单利与复利的计算

时间：2022-11-23 理论教育版权反馈

【摘要】：复利的计算方法有二，即复利终值和复利现值。复利终值又称为未来值，是根据一定利率对货币的现值计息，经过若干期后的本利之和。如一小孩出生时，他父母替他存入银行1000元，按6%的利息率计算，到他70岁时如按单利计算本利和仅为5200元，如按复利计算，本利和将变为59000元。从计算方法上看，它是复利终值的逆运算，二者互为倒数，可用倒求本金的方法计算。

第二节　单利与复利的计算

一、单利及其计算

(一)单利的概念

货币时间价值可以按单利计算，也可以按复利算，但大多数情况下按复利计算。目前，中国有关货币的时间价值的计算大多数情况下是采用单利的。单利是计算利息的一种方法，就是只有本金才能生息，而利息即使不取出也是不计息的，很显然，单利并不能充分体现出货币的时间价值。

(二)单利终值的计算

单利终值的计算方法是:

设:F为本金与利息之和或终值;P为本金或现值;n为时间，又称计息期数，通常以年为单位;i为利率，通常是指每年利息与本金之比;I为利息

则F=P+I=P+P·i·n=P(1+n·i)　　　　　　　　　　　　　　　　I=P·i·n

例1:某项投资80万元，年利率为10%，一年后的终值是:

F₁=80×(1+10%)=88(万元)

5年后的终值是:

F₅=80×(1+5×10%)=120(万元)

例2:某人存款100元，如果银行储蓄年利率为10%，则20年后的终值为:

F₂₀=100×(1+20×10%)=300(元)

例3:假设投资者按7%的单利把1000元存入银行2年，在第2年年末的利息额是多少?

F2=1000×(1+2×7%)=1140(元)　　　　I=1000×7%×2=140(元)

(三)单利现值的计算

单利现值是其终值的逆运算，已知终值求现值的过程称为折现。现值的计算公式为:

P=F/(1+n·i)

例4:小王希望5年后取得本利和20000元，用以支付一笔款项，在利率为5%的单利条件下，他现在需一次性存入银行多少钱?

P=F/(1+n·i)=20000/1+5×5%=16000(元)

由此可见，只有复利才能更充分体现出货币的时间价值。因此，货币的时间价值一般都是按复利方式进行计算的。

例5:唐先生正考虑出售在阿拉斯加的一块空地。昨天有人提出要以10000美元购买。他正准备接受这一报价，又有一人报价11424美元，但是一年以后付款。他已弄清楚两个买主都是有诚意的，并且均有支付能力。

唐的财务顾问指出，如果他接受第一个报价，他可以将这1万美元以12%的利率存入银行。这样，一年以后，他可以得到:

10000+(0.12×10000)=10000(1+0.12)=10000×1.12=11200(美元)

因为这一数目少于第二个报价11424美元，所以财务顾问建议他接受后者，即11424美元的报价。

在这一决策过程中，我们用到了复利终值的概念，用以描述一个时期或多个时期以后一笔资金的价值。在本例中，1万美元1年以后的终值就是11200美元。

二、复利终值及其计算

(一)复利的概念

复利是指不仅本金要计算利息，利息也要计算利息，也就是将本金所生的利息加入本金，以当期的本利和作为计算下期利息的基础，逐期滚算的一种计息方法，俗称“利滚利”。货币的时间价值可以用复利的方法加以解释，不妨将原来的货币金额称为本金(或现值)，期末取得的本金加上利息称为本利之和(终值或未来值)，复利就是把赚得的利息定期转加到本金上去，再赚取利息。在长期投资决策中，必须考虑货币的时间价值因素，按复利计算相关指标。复利的计算方法有二，即复利终值和复利现值。

(二)复利终值的计算

复利终值又称为未来值，是根据一定利率对货币的现值计息，经过若干期后的本利之和。例如，一家公司将一笔资金P存入银行，年利率为i，如果每年计息一次，则n年后的本利和就是复利的终值。如图2－1所示。

图2－1　复利终值示意图

设:FV为复利终值，PV为本金或现值，i为利率或报酬率，n为期数，则:各年终值的计算过程是:

FV₁=PV+PV·i=PV(1+i)

FV₂=PV(1+i)·(1+i)=PV(1+i)²

FV₃=PV(1+i)²·(1+i)=PV(1+i)³

…………

则:第n年的本利和即复利终值的计算公式为:

FV_n=PV(1+i)(1+i)…=PV(1+i)ⁿ

复利终值=现值×复利终值系数

式中，(1+i)ⁿ称为复利终值因子或终值系数，也可写成FVIF_i，n，它表明每1元投资在利率为i，期数为n的条件下的复利终值。公式中的4个要素，若已知其中3个，就可求出另一个。复利终值系数可以通过查阅书后的“1元复利终值表”直接获得，该表的第一行是利率，第一列是计息期数，相应的值(1+i)ⁿ其纵横相交处即为终值系数。

例6:某项目需投资10000元，年利润率为10%，如果将利润存入银行且不取利息，则利润额会逐年增加，复利终值的计算过程如表2－1所示:

表2－1　复利终值计算表

例7:某项投资由银行贷款10亿元，年利率为12%，5年后一次结清，应还本利和应为多少?

计算过程如下:

应还本利和FV₅=PV(1+i)ⁿ

　　　　　　 =10×(1+12%)⁵

　　　　　　 =10×1.762(查表)

　　　　　　 =17.62(亿元)

即在年利率为12%的情况下，现在的10亿元和5年后的17.62亿元在经济上是相等的。

例8:某人存入银行500美元，若银行存款年利率为10%，每年复利一次，则各年终值为:

第1年FV₁=500×(1+10%)=500×1.1=550(美元)

第2年FV₂=500×(1+10%)²=500×1.21=605(美元)

…………

第25年FV₂₅=500×(1+10%)²⁵=500×10.83=5415(美元)

如果一个小孩刚出生时，父母就为其一次性存入500美元，待他(或她)25岁结婚时，就可得到5415美元，足以陪嫁。

例9:某建设项目共需投资4400万元，资金利息率为10%，3年分期使用，有两种不同的使用方式，经济效果是大不一样的，如表2－2所示。

表2－2

方案甲投资占用早，如果是财政拨款，在按资金盈利率10%计算的情况下，国家将由于这项基建拨款减少1192万元的收益;如果建设资金由银行贷款，利息率为10%，应该交纳的利息为1192万元。显然，对企业来说，方案甲不如方案乙好。

例10:已知本金为1366元，年息1分，求存期几年(复利计息)可得到2000元?

计算:已知:FV_n=2000，PV=1366，i=10%，则:

2000=1366×(1+10%)ⁿ

nlg1.1=lg2000－lg1366

n==4(年)

从短期来看，单利与复利之差额表面上似乎很小，但从长远来看，差数就惊人了。如一小孩出生时，他父母替他存入银行1000元，按6%的利息率计算，到他70岁时如按单利计算本利和仅为5200元，如按复利计算，本利和将变为59000元。如果存满140年，按复利计算本利和将为3490000元，而按单利计算仅为9400元。这种指数式复利计算所产生的差距，却能产生惊人的效果。“几百年来，一直使人类感兴趣的结果。有一则古老的波斯传说，内容是关于一个聪明的廷臣，他献给国王一件极好的棋盘，要求国王按棋盘上的方格给他大米作为回赏，第1个方格给他一粒米(2⁰)，第2个方格给2粒(2¹)，第3个方格给4粒等。国王欣然同意，命令从储藏室拿米来。棋盘的第4格需要8粒(2³)，第10格需要512(2⁹)，第15格需要16384粒，第21格就给了这位廷臣100万粒以上的米。到第40个方格时不得不从仓库中取来一万亿粒，还没有到第64格，国王的全部存米早已拿光。指数增长容易骗人，因为它很快就会造成庞大的数字。”(引自梅多斯著，《增长的极限》)。

在西方，复利的计算不一定一年一次，也可能一季一次，或一月一次，这叫复利的频率，复利频率愈快，同一期间的未来值愈大。连续复利，即复利频率无限。某些财务上的评价模式，常采用连续复利的概念。在连续复利下，

未来值的计算为:

当m→∞时，

如期初存款100元，年息6%，连续复利5年后的本利和为:

FV₅=PV·eⁱⁿ=100×e^0.06×5=134.98(元)

在一定的利率和年数之下，连续复利可产生最大的将来值。

为了简化和加速计算，可编制复利终值系数表，该表见书后附表，表2－3是其简表。表中i和n的范围及详细程度可视情况而定。教学用表中的系数，一般只取3～4位小数，实际工作中，位数可更多一些。

表2－3　1元的复利终值系数表

(三)利滚利的72法则

当做财务规划时，了解复利的计算是相当重要的，我们常喜欢用“利滚利”来形容某项投资获利快速、报酬惊人，比方说拿一万元去买年报酬率20%的股票，若一切顺利，约莫三年半的时间，1万元就会变成2万元。复利的时间乘数效果，更是这其中的奥妙所在。复利表虽然好用，但也不可能始终都带在身边，若是遇到需要计算复利报酬时，有一个简单的72法则可以取巧。

72法则是以1%的复利来计息，经过72年以后，你的本金就会变成原来的一倍。这个公式好用的地方在于它能以一推十。例如，利用5%年报酬率的投资工具，经过14.4年(72/5)本金就变成一倍;利用12%的投资工具，则要6年左右(72/12)，才能让1元钱变成2元钱。因此，今天如果你手中有100万元，运用了报酬率15%的投资工具，很快就可知道，经过约4.8年，你的100万元就会变成200万元。

虽然利用72法则不像查表计算那么精确，但也已经十分接近了。因此当缺少复利表时，运用简单的72法则，计算就很方便。

三、复利现值及其计算

复利现值是在以后某一规定的时间内收到或支出的每一笔钱按照规定的利率所计算的货币现在值，它告诉我们未来一定量货币的现在值。从计算方法上看，它是复利终值的逆运算，二者互为倒数，可用倒求本金的方法计算。把货币的未来值折合成现值就叫贴现(贴现值)，贴现值与未来值之间的差额叫贴息。贴息占未来值的比重叫贴息率或贴现率。

由于有利息，今天的一元钱比一年或两年后的一元钱的价值要大。因此，为了了解货币的时间价值，需要一种能客观衡量不同时间货币价值的方法，现值即可提供衡量不同时间货币价值的方法。例如，将n年后的一笔资金FV_n，按年利率i折算为现在值，这就是复利现值。如图2－2所示。