“科学工作核心层面上的微妙的主观性”。^［7］主观性与如下事实有关——我们对原子世界的描绘并不是客观实体的反映，它在一定程度上是构建图像的人类思维中的函数。这种微妙性与“思维所起的作用目前尚不清楚”这一事实有关。

当时不清楚的东西有很多。1925年的头几个月，海森堡的思路开始时断时续地铺展开来。他和哥廷根的克喇默斯利用不包含经典变量，只含有频率和振幅的方程合著了一篇论文。后者的贡献是一个重要的线索。克喇默斯指出，只有这些频率和振幅与状态对联系起来的时候，才能得出正确的矩阵。后来，海森堡在滑冰时受了伤，在慕尼黑疗养了几个月的时间。他去了哥本哈根和哥廷根，还去了山上旅行，4月底才回到波恩的研究所，准备教暑期班。之后，海森堡已经准备好用纯数学的形式改写玻尔对电子动量（p）和位置（q）的描述。不过他并没有把计划告诉导师，而是像玻尔所说，“对外保密”。^［8］

后来，海森堡有一次回忆说：“我沿着这些思路所做的工作不但没有受到那次不幸挫折的影响而延迟，而且还向前推进了。”^［9］5月，海森堡出现了严重的花粉过敏，他向波恩请了两天假。波恩同意了。于是，海森堡就前往赫尔戈兰。赫尔戈兰是北海上的一座岩石孤岛，不适合草和其他产生过敏原的植物的生长。他离开的前一天晚上，指给他房间的旅馆女店主看到他浮肿的脸时大吃一惊，以为海森堡被人打了。在岛上的时候，一旦工作条件具备，他就开始试着验证自己的想法是否符合能量守恒定律。当结果表明想法与能量守恒定律确实吻合时，海森堡非常兴奋。因为条件的限制，加上身体的疲乏，他犯了一些数学上的错误。可他锲而不舍，夜里照样工作，最后终于在凌晨 3点把错误都找了出来，解决了所有问题。

一开始我很害怕。我有种感觉，就好像是透过原子现象的表面，看到了异常美丽的原子内部。一想到现在必须找出大自然如此慷慨地呈现在我面前的如此之多的数学结构，我就感到几乎眼花缭乱了。激动的心情使我难以入睡。所以在新的一天开始的时候，我来到了岛的南角，渴望登上伸出海面之上的岩石。现在，没费什么力气我就登上来了，等着太阳升起。^［10］

六月底，海森堡回到了哥廷根，而且很快就计划去剑桥讲学。他用几天时间匆忙写出了一篇论文，题目是“运动学和力学关系的量子力学重新解释”（On the Quantum-Mechanical Reinterpretation of Kinematic andMechanical Relations）。^［11］“重新解释”（reinterpretation，umdeutung）一词表明了海森堡的大胆——这是一种研究原子物理学的新方法。在摘要中，海森堡大胆地称论文的目的是“为纯粹建立在‘原则上可观测量’间的关系之上的理论量子力学打下基础”。他继续写道，我们还不能从实验信息出发，“把电子与空间的点联系起来”，“在这种情况下，很显然对目前不可观测量不能抱有任何希望，如电子的位置和周期”。海森堡当时是在黑暗中摸索，实际上，位置和动量可以分别测量到任意准确的程度，只是二者不能同时被准确测定。论文指出了如何编辑与状态间的过渡相关联的振幅和频率表（海森堡把这些表称作“量子理论量”），以及这些表如何能与一种新型的微积分联系起来。海森堡将这种新型的微积分称为“量子力学关系”。

这篇论文把物理量与一种表联系了起来。其中，表的行和列分别标着“允许的”量子态。玻尔在他的那篇具有开创性意义的论文中假设了氢光谱的量子态。这种做法以前就有（如爱因斯坦的 A 和B系数是标着两种状态的“表”）。不过，海森堡却把这一思想应用到了一组更加基本的量上，并由此发现了两个表的“乘法”规则，得到了与经典力学中的公式相类似的公式。这一点是全新的，它开创了一条研究量子力学的新途径，跳出了之前玻尔和其他人研究“量子力学”时的局限。

之后，海森堡意外地遇到了困难。他发明的表和表的乘法法则遵守一种新的代数。这种代数很早之前就被数学家发现了，但大多数物理学家并不熟悉，连海森堡本人都包括在内。最出人意料的是，这一法则并不遵守“乘法交换律”。根据乘法交换律，两数相乘的顺序并不影响乘积，即ab=ba。海森堡用新微积分将某个量子理论表（不妨称作A）与另一个表（B）相乘时，所得乘积与相乘顺序有关，即AB≠BA。海森堡后来说：“这点令我非常不快。”为了把它从理论中除去，海森堡使出了浑身解数，但没有成功。^［12］“我感到这是整个方案中唯一的困难。这一困难如能得以解决，我会高兴得睡不着觉。”面对这一可能会威胁到新发明的困难，海森堡采取了与很多人一样的做法：掩盖真相。对此，他只在一个句子中稍提了一下——“在经典理论中AB总是等于BA，但在量力理论中却并不一定是这样”，在介绍了不会出现这种困难的情形之后，他就转移话题。海森堡说自己的论文带有一种该领域早期论文中常有的“免责声明”。就量子力学来说，不知论文是“令人满意的”还是“过于粗糙的”。他称答案尚需“更深入的数学研究”。^［13］

7月9日，海森堡在完成论文后，将论文的复本给了波恩，请导师帮忙看看是否值得发表，同时问问自己能否研究那个在他看来似乎有些棘手，甚至有些怪异的基本思想。波恩答应了，不过因为讲了一学期的课，加上和另一个助手约尔当一直在做研究，他深感疲惫，好几天没去理会海森堡的论文。

波恩读海森堡的论文是在他走之后。这篇论文给波恩留下了深刻印象。他将论文交给了《物理期刊》，并在7月15日写了一封信给爱因斯坦，说海森堡的工作看起来“非常不可思议，但确实是正确的，而且意义深远”。^［14］不过波恩对海森堡的表和表的数学相乘法则有一丝不安。这法则看上去是那么地熟悉。一周的寝食难安过后，波恩突然想到上学时在数学课上曾见过这种特殊的结构。他的这位无畏的年轻助手在不知情的情况下居然独立地提出了这一结构。这些表被数学家们称作矩阵，表的行和列中排列着数字（或变量），而海森堡的表中元素数字有无限多个。实际上，海森堡提出的有趣的量子力学关系是数学家发现矩阵“乘法”的最自然的方式。

波恩高兴坏了。矩阵数学为他提供了一种研究海森堡的工作并使之系统化的框架。他知道矩阵是不能对易的——矩阵的乘积与矩阵相乘的顺序有关。这样一来，海森堡的难题也就得到了解释。例如，为什么动量矩阵p和位置矩阵q不能对易，矩阵pq与qp是不同的（习惯上，物理学家常常用黑斜体符号表示矩阵）。不过这还不是全部。这对变量（称为正则共轭变量）虽然不能对易，但可用一种特殊的方法使其交换位置。pq和qp之差似乎是与普朗克常数成比例的特定矩阵：pq−qp=Ih/2πi，其中 I是单位矩阵，即对角线上的元素都是“1”，对角线以外的其他元素都是“0”。波恩后来写道：“我看到这个结果时非常激动，就像一个水手经过长久的航行，远远地看到了期待已久的陆地时的心情。可惜海森堡当时没在，真是遗憾。”^［15］

几天后的7月19日，波恩在火车上遇见了泡利。波恩激动地向泡利解释如何能将海森堡的论文翻译成矩阵语言，并问这位自己以前的助手是否想合作研究这一课题。可泡利却没放在心上，反而讽刺波恩要用“无用的数学”和“繁琐复杂的形式”“糟蹋海森堡的物理思想”。（历史学家认为这个评论很幽默，因为在这里海森堡的思想是形式化的，甚至比传统的矩阵分析还繁琐。）第二天，也就是7月20日，波恩拜访了约尔当。约尔当具有深厚的矩阵数学功底。不出几天时间，两人就弄清楚了如何从海森堡的工作推导出 pq−qp=Ih/2πi这一关系。这一次，波恩又是惊奇不已：“我永远忘不了海森堡的量子状态思想被成功地浓缩到神秘的pq−qp=Ih/2πi 方程中时，自己的紧张心情。这个方程是新力学的核心，之后我们发现它隐含着不确定关系。”^［16］

9月底，他们寄出去一篇论文，题目是“论量子力学”（On Quantum Mechanics）。论文中包含了海森堡所期望的“深入的数学研究”，这也是首次用公式表示矩阵力学。论文所采用的数学是人们所不熟悉的，许多物理学家必须在研读过矩阵之后才能理解论文的内容。数学方法也比较笨拙，不过应付有限的问题，从头一直算到尾还是没有问题的。两位作者把论文的复本寄给了海森堡，此时他已经离开剑桥，正在哥本哈根。他把论文拿给玻尔看，说：“瞧，波恩给我寄来一篇论文，可我却一点也看不懂。全是矩阵，都不知道是干什么用的。”^［17］不过，海森堡在复习了矩阵知识后，他也分享了波恩和约尔当的激动心情。7月18日，海森堡写了一封信给泡利，信中说波恩的智慧思想 pq−qp=Ih/2πi是新力学的基础。海森堡、波恩和约尔当三人于是开始了狂热的通信。海森堡也终止了在哥本哈根的逗留，返回哥廷根，以便三人能够完成另一篇论文的工作——在波恩早先计划好的 10月美国之行前，对波恩—约尔当论文的结果加以推广。^［18］

三人合作的结果就是由波恩、海森堡和约尔当合写的题为“论量子力学II”（On Quantum Mechanics II）的论文。物理史学家把这篇论文称作“三人论文”（the three-man paper）。论文的核心是所谓的“量子力学基本关系”，也就是那个奇怪的方程pq−qp=Ih/2πi。这篇论文是物理学历史上的一个里程碑，它第一次描述了量子领域的图景。几乎同时，泡利也发表了一篇论文。在论文中，他成功地将矩阵力学应用到了氢原子的例子上（克服了相当大的困难）。

然而，除矩阵力学的发明人外，几乎没什么人能够认识到矩阵力学的重要意义。这其中的原因在于，人们对矩阵力学价值的认同遭遇了几个障碍。障碍之一就是矩阵力学本身的复杂性：矩阵力学本身并没有那么难，可是海森堡在应用它的时候却看似异常复杂。大多数物理学家在掌握的过程中只能不加怀疑地接受。乔治·乌伦贝克（George Uhlenbeck）的反应就很典型。他当时是莱顿大学的一名学生。乌伦贝克后来说：“所有一切都变成了这些必须要解出来的难计其数的方程，所以没人知道到底如何去做。”^［19］其他一些人则因下述事实望而却步，即矩阵力学故意不给出原子力学的图景，它的基本项（矩阵）严格来说是没有意义的，只是形式上的象征物。^［20］还有一些人对矩阵力学不能解释微观世界到宏观世界的过渡——没有空间和时间且无法看到的世界与人类生活在的、想象力所熟悉的时空背景之间的过渡，深感苦恼。历史学家马拉·贝勒（Mara Beller）曾写道：许多科学家于是采取了“观望”态度，甚至连波恩、海森堡和约尔当等人都把它当成是朝着正确理论迈出的并不完美的第一步。^［21］

然而，三人的论文在1926年2月问世后不久，作者们就邂逅了一位讨厌的同伴。

矩阵力学与波动力学

薛定谔有关波动力学的第一篇和第二篇论文分别于1926年3月和4月发表于《物理学年鉴》。波动力学与矩阵力学的研究对象相同，不过物理学家发现前者更易懂。波动力学中不存在矩阵力学中的那些障碍。第一，波动力学所涉及的数学是经典物理学家基本训练内容的一部分。从高中时代起，他们就一直在使用、求解波动方程。第二，波动方程是直观的。物理学家能看到水、声音、光波。这些波的属性（频率、振幅和波长）沿着波光滑、连续地传播。物理学家自己通过训练，可以看到波的其他性质，如波节和干涉等。不过这些都是Ψ函数中的小问题。波函数存在于多维“构形空间”之中——对系统中的所有粒子而言，波函数是三维的。即便如此，这些粒子看上去似乎也是直观的，就像某个物体在空间中运动或者被局限在原子内部像驻波一样保持“静止”。第三，波动力学提供了一种从微观世界到宏观世界的过渡的自然描述方法。就像薛定谔在当年发表的第三篇论文指出的：好比粒子一样，并且沿着经典路径运动的波组或者波包。这些经典路径是与Ψ函数的相前垂直的光线。^［22］

大多数物理学家并未对波动力学感到吃惊。然而，普朗克对此确实惊奇不已，而爱因斯坦更是狂喜。美国物理学家卡尔·达柔（KarlDarrow）曾报道说，波动力学“捕捉到了物理学的世界”，因为它预示着“长久以来令人们备感困惑、无法抑制的那种重返经典物理学的期望”（人们更加习惯的连续传播函数）将得以实现。^［23］大量论文开始采用薛定谔的方法来解决原子领域的问题。不过，哥廷根物理学家的拥护者却有不同的反应：海森堡说波动力学“看起来太好了，都不可能是真的”；狄拉克的反应更是充满“敌意”；泡利则把波动力学说成是“疯狂的”。^［24］然而，这些人很快就拜倒在波动力学的石榴裙之下。泡利用矩阵力学，辛辛苦苦地算出氢光谱理论后不久就发现，用波动力学去算氢光谱理论更加容易。波恩在给薛定谔的信中写道，他在读了矩阵力学的第一篇论文之后，非常激动，甚至都想“背弃连续物理学，背弃经典物理学脆弱、清晰的概念基础”。^［25］不过他的热情很快就降温了。

起初，冲突集中在两种方法的科学价值的争论上：哪一种方法的效果更好？第一个检测对象就是氢原子。这个问题泡利已经分别用两种方法解决了。氢原子就好比是原子物理学家的果蝇或者实验鼠。所有模型都需要解决的第一个问题就是它：因为氢原子已经用旧量子论成功分析，并且结论与实验结果非常吻合，因此这也意味着可对公式加以比较。另一个检测是要解释量子世界与经典世界之间的过渡，也就是如何从原子世界过渡到人们所熟悉的宏观世界。薛定谔已经表明波动力学可以给出答案，但矩阵力学目前对此尚无能为力。不过，另一个重要问题是如何处理原子世界中的碰撞问题，这需要说明系统随时间的变化情况。

“究竟哪种方法具有更重要的科学价值”的问题很快就有了答案。1926年5月，在他的第四篇论文中，薛定谔证明了两种方法在数学上是相同的。^［26］泡利也得到了相同的结论。虽然尚不清楚如何处理所有的检测，但是两种方式在数学上是等价的这一事实已经表明，两者在数学上的重要性是旗鼓相当的。不过，从科学上说，波动力学对波谱连续部分的分析是必需的，因此它的用途要比矩阵力学广。

海森堡的自传作家戴维·卡西迪（David Cassidy）指出，尽管如此，这一结论却使冲突再起，令各方也开始严肃对待。随着数学上的等价性这一问题的解决，支持者们现在可以针对理论的物理解释进行自由辩论。两方针锋相对，不过薛定谔对波动力学的解释至少还是给人以希望的。它是这样描述的：随着时间和空间的展开，原子世界乃是自连续过程编织交错而来；这些过程又恰是事件看似不连续的原因。相反，矩阵力学所描述的原子世界中没有连续过程和偶然联系，与时间和空间也没有关联，并认为原子世界是一个人类无论如何也想象不出的世界。与科学价值上的冲突相比，该冲突容易确定，不过也更倚赖于人的情绪。它反映出的是对手对物理学的认识，对世界的认识，以及对人类和世界之间的最根本关系的认识。

不过，正像贝勒所指出的：“在有关解释的争论的起始阶段，没人有一个能够明确说清楚的位置，更不用说了解‘真相’了。”^［27］现在，这种再起的冲突迫使支持者们就各自理论的物理解释进行辩论。薛定谔也只能辩论道：在最基本的层面上，世界是由连续性组成的；要描述它，并不需要海森堡那套蹩脚的正规方法。薛定谔还必须要解释波包如何能结合在一起，详细阐述Ψ函数的意义，说明量子现象的非连续性为何是源于连续的波动过程的。最终，薛定谔只能承认波存在于多维构形空间中。海森堡和他的支持者只能辩说整个世界全是非连续的，用除此之外的其他方式来呈现都会误导他人。他们还必须给出一种把矩阵力学的正规符号项与人们所熟悉的性质联系起来的方法，说明为何在到了波动力学可直观理解的程度后，该方法就是错误的。对双方间的这种不一致，各自的支持者们已经习惯了。贝勒表明了各方是如何“做手脚”，把对方理论的内容加到自己的当中，并使其发挥作用的。但是，这种新的、强烈的冲突却为不确定性原理和哥本哈根诠释的提出铺平了道路。^［28］

薛定谔已经开始在论文中向对手发动攻击，证明两种方法的同一性。两种方法的确是相同的，不过他说他却因矩阵力学“极其困难”的数学方法和无法直观理解的特性而“失去信心，或者说因此就被拒之门外了”。^［29］他后来还说，如果人们“压抑直觉”，“只用跃迁概率和能级等抽象观点的话”，那么要解决跃迁之类的原子领域的问题就会变得“极其困难”。^［30］薛定谔在给维恩的信中写道：公开表示把物理学局限到客观测量之必要性上，“无非是为了掩盖人们无法猜想出真实图像这一事实”。^［31］

海森堡说的话至少算得上是尖刻的。他把波动力学描述成“恶心的垃圾”。他声称，波动力学要是到了能够直观理解的程度，它就是错误的，使用矩阵力学的物理学家较不易被迷惑，从而能够更深刻地洞察自然。^［32］波恩曾说：“数学比直觉更可靠。”^［33］

双方之间的冲突很快就演变为面对面的对抗。1926年7月，薛定谔和海森堡在慕尼黑的一个会议上首次见面。薛定谔此时拥有更多的支持者。他做了两个关于波动力学的报告。海森堡站在最后，反驳说：没有一个依赖于连续过程的理论能够解释量子现象的非连续性，如普朗克辐射和康普顿效应。不过听众似乎还是站在薛定谔一边，似乎没什么人受了海森堡的影响。海森堡也感觉到一丝挫败感。之后，他去了哥本哈根，呆了几个月的时间，与玻尔一同工作。可两人的意见也还是不一致。玻尔认为必须采用经典概念对实验现象进行描述，海森堡却不这样认为。不过他们却就如下问题达成了一致：为什么量子不连续性意味着无法定义空间和时间，也就是说量子世界既不能用包含连续函数的理论来表示，也无法通过人脑（想象力依赖于时空背景）想象出来。

薛定谔和矩阵力学派之间的下一次较量发生在三个月之后。1926年10月，玻尔邀请薛定谔到哥本哈根参观。哥本哈根是矩阵力学的阵地（虽然哥本哈根学派也已经开始将某些波动力学理论作为工具使用）。薛定谔学术态度理智诚实，似乎又赢得了广泛的认可，自然很高兴能去参观对手的总部。不过，他对后来发生的事情却完全没有准备。玻尔在火车站接到了薛定谔，他立即开始向薛定谔介绍工作的进展，与薛定谔没日没夜地辩论了好几天。玻尔安排薛定谔住在自己家里，哪怕一分钟都不想放过。海森堡后来回忆道：

玻尔是一位非常体贴和热情的人。但是，在这类他认为具有重要意义的认识论问题上，玻尔却坚持所有论断都必须是完全明确的。这种坚持甚至演变为狂热的、恐怖的坚韧。辩论进行了几个小时，玻尔还是不肯放弃，直到薛定谔承认自己的解释还是不够，甚至不能解释普朗克定律。也许是因为辩论过度劳累的关系，几天后薛定谔病倒了，躺在玻尔家的床上。即便如此，玻尔也还是不肯从薛定谔的床边离开。他会一遍又一遍地说：“可是薛定谔，你至少必须承认……”有一次，薛定谔终于爆发了：“如果你还要坚持你的狗屁量子跃迁的话，那我可真该后悔当初踏入了原子论领域。”^［34］

有海森堡在身边，玻尔说服了薛定谔作出（临时的）让步。不过这一让步并没能持续多长时间，薛定谔很快就开始撰写波动力学的论文。1926年11月，薛定谔把他的六篇波动力学的重要论文（发表在《物理学年鉴》上的四篇系列文章“特征值问题的量子化”以及分别关于边界问题以及波动力学和矩阵力学的同一性的两篇论文）整理后出版成书。

此时，玻尔对波动力学作出了新的解释。他想要理解电子和原子之间的碰撞，于是仔细检查薛定谔的结论，即Ψ函数指的是电子的电荷密度。他发现这一结论讲不通，并做出结论：Ψ 函数说明的并不是事件的状态，而是事件的概率。之后，泡利写了一封信给海森堡，提出Ψ²表示粒子在特定位置上出现的概率，而不是状态的概率。这样就能在一定程度上恢复时空背景和便于直观理解。电子从某个位置移动到另一个位置的轨道或者路径能否直观想象并不是必须的，但是不管电子是通过什么路径到达的，它总会具有一定的位置。^［35］所以，经典性质的确存在，而且可以精确测定。不过，那个奇怪的想法仍然是摆脱不了的，即薛定谔说的在空间流动的奇怪函数并不是实际存在的物体，而只是实际物体在那一点能被发现的概率。波恩后来评论说：“我们已经习惯了作统计上的考虑，所以更深一层于我们而言并无太重要的意义。”^［36］

在10月19日提出波函数解释的那封信中，泡利还注意到了恼人的pq−qp问题的深层含义。海森堡曾辩称：这两个共轭变量（不可对易项）指的都不是位置或动量等可以共同准确测量的经典变量。泡利说两者之一可能是经典变量——但如果是这样，另一个就只能是概率了。这使不可对易性变得更加奇怪。泡利告诉海森堡：“我对这方面的物理学从头到尾一点都不清楚。”他曾困惑地说：“我的第一个问题是，为什么只能用任意精度描述p，而不能以任意精度同时准确描述p和q？”“你可以用p眼或者q眼看世界，可同时睁开两只眼看，却会出错。”^［37］这意味着什么？

海森堡的回复有点迟，主要是因为泡利的信在同事间传阅，很难拿到。10月28日，海森堡终于寄出了回复。他仍旧没有接受对直观化和经典变量的隐含的恢复，并认为波恩“极其教条”的观点只是“诸多可能的解释中的一个”，而不予理睬。他还继续坚持认为pq−qp=Ih/2πi这一关系表明了单独的p或者q都是没有意义的。“总的来说，我希望答案是以下类型的（不过他并没有到处宣扬）：时间和空间只具有统计学上的概念，就如同气体的温度、压力等。我的观点是，在谈及单个的粒子时，空间和时间概念都是没有意义的。粒子数目越大，时间和空间的概念就越有意义。我一直想把它继续向前推进，可到目前还没有成功。”

几个星期后的11月15号，海森堡向泡利展示了一个看似结论性的论证：为什么量子世界使单独的p或者q失去了意义。^［38］不妨假定在某个特定的点上有一个物体，比如电子。电子的速度是由它在该点与离该点无穷远的点之间连续运动时的速度所决定的。但是，如果时空是非连续的，电子就会从一个状态飞到另一个状态。这样，从定义上来说电子就没有速度了！一个星期后，海森堡回来了，依旧对这一问题深深着迷。^［39］世界是不连续的，所以“c数”（经典数）表明人们对发生的事情了解得太多了。“对于‘波’和‘粒子’两词的意思，反而弄不清楚了。”

约尔当现在也开始对海森堡提出挑战。实际上，约尔当一直扮演着海森堡的无力假设（postulate-of-impotence）的反对者的角色。海森堡的假设是：单个的电子不能具有位置和动量。那么，阻碍实验者对位置和动量进行测量的因素是什么呢？观测仪器是由原子构成的。由于热运动，原子在室温下会发生振动，从而使准确度具有一个实际限度。如果能在绝对零度下搭建起一台仪器用于测量，那么情况会如何呢？或者为了达到同样的效果，采用 α粒子（可以忽略振动，并可以记录路径）之类的高能探头效果又会如何？

波恩和泡利考虑固定一个变量在理论上的可能性，并注意到另一变量只能说具有一定的概率。现在，约尔当指出了物理学家测量原来被认为无法测定的量的实验条件。这个量就是“在特定位置发现电子的概率”。从理论上说，不是不能观测，只是在实验上比较困难。

约尔当的论文困扰着海森堡。^［40］论文发表后的那天，也就是 1927年2月5日，海森堡在给泡利的信中写道他发现约尔当的论文“虽然很好，但有很多处是不准确的”。这是因为约尔当仍然认为“在特定位置上发现电子的概率”之类的叙述是没有意义的。但是，如果单个原子的时间和位置等在实验上有意义，那么它们在理论上也一定是有意义的。而如果理论上有意义，约尔当的方法就是错误的。

在所有的讨论中，人们从未怀疑过数学的正确性。存在争议的是解释，甚至是解释的本质。玻尔想从解释中获取的较海森堡为多，而这两人又较薛定谔为多。

海森堡仍在哥本哈根玻尔的研究所工作，住在玻尔的哥哥赫拉德的顶层公寓中。晚饭后，玻尔就会拿着烟袋来到海森堡的住处，对量子力学的现状进行辩论，两人一直能谈到凌晨。这种费力的谈话开始慢慢消磨两人的关系，双方都变得容易动怒。有感于此，玻尔外出去滑雪了。玻尔走后，一天晚上海森堡在玻尔研究所后面的费莱德公园（FaelledPark）散步。他从理论和实验上都仔细考虑了p和q，也考虑了约尔当的显微镜。像往常一样，他坚信约尔当的例子中某个地方一定是错的。约尔当使海森堡变得理智，令他不再一心去思考理论意义。他必须不再从哲学的观点去思考概念，而是从操作的层面思考实验者要做些什么。假定在绝对零度下对电子进行观察，这也等于是说从粒子表面弹射出一个光子，并在仪器的透镜系统中捕捉到它。但是光子的弹射将会对电子的位置产生扰动。为了避免扰动，就要采用能量较低的光子。而光子的波长越长，对位置的测量就越不准确！海森堡激动地发现，这个问题之所以会出现，是因为仪器和待测物之间的相互作用，也就是采用的观测工具与被观测系统之间的相互作用。

开始新纪元

接下来，海森堡所做的与他一激动时的惯常做法就没有二异了：他写了一封信给泡利。这封于2月23日写就的信不是一般地长，有40页之多。海森堡的这种思想上的转变其实是由约尔当的论文所开创的。他描述了几个测量p和q的理想实验，所以从一开始这种转变就很明显。后来他写道：“人们总能发现，所有理想实验都具有这一特点：如果量p的准确度被限定在p的平均误差以内的话，那么q的准确度同时就只能限定在q₁≈h/p₁的范围之内。”

这就是不确定性原理。像其他许多方程一样，不确定性原理最初出现时的形式也并不是现在人们熟知的形式。如今，这一原理常被写成不等式的形式：。

不确定性原理是一个概念上的突破。波恩、泡利和约尔当都考虑过共轭变量之一能够准确测定，而另一个变量却变成了概率的情形。海森堡现在说明：上述情形都是极端情况，在这些极端情况之间还有其他一些两个值都不确定的情况。一定程度的不确定度是不可避免要存在的。比如，如果说电子位置的不确定度（Δx）很小，那么动量的不确定度（Δp）一定要很大，才能保证二者的乘积Δx×Δp与h在一个数量级上。如果电子位置的测量精度的不确定度很小，那么响应的电子动量的不确定度就会很大。海森堡告诉泡利这是 pq−qp=Ih/2πi 的直接结果。由此，pq−qp=Ih/2πi 的解释最后似乎终于明朗起来。海森堡将粒子重新放回到时空舞台，至少是暂时放上去了，但却赋予它们明显的非经典性质。

海森堡很快就写了一篇论文，表述自己的思想——“量子动力学与量子力学的直观理解”（The Visualizable anschaulich Content of Quantum Kinematics and Mechanics）。这篇论文以向受过经典物理学训练的物理学家解释量子力学如何能通过经典项得以直观理解为出发点。为了达成这一目标，论文的第一句就重新定义了“可直观理解性”：“我们相信，如果在所有简单情况下都能看到定量的实验结果，以及检查过理论的应用中不含有内在矛盾后，我们就理解了理论的可直观理解性。”这些定义既抓住了核心，又便于使用，于是海森堡最终就可以使自己的理论与这些定义相适应。不过海森堡又说量子力学看上去很难与该定义相适应，原因在于：只要 pq−qp=Ih/2πi成立，所谓的位置和速度等概念就是不清楚的，需要通过指定实验条件来澄清事实。因此假设我们观察一台显微镜下用光照明的电子。因为电子很小，必须要用高能光：γ射线。但如果用高能光去照射微小物体，又会产生康普顿效应，光子与微小的电子发生碰撞，会以非连续的方式突然将电子撞到一边。海森堡这样写道：

采用的波长越短（即位置测得越准确），（非连续性）变化量就越大。电子的位置在一瞬间被确定后，它的动量就只能准确到与该非连续性变化对应的几个量级了。从而，位置测得越准确，动量就越难以被准确测定，反之亦然。在此种情形下，我们看到了方程pq−qp=−ih的直接物理解释。

海森堡对在方程中使用单位矩阵 I向来是漫不经心，甚至常常在论文中将其省略。为了对上述解释进行定量，海森堡继续说道：

假定 q₁是测定 q的准确度（例如 q₁是 q的平均误差），q在这里是光的波长。假定p₁是测定p的准确度，也就是在康普顿效应下p的非连续变化。于是，根据康普顿效应的基本定律，p₁和q₁有如下关系：

p₁q₁～h

这时出现了一个奇怪的问题，这个问题的重要性直到最近才被约翰·马伯格（John H.Marburger.III）发现。海森堡接着说，该方程是“方程pq−qp=−ih在数学上的直接结果”。不过海森堡并没能说明这一点。在他的论文中，也找不出不确定性原理的推导。虽然这一原理为海森堡和玻尔两人所接受，不过很明显它只是一个猜想，没人自讨无趣地去证明它。玻尔所引用的该原理的首个证明是有问题的。^［41］

这篇“直观化”的论文不再像两年前的那篇“重新解释”的论文那么激进。它并不说电子没有位置或速度，而只是说它不能同时具有确定的位置和速度，使位置或速度具有确定值。海森堡还原了足够的直观化能力，称“量子力学不应再被认为是抽象的、不能直观想象的。”他引用了薛定谔认为矩阵力学“令人恶心和战栗”的说法，转而提出真正的敌人是薛定谔对直观理解的误解。这是对薛定谔的致命打击（coup degrâce）。原子世界是可直观想象的，但是能够直观想象的显然并不是经典的。不过，在仔细读过后，反而搞不清楚海森堡是否对可视化还有一点坚定的立场。贝勒写道：“海森堡假定了世界的经典图像，为的却是反驳这一经典图像。”^［42］

论文完成后，海森堡写了一封信给约尔当。信中说：他感到“非常非常高兴”，经历了整整一年时间的悬而未决，自己现在觉得“脚下的土地都是非连续性的”^［43］。泡利听后非常激动。“海森堡所说的像是具有开启新纪元（Morgenröte einer Neuzeit）般的重要意义。”^［44］

然而，新纪元的开启也面临着重重困难。玻尔回来后，海森堡给他看了论文。玻尔指出了论文中的几处明显错误。玻尔指出，即便是在原子世界中，能量和动量也是守恒的。如果用光子撞击电子，那么只要能捕捉到光子，就能得出电子的动量，消除不确定性。不过玻尔接着说，海森堡的思想仍然是正确的，只是正确的原因在于粒子的波动本质。不过这些反冲粒子的动量是无法准确测定的——即便是用电子替代光子也无法做到。这其中的原因在于粒子是按照薛定谔方程所描述的像波一样散开的。这也是为什么要采用显微镜将其聚焦。但这也意味着承认薛定谔的波在理论中发挥了重要的作用。不过玻尔和海森堡之间的对话很快就恶化了，两人各自坚持自己根深蒂固的立场，谁也不肯让步：玻尔认为需要波，海森堡认为可以没有波。玻尔告诉海森堡不要把论文发表，令海森堡很沮丧，大哭一场。^［45］不过正像贝勒指出的，海森堡大哭一方面是因为玻尔的无情，另一方面也是因为他本人的固执。

海森堡无视玻尔的建议，拒绝撤稿，甚至拒绝对论文加以修改。他只是附加了一个短评，题目是“证明之补充”（Addition in Proof）。短评中说：“玻尔已经提请我注意本论文有几处讨论忽略了重要的几点。”不过他并没有对这些被忽略的点进行修改。

一连几个月，玻尔和海森堡仍旧未能就量子力学的解释达成一致。根据爱因斯坦的记录，两人对数学的正确性都没有异议，也都认为一定要用数学来指导解释。不过关于如何用数学来指导，玻尔的想法更好。海森堡认为可以采用矩阵语言或者波动语言，而玻尔认为两者都是需要的。海森堡的立场其实是柏拉图式的：他想说的是仅用数学就足以描述原子世界。玻尔的立场则是康德式的：他认为自然界迫使人们按照由时空舞台衍生出的某些特定（经典）范畴和图式来感受和想象。就像马伯格所说的：现实是宏观现象。这些范畴和图式适用于宏观事件以及为事件提供理论基础的经典物理学。它们并不适用于微观事件——如果硬要假设它们有效，并应用于微观事件，就会产生所谓的宏观谬误（macroscopicfallacy）。我们也无法在思考和想象时避免这些经典图式。由此玻尔推论说：人们在思考微观世界时，被迫要依赖于传统的范畴和图式（如位置和动量）；然而人们却在以重叠的、非经典的方式使用这些范畴和图式，就像在“互补”对中使用时那样。我们必须要抛弃这种观念：适用于宏观世界中可感觉到的现象的概念和图式，是与微观世界中的事物相对应的。这样一来，玻尔的康德式的方式就充当了在量子理论和“真实”现象的世界之间建立起本体论联系的角色。至此，上述观念已经是奇怪得不能再奇怪了。“一般物理意义下的独立实在既不能归于现象，也不能归于观测手段。”^［46］

不过，1927年末，玻尔计划要去一趟美国。他和海森堡都很希望能在走之前完成对量子理论的解释。两人主要基于玻尔的主张，达成了一致。当年9月，在科摩湖召开的亚历山德罗·伏打（Alessandro Volta）逝世一百周年纪念会上，两人的“休战”被公开。玻尔在会上作了报告，指出了波动力学与矩阵力学之间尴尬的妥协。海森堡最后也站起来表示赞同。玻尔说：实际上波和粒子是在谈及原子世界时常用的方式。两种方式都不完全准确，二者的应用范围有限，且相互交叠。他宣称：波和粒子是在谈及人们并不直接了解的事物时所采用的两种“互补”的方式。正像玻尔曾说过的那样：“其实没有量子世界，只有抽象的物理描述。那种认为物理学的任务就是去发现自然是什么的想法是错误的。物理学关心的是如何描述自然。”^［47］

这就是后来成为所谓的量子力学的哥本哈根诠释的起源。这一诠释并未能赢得广泛的认同。爱因斯坦说它“不可靠”，还说“海森堡—玻尔的安逸哲学（或说是宗教？）在设计上真是精妙无比。眼下看来，每个真正相信此哲学的人，它都送一个柔软的枕头，一旦躺在上面就很难叫醒了”^［48］。几年后，爱因斯坦在同波里斯·波多尔斯基（Boris Podolsky）和纳森·罗森（Nathan Rosen）一起完成的完整理论中写道：“物理实在的所有元素在物理理论中都要有一个对应物。”爱因斯坦还尝试证明：量子力学的不完整性其实是一个瑕疵，表明还有更多所谓的隐变量有待于去发现，这些隐变量的发现将会使量子力学公式直接指向现实世界。不过爱因斯坦没能成功证明这一点。这一论点爱因斯坦坚持了多年。不过玻尔表示了反对，认为位置和动量本质上是经典概念，不适用于微观世界的事件。如果硬要应用到微观世界，也只能通过不精确的，严格地说是不准确的方式。

哥本哈根诠释是一个清晰的、富有逻辑性的解释，而且在所有符合理论和实验约束的解释当中似乎是最简单的一个。它指的是：在超越或者靠近微观世界的某处潜藏着人们无法看到的规律；通过具有宏观行为的物体的组合或者排列，就能看到规律。这个解释让所有人都感到不舒服。不过这是正常的心理现象，不能因此就赞同或反对它。