火柴棒搭成的几何世界

到目前为止，我们的讨论仍然没有跳出直尺和圆规的框架。这次，让我们彻底摆脱传统的束缚，来看一个全新的作图方法：火柴棒作图。

我曾经看到过这样一个智力题：如何用火柴棒准确地搭出一个正方形？注意，由于没有任何工具可以让两根火柴棒拼成一个 90°角，因此用四根火柴棒随意摆出一个四边形，最多也只能是个菱形。要想拼出一个正方形，我们还得想些奇招来。

一个经典的做法如图1所示。先摆出线段AB，然后我们将会确定线段AK的位置，使得两条线段成90°角。在AB上随意找一个点C，以AC为底搭出两个腰为1的等腰三角形DAC和EAC。容易看出，D、E是关于AB对称的两个点。搭建一系列等边三角形△ADF、△AFG、△AGH，确定出D关于A点的对称点H。这样，H、E两点就关于AK轴对称了。再搭一个等边三角形AIE，则I、G两点也关于AK对称。因此，HG和IE的交点J就在AK上，自然AK的位置也就确定出来了。重复执行以上操作，我们便能完成以AB为边的整个正方形。

图1

受此启发，我们自然而然地想到了这样一个问题：火柴棒的几何作图能力到底有多强？我们能仅凭借火柴棒找出线段的中点吗？我们能仅凭借火柴棒搭出一个正五边形吗？1939年，道森（T.R.Dawson）在一篇论文中证明了一个惊人的结论：火柴棒作图与尺规作图的能力也完全一样！换句话说，用尺规作图能够确定的点，用火柴棒作图也能确定；而尺规作图办不到的事，火柴棒作图也没法办到。也就是说，和单规作图一样，火柴棒作图完全等价于尺规作图！

为了证明这一结论，我们首先得给火柴棒作图下一个定义。我们约定，用火柴棒作图时只允许以下四种基本操作，它们就是火柴棒几何中的“公理”。

（1）给定一点A，可以作一条通过A的单位长线段，或者以A为端点的单位长线段。

（2）给定距离不超过单位长的两点 A、B，可以作一条通过 A、B的单位长线段，或者以A为端点过B的单位长线段。

（3）给定距离不超过单位长的两点 A、B，可以以 AB为底作一个腰为单位长的等腰三角形ABC。

（4）给定点A和与其距离不超过单位长的直线l，可以作一条以A为端点，另一端点在l上的单位长线段。

其中，公理4非常有用，我们将在后面反复用到它。

有了这些公理，我们便可以一步一步搭建火柴棒的几何世界了。先来看一个最基本的操作：延长一条线段。

延长一条线段。

图2

如图2所示，搭出一系列等边三角形，我们便能把AB延长到AE。重复这样的操作，便可将一条线段无限延长。

注意到线段CD与AB平行且相距个单位，因此我们还得到了一个非常有用的工具：将给定线段平移个单位。

下面我们再来看一个基本操作。

找出长度小于单位长的线段的中点。

图3

如图 3所示，AB为已知线段。先作等腰三角形 ABC，再作等边三角形 BDC和AEC。BD和AE的交点F就在等腰三角形的中线上。CF的延长线与AB的交点就是我们所求的点G。

不过，当线段AB的长度等于或大于单位长时，这种方法就不能用了。

注意到，由于CG还平分了∠ACB和∠DCE，因此我们相当于有了一个平分不超过120°且不等于60°的角的办法。另外，由于CG还是AB的垂线，因此我们又有了过点C向已知线段作垂线的方法——先利用公理4摆出线段CA和CB，再找出AB的中点。即使C点离已知线段很远，垂线照样能作出，因为我们可以将已知线段不断平移个单位，让它与C的距离足够近。不过，这里还是有一种特殊的情况：若C与已知线段的距离恰好是的整倍数，这么做就不行了。

当线段AB的长度等于单位长时，我们可以用下面的办法找出中点。

找出长度等于单位长的线段的中点。

图4

如图4所示，假如AB是一条长度恰为单位长的已知线段。首先在AB上任取一点C，然后作等腰三角形ADC。作等边三角形CED，与AD交于F；作等边三角形AGD，与CD交于H；CE和AG交于点I。那么，DI与FH的交点J就是FH的中点。BH与AD交于点K，KJ与AB交于点L，于是我们就成功地把FH的中点转移到了AB的中点。

这个构造弥补了我们之前留下的空缺。现在，我们不但能平分恰为 60°的角，也能引出长度恰为的整倍数的垂线了。

利用这些基本操作，我们可以实现一些更复杂的几何构造了。

过已知线段外的一点，作已知线段的平行线。

图5

如图5所示，不断平移已知线段AB，直到它离点C足够近。以C为端点，利用公理4引单位长线段CD、CE。反向延长CE到F，容易证明∠DCF的平分线CG就与AB平行。

注意，虽然我们现在只能平分小于120°的角，但好在，只要把线段AB平移到了离C点距离小于的地方后，∠DCF总是小于120°的。

这就解决了下面这个大难题。

找出距离大于单位长的两点的中点。

图6

如图6，已知很远的两点A、B。向任意方向作单位长线段AC，过B作它的平行线段BD。利用一系列等边三角形，构造逐渐向中间靠拢的中心对称图形，直到出现距离不超过单位长的对称点E、F。EF的中点也就是AB的中点。

既然我们能找到任意线段的中点，平分大于120°的角也就不成问题了。

好了，准备工作基本结束，下面我们就来说明火柴棒作图与尺规作图的等价性。注意到，火柴棒作图的四项基本操作都能用尺规作图实现，因此火柴棒作图是尺规作图的子集。为了说明尺规作图同时也是火柴棒作图的子集，我们只需要用火柴棒实现这样三个基本操作：作出过两点的直线、作出直线和圆的交点，作出圆和圆的交点。这样，火柴棒便能完全代替直尺和圆规了。

我们先来看最简单的一个：作出过两点的直线。

作出过A、B两点的直线。

为了连接AB，首先找出AB的中点C，然后找出AC的中点D，BC的中点E……如此下去，直到 AB之间有足够多的点，相邻点的距离都小于单位长度。这样，我们便可以用火柴棒连接很远的两点了。

作出直线和圆的交点就比较复杂了。

作出直线和圆的交点。

图7

如图7所示，给定点A、点B、圆心C以及圆周上一点D，我们需要找到直线AB与（隐形的）圆C的交点L。过C作CE⊥AB。在CE的反向延长线上截取CF=CD（这是可以办到的，比如先作∠DCF的角平分线，再过 D作角平分线的垂线；后面还会反复用到这个技巧）。向任意方向作单位长度线段FG。过E作CG的平行线，交FG延长线于H。过H作EC的平行线，截取HI=HG。作IJ∥HE。

此时，图中的一系列平行线和等长线段告诉我们，CE:CD=CE:CF=HG:GF=HI:GF=JE:GF，而CE是小于半径CD的，因此JE是小于单位长线段GF的。于是，我们便可以利用公理4作单位长线段JK。最后，过C作JK的平行线，把它与AB的交点记作点L。由于CE:CD=JE:GF=JE:JK=CE:CL，可见CL正好等于圆的半径长CD，因此L点就是我们要求的圆与直线的交点。

最后，我们只剩下一步了：用火柴棍作出圆与圆的交点。

作出圆和圆的交点。

图8

如图8所示，已知圆心A和圆周上一点B，圆心C和圆周上一点D，我们想要找出这两个圆的交点。由于我们已经能作直线与圆的交点了，因此为了作出两圆的交点，只要能找出公共弦所在直线即可。而公共弦与连心线垂直，因此我们只需要找出公共弦与连心线的交点L即可。不妨把圆A的半径记作a，把圆C的半径记作c，再在连心线上找出 LK=LC，则由勾股定理可得a²-AL²＝c²-CL²，即a²-c²＝AL²-CL²，再利用平方差公式可得（a﹢c）（a-c）＝AC·AK。也就是说，AK就等于。我们将利用这个关系找出K点来。

过 C作AB的平行线，截取CE=CD。作EF∥CB，则AF就等于a﹢c。过B作AC的平行线，截取BG=BF。截取AH=AB，然后作BI∥GH，AI就等于a-c。作IJ∥CF，由△AIJ与△ACF相似可知AJ:AI ＝AF:AC，因此。最后，只需要截取AK=AJ，再找出CK的中点L，问题就圆满解决了。

这样一来，所有尺规作图能够办到的事情，只用火柴棒也能办到，一切火柴棒作图问题都被终结掉了。不过，对火柴棒几何的研究还远未结束。如何简化作图过程，作出指定图形最少需要多少根火柴棒……这些悬而未决的问题都还有待人们继续探索。