概率基础知识

第一节　概率基础知识

一、随机事件及其概率

（一）随机事件

在观察自然现象和社会现象时，不难发现，有些现象的出现与不出现是一定的，如在一个大气压下，水被加热到100℃时就要沸腾。但是，有些现象在一定条件下是否出现则不能肯定，如将一枚硬币投掷到弹性表面上，观察结果，可能正面朝上，也可能反面朝上，对这种事先不能准确预知其结果的现象称为随机现象，与随机现象对应一定出现的现象称为必然现象，一定不出现的现象称为不可能现象。

统计学上把对某种事物或现象进行观察或实验叫试验，试验的结果叫事件，试验的各种可能结果的集合称为样本空间，用符号S表示。

以掷骰子为例，掷一次骰子有6种可能的点数结果，表示为：

S＝｛1，2，3，4，5，6｝

式中：S表示样本空间；｛｝表示集合，集合中每个数字表示样本空间的样本点，也称基本事件（Elementary event）。

对应各种现象，事件分随机事件（Random event）、必然事件（Certain event）和不可能事件（Impossible event）。

在一定条件下进行一次试验，有两种以上的可能结果，每种结果有可能出现，也有可能不出现，称为随机事件，用符号A、B、C……表示，读作事件A、事件B、事件C……。

在同样条件下，每次试验一定出现的事件，称为必然事件，用符号S表示；在同样条件下，每次试验一定不出现的事件，称为不可能事件，用符号Ф表示。

（二）事件的概率

事件的概率（Probability）即事件在样本空间S条件下发生的可能性大小，记为P（A）、P（B）、P（C）……，显然，

P（S）＝1，P（Ф）＝0

1.概率的古典定义。古典概率来自于17世纪掷骰子、摸球等游戏和赌博中，这类游戏具有共同的特点：第一，试验结果的个数有限，即样本空间有有限个样本点或基本事件；第二，基本事件两两互不相容；第三，基本事件发生的可能性相同。具有这种特点的随机试验称为古典概型或同等可能性概型。

在古典概型中，事件A所包含的基本事件个数m与样本空间中基本事件个数n的比值，称为事件A的概率，记作：

这种计算概率的方法称为概率的古典定义。

例如，在一定条件下进行投掷一枚硬币的试验，这里的一定条件可以包括硬币是均匀的、硬币自由落在弹性表面上等。在一次试验中，事件A（A＝“正面朝上”）能否发生是不确定的，若进行了100次试验，其中38次出现正面朝上，则事件A的频率为：

试验的次数n不同，频率f_n的大小也不同，但是，当试验的次数n越来越大时，事件A的频率始终围绕某一常数p上下做微小的摆动，并且随着n的增大，摆动的幅度越来越小，即逐步趋于稳定。因此，通常的做法是，以n→∞时事件A的频率作为事件A概率p的近似值，即：

随着试验次数的增加，这个近似值也越来越准确，这种通过频率计算的概率称为概率的统计定义。

显然，由上述概率的定义，0≤P（A）≤1。

二、概率运算法则

（一）概率的加法法则

法则一：如果事件A、B互不相容，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）

推论1：如果事件A₁，A₂，…，A_n之间两两互斥，则有

P（A₁＋A₂＋…＋A_n）＝P（A₁）＋P（A₂）＋…＋P（A_n）

推论2：

法则二：对任意两个事件A、B，有

P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）

当A、B互不相容时，法则一是法则二的特殊情形。

（二）概率的乘法法则

1.条件概率。如果A、B是样本空间S条件下的两个随机事件，P（A）≠0，则称在A发生的前提下B发生的概率为条件概率（Conditional probability），记作：P（B｜A）。

2.乘法法则。由条件概率的公式，可以得到积事件的概率

P（AB）＝P（A）P（B｜A）

3.独立事件。若事件满足

P（AB）＝P（A）P（B）

则称A、B相互独立。

对于独立事件A与B，事件A发生的概率不因事件B是否发生而有所不同，即P（A｜B）＝P（A），同时，事件B发生的概率也不因事件A是否发生而有所不同，即P（B｜A）＝P（B）。

推论：如果事件A₁，A₂，…，A_n相互独立，则

P（A₁A₂…A_n）＝P（A₁）P（A₂）…P（A_n）