锈规作图也疯狂

还能有比单规作图更疯狂的吗？有！

现在，让我们来考虑一种更坏的情况：假设我们不但没有直尺，而且连圆规也是坏的——这是一把生锈的圆规，两只脚已经被卡住了，只能画出单位半径的圆。在这样的条件下，哪些作图问题仍然能够被解决？

锈规作图相当困难，但并不是完全没有可能的。数学教授丹·佩多（Dan Pedoe）的一名学生惊奇地发现，给定两个点A和B，如果它们的距离小于2，我们可以非常简单地作出点C，使得AC=BC=AB（即△ABC为等边三角形）。

如图1，先以A、B为圆心分别作圆。由于它们之间的距离小于2，因此两圆必然相交。以其中一个交点P为圆心作圆，分别交圆A、圆B于点M、N。最后，再分别以点M、N为圆心作圆，则圆M和圆N的交点即为所求点C。由对称性，△CAB一定是一个等腰三角形。另外，由对称性可知∠ACB=2∠BCP，而在圆N中，圆周角∠BCP的度数又是圆心角∠BNP的一半。因此，∠ACB正好等于∠BNP。由于△BNP是等边三角形，我们可以立即得到∠ACB=∠BNP=60°，△ABC也是一个等边三角形。

图1

丹·佩多受到启发，在1980年的《数学难题》（Crux Mathematicorum）杂志上提出了这样一个问题：如果A、B是任意给定的两点，满足要求的点C仍然能够只用锈规作出吗？1982年，佩多听闻了我国张景中和杨路给出的解答，并把它发表在了同一杂志上。让我们来看看，单用锈规是如何作等边三角形的吧。

首先，我们介绍锈规的第一个比较明显的用途：找出给定两点A、B间的一条由单位长线段首尾相接构成的折线段。方法很简单，如图 2，先作出圆 B，然后从点 A出发，用锈规不断画弧并在弧上取点，然后以新的点为圆心继续画弧。总有一个时候，会有某个圆弧与圆B相交，此时我们所需要的折线段也就找到了。当然，由于我们没有直尺，我们是无法真正画出这条折线段的。不过这没什么，和单规作图一样，我们需要的只是这些点的位置。

图2

给定A、B、C三点，我们可以利用折线段构造法巧妙地作出平行四边形ABDC。如图3，首先作出从A到B的折线段，再作出从A到C的折线段，然后顺次作出一个个边长为1的菱形，最终得到的点D就是所求的点。注意到，菱形都是平行四边形，因此我们所作的实际上是把折线段AB一点点平移到了折线段CD，自然也就相当于把线段AB平移到了线段CD，因而四边形ABDC显然是一个平行四边形。

图3

好了，我们已经慢慢地接近目标了。考虑这样一个作图问题：已知等边三角形PAB和等边三角形PCD，能否只用锈规找出点E，使得BDE也是一个等边三角形？如图4，事实上，这个E点恰好就是使得四边形APCE为平行四边形的那个点，借助上面的方法我们可以轻易作出E点的位置。利用初等平面几何知识不难证明，如果APCE是平行四边形，则△ABE、△PBD、△CED全等，从而△BDE必然是一个等边三角形。详细的证明过程就留给大家自己去完成了。

图4

回到我们最初的问题，给定A、B两点后，我们可以像图5那样，先作出一条由单位长线段构成的折线A-P₁-P₂-…-P_n-B，进而作出n﹢1个边长为1的等边三角形。然后，一次次套用作平行四边形的方法，作出T₁，T₂，…等一系列的点，不断将两个小的等边三角形合成一个大的三角形。最后的T_n就是我们所求的C点，它使得△ABC恰为一个等边三角形。至此，我们的问题已经圆满地解决了！

图5

那么，给定A、B两点，能够作出正方形ABCD吗？能够作出线段AB的中点M吗？侯晓荣等人对此做了进一步研究，利用复平面方法证明了一个非常强大的定理：事实上，从给定两点 A、B 出发，一切尺规作图能够完成的操作，锈规作图都能做到！1987年，他们把这一成果撰写成《锈规作图论》一文，发表在了《中国科学技术大学学报》上。

值得注意的是，“从给定两点出发”这一条件必不可少。在有多个已知点的情况下，锈规作图的能力还有待研究。