掌握珠算乘法算

任务3　掌握珠算乘法算

3.3.1 掌握积的定位法

1）确定数位

一个数的位数是由这个数的最高位所处的位置决定的，一个数的最高位是指最先不是零的那一位。数的位数分为三类：

（1）正位数

在一笔数中，最先出现的不为零的数字称为最高位数字，也称首位数字。含有整数部分的数称为正位数，有几位整数就是正几位数。例如：53.4是正二位、890.7是正三位。

（2）零位数

凡是数的最高位在小数点右，最高位和小数点之间没有零的就是零位。例如0.786、0.98都是零位。

（3）负位数

凡是数的最高位在小数点右，而最高位和小数点之间有几个零就是负几位。例如0.009 8是负二位，0.07是负一位。

2）积的定位法

（1）公式定位法

公式定位法也叫通用定位法，是一种算后定位法，即需先将乘积算出后，用积的首位数字与两因数首位数字大小比较以及两因数位数来确定积的位数的一种定位方法。一般设被乘数的位数为“m”，乘数的位数为“n”，则积的定位公式有：

m＋n　　　　　　　　　　　　　（i）

m＋n－1　　　　　　　　　　　（ii）

运用时具体有下列三种情形：

①当积的最高位数字小于被乘数或乘数的最高位数字时（其中包括一个小于，另一个等于），其积的位数用公式（i）定位。例如，31×42＝1 302，因1小于3或4，所以积的位数为m（2）＋n（2）＝＋4位，其积是1 302；又如16×71＝1 136，积的首位数字1等于被乘数首位数字1，小于乘数首位数字7，所以同样用公式（i）定位，即m（2）＋n（2）＝＋4位，其积为1 136。

②当积的最高位数字大于被乘数或乘数的最高位数字时（其中包括一个大于，另一个等于），其积的位数用公式（ii）定位。例如35×23＝805，因为8大于3或2，所以积的位数为m（2）＋n（2）－1＝＋3位，其积是805；又如21×14＝294，积的首位数字2，等于被乘数首位数字2，大于乘数首位数字1，所以同样用公式（ii）定位，即m（2）＋n（2）－1＝＋3位，其积为294。

③当积的最高位数字与被乘数和乘数首位数字相同时，则依次比较它们的第二位数字；若第二位数字再相同，则比较它们的第三位数字，依此类推，然后再按上述方法来确定积的位数。例如：12×11＝132，积与被乘数和乘数的最高位数字都相同，则比较次高位数字，因3大于2或1，所以用公式（ii）定位，即2＋2－1＝3位。再如，99×99＝9 801，积与被乘数和乘数的最高位数字都相同，则比较次高位数字，因8小于9，所以用公式（i）定位，即2＋2＝4位。上述定位方法也可简记为：“积首大减一，积首小不减”。

例1：9.53×73.26＝698.167 8

定位：积的最高位数字6小于被乘数最高位数字9，用公式（i）定位，即1＋2＝3位，积数为698.167 8。

例2：0.34×0.254 7＝0.086 598

定位：积的最高位数字8大于被乘数最高位数字3，用公式（ii）定位，即0＋0－1＝－1位，积数为0.086 598。

（2）盘上公式定位法

盘上公式定位法就是根据积的首位数字是否落在标准首位档上来确定积的位数的一种定位方法。具体方法如下：

①确定标准首位档。一般以算盘左框第一档作为积的标准首位档（标准首位档是指被乘数首位数字与乘数首位数字相乘积的十位数加积所确定的算档）。

②按以下规则定位。a.两因数相乘，若积的首位数字落在算盘标准首位档上，用公式（i）定位，即积的位数等于被乘数位数加上乘数位数。b.两因数相乘，若积的首位数字落在算盘左框第二档上，标准首位档为空档，用公式（ii）定位，即积的位数等于被乘数位数加上乘数位数再减一。

例1：625×0.08＝50

将算盘左边第一档确定为标准首位档（用空盘乘法），计算如下：用被乘数第一位数字6×8＝48，第二位数字2×8＝16，第三位数字5×8＝40。因积的首位数字落在标准首位档上，故积的位数为：3＋（－1）＝＋2位，积数为50。

例2：357×0.02＝7.14

将算盘左边第一档确定为标准首位档（用空盘乘法），用被乘数第一位数字3×2＝6，第二位数字5×2＝10，第三位数字7×2＝14。因积的首位数字落在算盘次位档上，故积的位数为3＋（－1）－1＝＋1位，积数为7.14。

盘上公式定位法可以概括为八个字，即“位数相加，空档减1”。此方法定位快、准，尤其适用于现在普遍采用的空盘前乘法。

3.3.2 掌握乘法大九九口诀

珠算的基本乘法是用口诀指导拨珠运算的，乘法口诀是根据1～9九个数字分别乘以1～9九个数字编制，计81句，叫大九九口诀（见表3.1）。

表3.1　大九九口诀表

在乘法大九九口诀表中，大数在前，小数在后的36句，称为逆九九口诀，其余的45句，称为小九九口诀。因其小数在前，大数在后，念起来比较顺口，又称为顺九九口诀。

乘法口诀中，每句口诀都由4个数字组成，前两个中文数字分别表示乘数和被乘数，后两个阿拉伯数字表示积的十位数和个位数。为了保证加积时数位一一对应，凡遇到两因数的积小于10的，记忆时均在乘积前加上一个“0”，如二一02、三二06，以保证加积时数位一一对应，防止错位。

在读大九九口诀时，一律按四个字读：“即乘数—被乘数—积的十位数字—积的个位数字”。如“二四08”读作“二四零八”，不能读作“二四得八”，同样，“六五30”读作“六五三零”，不能读作“六五三十”。

在进行珠算基本乘法运算时，应采用大九九口诀。由于大九九口诀不用颠倒乘数与被乘数的顺序，容易记乘数，且不容易出错，有利于提高运算质量和速度。

3.3.3 乘法运算

1）空盘前乘法

（1）一位数空盘前乘法

一位数乘法是指两因数中有一个因数的有效数字是一位数字的乘法。学好一位乘法是学习多位乘法的基础。因为实际上多位乘法是一位乘法之积在不同档次上的叠加。另外，练习一位乘法，也是熟悉大九九口诀的有效方法。

其运算步骤如下：

①固定档位，采用积首落档定位法，在算盘的左边选择一个档作为乘积的特定档（一般将算盘左边第一档作为特定档），特定档就是将第一个乘积的十位数的档位。

②运算顺序。眼看被乘数，默记乘数，用乘数去乘被乘数，从首位依次算到末位。

③加积档次。是指每次积拨加在哪一档上。采用“积首落档定位法”，从特定档拨入乘数与被乘数首位相乘的积的十位数，右一档拨入积的个位数，而拨个位积的这一档又是拨乘数第二位相乘数乘积的十位积的档，个位积拨在下一档……依此类推，直到被乘数全部乘完为止。

④定位书写得数。运算完后，按照盘上所示数抄写答案。如采用“积首落档”公式定位，要看特定档，特定档有数，乘积的位数为m＋n；如果特定档没有数，乘积的位数为m＋n－1。即满档积的位数＝m＋n，空档积的位数＝m＋n－1。

例1：4 827×6＝28 962

运算步骡：

①标准首位档定在左框第一档。用乘数6与被乘数的首位数字4相乘，“四六24”，将乘积十位数拨在算盘左框第一档上，乘积的个位数拨在下一档，盘上算珠为24。

②用乘数6与被乘数的8相乘，“六八48”，从第二档起依次拨加积数48，盘上算珠为288。

③用乘数6与被乘数的2相乘，“六二12”，从第三档起依次拨加乘积12，盘上算珠为2 892。

④用乘数6与被乘数的7相乘，“六七42”，从第四档起依次拨加乘积42，盘上算珠为28 962。

⑤积的定位：因左框第一档有积数，其积的位数为4＋1＝＋5位，故积数为28 962。

例2：12.87×50＝643.5

运算步骤：

①用乘数5与被乘数的首位数字1相乘，“五一05”，从算盘左边第一档起依次拨加乘积05（乘积十位数是0时，应占一档），盘上算珠为05。

②用乘数5与被乘数的2相乘，“五二10”，从第二档起依次拨加乘积10，盘上算珠为060。

③用乘数5与被乘数的8相乘，“五八40”，从第三档起依次拨加乘积40，盘上算珠为0640。

④用乘数5与被乘数的7相乘，“五七35”，从第四档起依次拨加乘积35，盘上算珠为06435。

⑤积的定位：因标准首位档无积数，其积的位数为m＋n－1＝2＋2－1＝＋3位，故积数为643.5。

例3：20.19×0.5＝10.095

运算步骤：

①用乘数5与被乘数的首位数字2相乘，“五二10”，从算盘左边第一档起依次拨加乘积10，盘上算珠为10。

②用乘数5与被乘数的1相乘，“五一05”，从第三档起依次拨加乘积05，盘上算珠为1 005。

③用乘数5与被乘数的9相乘，“五九45”，从第四档起依次拨加乘积45，盘上算珠为10 095。

④积的定位：因首档有积数，其积的位数m＋n＝2＋0＝＋2位，故积数为10.095。

（2）多位空盘前乘法

乘数是两位或两位以上非零数字的乘法叫多位数乘法。其具体的运算步骤如下：

①固定档位。多位数乘法固定档位的方法与一位数乘法相同。

②运算顺序。用乘数的首位数字分别去乘被乘数的首位数字至末位数字，再用乘数的第二位分别去乘被乘数的首位至末位，直至乘数全部乘完为止。

③加积档次。乘数的首位与被乘数的首位至末位相乘，从起始档开始，拨第一个乘积的十位数，个位数拨第二档；第二档起，拨第二个乘积的十位数，个位数拨第三档，以下依此类推。

乘数的第二位同被乘数的首位至末位相乘，从起始档的第二档起，拨第一个乘积的十位数，个位数拨第三档；从第三档起，拨第二个乘积的十位数，个位数拨第四档，以下依此类推。

④定位书写得数。多位数乘法书写得数与一位数乘法相同。

例1：54 700×2.69＝147 143

运算步骤：

①用盘上公式定位法定位。用被乘数首位数字5分别乘以乘数269，从第一档起依次拨加乘积10、30和45，盘上算珠为1 345。

②用被乘数的4分别乘以乘数269，从第二档起依次拨加乘积08、24和36，盘上算珠为14 526。

③用被乘数的7分别乘以乘数269，从第三档起依次拨加乘积14、42和63，盘上算珠为147 143。

④积的定位，因首档（第一档）有积数，其积的位数为m＋n＝5＋1＝＋6位，故积数为147 143。

例2：0.149 2×896＝133.683 2

运算步骤：

①用盘上公式定位法定位。用被乘数的1分别乘以乘数896，从第一档起依次拨加乘积08、09和06，盘上算珠为896。

②用被乘数的4分别乘以乘数896，从第二档起依次拨加乘积32、36和24，盘上算珠为12 544。

③用被乘数的9分别乘以乘数896，从第三档起依次拨加乘积72、81和54，盘上算珠为133 504。

④用被乘数的2分别乘以乘数896，从第四档起依次拨加乘积16、18和12，盘上算珠为1 336 832。

⑤积的定位：因首档有积数，积的位数为m＋n＝0＋3＝＋3位，故积数为133.683 2。

例3：96.25×0.142＝13.667 5

运算步骤：

①用公式定位法定位。用被乘数的9乘以乘数142，从第一档起依次拨加乘积09、36、18，盘上算珠为1 278。

②用被乘数的6乘以乘数142，从第二档起依次拨加乘积06、24和12，盘上算珠为13 632。

③用被乘数的2乘以乘数142，从第三档起依次拨加乘积02、08和04，盘上算珠为136 604。

④用被乘数的5乘以乘数142，从第四档起依次拨加乘积05、20和10，盘上算珠为136 675。

⑤积的定位：因积的首位数字1小于被乘数9，故用公式（i）定位，即m＋n＝2＋0＝＋2位，故积数为13.667 5。

空盘前乘法由于拨珠次数较少，所以运算速度较快，是一种较好的方法。

2）留盘乘法

（1）一位留盘乘法

其运算方法如下：

①置被乘数，默记乘数。a.用公式定位法定位时，可任选一档置上被乘数，但被乘数右边留出的档位应满足运算。b.用固定个位档定位法定位时，应先选定个位档（一般以算盘左边第二个计位点），然后，用两因数的位数之和（m＋n）来确定新的“被乘数”的位数，然后将新的“被乘数”按对应个位档拨入盘中。c.用盘上公式定位法定位时，以算盘左边第一档作为标准首位档，拨被乘数入盘。

②乘算顺序。用被乘数末位至首位分别乘以乘数，然后将所得乘积加在对应档位上。

③加积方法。被乘数本位同乘数相乘时，其本位改为乘积的十位数，个位数在右一档，依此类推。若乘积不满十，应先拨去被乘数后，在右一位拨上个位积。

④积的定位。a.用公式定位法定位时，比较积与乘数（或被乘数）的最高位数字。若积的最高位数字大于或等于乘数（或被乘数）的最高位数字，用公式（ii）定位，即m＋n－1；反之，则用公式（i）定位，即m＋n。b.固定个位档定位法定位时，可以直接抄写答案。c.用盘上公式定位法定位时，积的位数等于两因数的位数相加，若首档无积数应再减1。

例1：7 856×3＝23 568

运算步骤：

①采用固定个位档定位法（盘上第二个计位点为小数点）置被乘数，默记乘数3。

②用乘数3先乘被乘数的末位数6，“三六18”，把6改成1，在下一档加上8。

③用乘数3乘被乘数的1，“三五15”，把被乘数5改成1，在下一档加上5。

④用乘数3乘被乘数的8，“三八24”，把8改成2，在下一档加上4。

⑤用乘数3乘被乘数的7，“三七21”，把7改成2，在下一档加上1。

⑥直接盯盘写积数23 568。

若用公式法定位，因积的最高位数字2小于被乘数的最高位数字7，用公式（i）定位，其积的位数为4＋1＝＋5位，故其积为23 568。

例2：25 910×3＝77 730

运算步骤：

①采用固定个位档定位法，置被乘数，默记乘数3。

②用乘数3乘被乘数的末位数字1，“三一03”，拨去被乘数1，在下一档加3。

③用乘数3乘被乘数的9，“三九27”，把9改成2，在下一档加上7。

④用乘数3乘被乘数的5，“三五15”，把5改成1，在下一档加上5。

⑤用乘数3乘被乘数的2，“三二06”，空出十位档，在下一档加上6。

⑥得积数为77 730。

若用公式定位法定位，因积的最高位数字7大于被乘数最高位数字2，用公式（ii）定位，m＋n－1＝5＋1－1＝＋5位，故积数为77 730。

（2）多位留盘乘法

多位留盘乘法顺序是指用被乘数的末位数字乘以乘数首位数字、第二位、第三位，直至末位数字；再用被乘数的倒数第二位数字乘以乘数首位数字、第二位、第三位，直至末位数字，依此类推，乘完被乘数为止。

例1：32.4×68.3＝2 212.92

运算步骤：

①用盘上公式定位法定位。从算盘左边第一档起拨入被乘数，默记乘数683。

②用默记的乘数683同被乘数末位数4相乘，“四六24”，将被乘数4改为乘积的十位数2，在下一档加乘积的个位数4，再逐次向右移档（加积的档次同前例），拨加乘积32和12，盘上算珠为322 732。

③用默记的乘数683同被乘数的2相乘，“二六12”，将被乘数2改为乘积的十位数1，在下一档加乘积的个位数2，再逐次向右移档，拨加乘积16和06，盘上算珠为316 392。

④用默记的乘数683同被乘数的3相乘，“三六18”，将被乘数3改为l，在下一档加乘积8，再逐次向右移档，拨加乘积24和09，盘上算珠为221 292。

⑤积的定位：因首档有积数，故积的位数为m＋n＝2＋2＝＋4位，故积数为2 212.92。

例3：0.392×0.247＝0.096 824

运算步骤：

①用盘上公式定位法定位。从算盘左边第一档起拨入被乘数，默记乘数247。

②用默记的乘数247与被乘数的末位数2相乘，“二二04”，将被乘数2拨去，在下一档加乘积的个位数4，再逐次向右移档，拨加乘积08和14，盘上算珠为390 494。

③用默记的乘数247与被乘数9相乘，“九二18”，将被乘数9改为乘积的十位数1，下一档加乘积的个位数8，再逐右移档，拨加乘积36和63，盘上算珠为322 724。

④用默记的乘数247与被乘数的3相乘，“三二06”，把被乘数3拨去，在下一档加乘积的个位数6，再逐次向右移档，拨加乘积12和21，盘上算珠为96 824。

⑤积的定位：因首档无积数，其积的位数为m＋n－1＝0＋0－1＝－1位，故积数为0.096 824。

留盘乘法运算时，被乘数从末位至首位，分别与乘数自左向右顺序乘算，运算顺序较顺手，若能在运算时，熟练运用“大九九”口诀，并牢记被破掉的被乘数，顺次叠加积数，一气呵成，速度是很快的。