网络计划时间参数的计算

网络计划是指在网络图上加注时间参数而编制的进度计划，而网络计划时间参数的计算应在各项工作的持续时间确定之后进行。

1. 网络计划时间参数的概念

所谓时间参数，是指网络计划、工作及节点所具有的各种时间值。

1）工作持续时间和工期

（1）工作持续时间。

工作持续时间是指一项工作从开始到完成的时间。在双代号网络计划中，工作i-j的持续时间用Di-j表示；在单代号网络计划中，工作i的持续时间用Di表示。

（2）工期。

工期泛指完成一项任务所需要的时间。在网络计划中，工期一般有以下三种。

① 计算工期。计算工期是根据网络计划时间参数计算而得到的工期，用Tc表示。

② 要求工期。要求工期是任务委托人所提出的指令性工期，用Tr表示。

③ 计划工期。计划工期是指根据要求工期和计算工期所确定的作为实施目标的工期，用Tp 表示。

a．当已规定了要求工期时，计划工期不应超过要求工期，即

b．当未规定要求工期时，可令计划工期等于计算工期，即

2）工作的六个时间参数

除工作持续时间外，网络计划中工作的六个时间参数是：最早开始时间（ESi-j）、工作最早完成时间（EFi-j）、工作最迟完成时间（LFi-j）、工作最迟开始时间（LSi-j）、总时差（TFi-j）和自由时差（FFi-j），如图4-27所示。

图4-27 双代号网络图的时间参数

（1）最早开始时间和最早完成时间。

工作的最早开始时间是指在其所有紧前工作全部完成后，本工作有可能开始的最早时刻。工作的最早完成时间是指在其所有紧前工作全部完成后，本工作有可能完成的最早时刻。工作的最早完成时间等于本工作的最早开始时间与其持续时间之和。

在双代号网络计划中，工作i-j的最早开始时间和最早完成时间分别用ESi-j和EFi-j表示；在单代号网络计划中，工作i的最早开始时间和最早完成时间分别用ESi和EFi表示。

（2）最迟完成时间和最迟开始时间。

工作的最迟完成时间是指在不影响整个任务按期完成的前提下，本工作必须完成的最迟时刻。工作的最迟开始时间是指在不影响整个任务按期完成的前提下，本工作必须开始的最迟时刻。工作的最迟开始时间等于本工作的最迟完成时间与其持续时间之差。

在双代号网络计划中，工作i-j的最迟完成时间和最迟开始时间分别用LFi-j，和LSi-j表示；在单代号网络计划中，工作i的最迟完成时间和最迟开始时间分别用LFi和LSi表示。

（3）总时差和自由时差。

工作的总时差是指在不影响总工期的前提下，本工作可以利用的机动时间。在双代号网络计划中，工作i-j的总时差用TFi-j表示；在单代号网络计划中，工作i的总时差用TFi表示。

工作的自由时差是指在不影响其紧后工作最早开始时间的前提下，本工作可以利用的机动时间。在双代号网络计划中，工作i-j的自由时差用FFi-j表示；在单代号网络计划中，工作i的自由时差用FFi表示。

从总时差和自由时差的定义可知，对于同一项工作而言，自由时差不会超过总时差。当工作的总时差为0时，其自由时差必然为0。

在网络计划的执行过程中，工作的自由时差是指该工作可以自由使用的时间。但是，如果利用某项工作的总时差，则有可能使该工作后续工作的总时差减小。

3）节点最早时间和最迟时间

（1）节点最早时间。

节点最早时间是指在双代号网络计划中，以该节点为开始节点的各项工作的最早开始时间。节点i的最早时间用ETi表示。

（2）节点最迟时间。

节点最迟时间是指在双代号网络计划中，以该节点为完成节点的各项工作的最迟完成时间。节点j的最迟时间用LTj表示。

4）相邻两项工作之间的时间间隔

相邻两项工作之间的时间间隔是指本工作的最早完成时间与其紧后工作最早开始时间之间可能存在的差值。工作i与工作j之间的时间间隔用LAGi-j 表示。

2. 双代号网络计划时间参数的计算

双代号网络计划的时间参数既可以按工作计算，也可以按节点计算，下面分别以简例说明。

1）按工作计算法

所谓按工作计算法，就是以网络计划中的工作为对象，直接计算各项工作的时间参数。这些时间参数包括工作的最早开始时间和最早完成时间、工作的最迟开始时间和最迟完成时间、工作的总时差和自由时差。此外，还应计算网络计划的计算工期。

为了简化计算，网络计划时间参数中的开始时间和完成时间都应以时间单位的终了时刻为标准。如第3 d开始即指第3 d终了（下班）时刻开始，实际上是第4 d上班时刻才开始；第5 d完成即指第5 d终了（下班）时刻完成。

下面以图4-28所示双代号网络计划为例，说明按工作计算法计算时间参数的过程。其计算结果如图4-29所示。

图4-28 双代号网络计划

图4-29 双代号网络计划（六时标注法）

（1）计算工作的最早开始时间和最早完成时间。

工作最早开始时间和最早完成时间的计算应从网络计划的起点节点开始，顺着箭线方向依次进行。其计算步骤如下所示。

① 以网络计划起点节点为开始节点的工作，当未规定其最早开始时间时，其最早开始时间为0。在本例中，工作1-2、工作1-3和工作1-4的最早开始时间都为0，即

② 工作的最早完成时间可利用公式（4-11）进行计算，即

式中 -ijEF——工作i-j的最早完成时间；

ESi-j ——工作i-j的最早开始时间；

Di-j ——工作i-j的持续时间。

在本例中，工作1-2、工作1-3和工作1-4的最早完成时间分别为

工作1-2：EFl-2＝ESl-2＋Dl-2＝0＋6＝6

工作1-3：EF1-3＝ES1-3＋D1-3＝0＋4＝4。

工作1-4：EFl-4＝ESl-4＋Dl-4＝0＋2＝2。

③ 其他工作的最早开始时间应等于其紧前工作最早完成时间的最大值，即

式中 ESi-j——工作(i-j)的最早开始时间；

EFh-i——工作(i-j)的紧前工作(h-i)（非虚工作）的最早完成时间；

ESh-i——工作(i-j)的紧前工作(h-i)（非虚工作）的最早开始时间；

Dh-i——工作(i-j)的紧前工作(h-i)（非虚工作）的持续时间。在本例中，工作3-5和工作4-6的最早开始时间分别为

④ 网络计划的计算工期应等于以网络计划终点节点为完成节点的工作的最早完成时间的最大值，即

式中 Tc——网络计划的计算工期；

EFi-n——以网络计划终点节点n为完成节点的工作的最早完成时间；

ESi-n——以网络计划终点节点n为完成节点的工作的最早开始时间；

Di-n——以网络计划终点节点n为完成节点的工作的持续时间。在本例中，网络计划的计算工期为

（2）确定网络计划的计划工期。

网络计划的计划工期应按公式（4-9）或公式（4-10）确定。在本例中，假设未规定要求工期，则其计划工期就等于计算工期，即

计划工期应标注在网络计划终点节点的右上方，如图4-29所示。

（3）计算工作的最迟完成时间和最迟开始时间。

工作最迟完成时间和最迟开始时间的计算应从网络计划的终点节点开始，逆着箭线方向依次进行。其计算步骤如下：

① 以网络计划终点节点为完成节点的工作，其最迟完成时间等于网络计划的计划工期，即

式中 LFi-n——以网络计划终点节点n为完成节点的工作的最迟完成时间；

Tp——网络计划的计划工期。

在本例中，工作2-7、工作5-7和工作6-7的最迟完成时间为

② 工作的最迟开始时间可利用公式（4-15）进行计算：

式中 LSi-j——工作i-j的最迟开始时间；

LFi-j——工作i-j的最迟完成时间；

Di-j——工作i-j的持续时间。

在本例中，工作2-7、工作5-7和工作6-7的最迟开始时间分别为

③ 其他工作的最迟完成时间应等于其紧后工作最迟开始时间的最小值，即

式中 LFi-j——工作i-j的最迟完成时间；

LSj-k——工作i-j的紧后工作j-k（非虚工作）的最迟开始时间；

LFj-k——工作i-j的紧后工作j-k（非虚工作）的最迟完成时间；

Dj-k——工作i-j的紧后工作j-k（非虚工作）的持续时间。

在本例中，工作3-5和工作4-6的最迟完成时间分别为

（4）计算工作的总时差。

工作的总时差等于该工作最迟完成时间与最早完成时间之差，或该工作最迟开始时间与最早开始时间之差，即

式中 TFi-j——工作i-j的总时差；其余符号同前。

在本例中，工作3-5的总时差为

或

（5）计算工作的自由时差。

工作自由时差的计算应按以下两种情况分别考虑。

① 对于有紧后工作的工作，其自由时差等于本工作之紧后工作最早开始时间减本工作最早完成时间所得之差的最小值，即

式中 FFi-j——工作i-j的自由时差；

ESj-k——工作i-j的紧后工作j-k（非虚工作）的最早开始时间；

EFi-j——工作i-j的最早完成时间；

ESi-j——工作i-j的最早开始时间；

Di-j——工作i-j的持续时间。

在本例中，工作1-4和工作3-5的自由时差分别为

② 对于无紧后工作的工作，也就是以网络计划终点节点为完成节点的工作，其自由时差等于计划工期与本工作最早完成时间之差，即

式中 FFi-n——以网络计划终点节点n为完成节点的工作i-n的自由时差；

Tp——网络计划的计划工期；

EFi-n——以网络计划终点节点n为完成节点的工作i-n的最早完成时间；

ESi-n——以网络计划终点节点n为完成节点的工作i-n的最早开始时间；

Di-n——以网络计划终点节点n为完成节点的工作i-n的持续时间。

在本例中，工作2-7、工作5-7和工作6-7的自由时差分别为

需要指出的是：对于网络计划中以终点节点为完成节点的工作，其自由时差与总时差相等。此外，由于工作的自由时差是其总时差的构成部分，所以，当工作的总时差为0时，其自由时差必然为0，可不必进行专门的计算。在本例中，工作1-3、工作4-6和工作6-7的总时差全部为0，故其自由时差也全部为0。

（6）确定关键工作和关键线路。

在网络计划中，总时差最小的工作为关键工作。特别地，当网络计划的计划工期等于计算工期时，总时差为0的工作就是关键工作。在本例中，工作1-3、工作4-6和工作6-7的总时差均为0，故为关键工作。

找出关键工作之后，将这些关键工作首尾相连，便构成从起点节点到终点节点的通路，位于该通路上各项工作的持续时间总和最大，这条通路就是关键线路。在关键线路上可能有虚工作存在。

关键线路一般用粗箭线或双线箭线标出。在本例中，线路①→③→④→⑥→⑦即关键线路。关键线路上各项工作的持续时间总和应等于网络计划的计算工期，这一特点也是判别关键线路是否正确的准则。

2）按节点计算法

所谓按节点计算法，就是先计算网络计划中各个节点的最早时间和最迟时间，然后再据此计算各项工作的时间参数和网络计划的计算工期。

以图4-28所示双代号网络计划为例，说明按节点计算法计算时间参数的过程。其计算结果如图4-30所示。

（1）计算节点的最早时间和最迟时间。

① 计算节点的最早时间。

节点最早时间的计算应从网络计划的起点节点开始，顺着箭线方向依次进行。其计算步骤如下所示。

a. 网络计划起点节点，如未规定最早时间，则其值等于0。在本例中，起点节点①的最早时间为0，即

b. 其他节点的最早时间应按公式（4-20）进行计算：

图4-30 双代号网络计划（按节点计算法）

式中 ETj——工作i-j的完成节点j的最早时间；

ETi——工作i-j的开始节点i的最早时间；

Di-j——工作i-j的持续时间。

在本例中，节点③和节点④的最早时间分别为

c. 网络计划的计算工期等于网络计划终点节点的最早时间，即

式中 Tc——网络计划的计算工期；

ETn——网络计划终点节点n的最早时间。

在本例中，其计算工期为

② 确定网络计划的计划工期。

网络计划的计划工期应按公式（4-9）或公式（4-10）确定。当未规定要求工期，则其计划工期就等于计算工期，即

计划工期应标注在终点节点的右上方，如图4-30所示。

③ 计算节点的最迟时间。

节点最迟时间的计算应从网络计划的终点节点开始，逆着箭线方向依次进行。其计算步骤如下所示。

a. 网络计划终点节点的最迟时间等于网络计划的计划工期，即

式中 LTn——网络计划终点节点n的最迟时间；

Tp——网络计划的计划工期。

本例中终点节点⑦的最迟时间为

b. 其他节点的最迟时间应按公式（4-23）进行计算：

式中 LTi——工作i-j的开始节点i的最迟时间；

LTj——工作i-j的完成节点j的最迟时间；

Di-j——工作i-j的持续时间。

在本例中，节点⑥和节点⑤的最迟时间分别为

（2）根据节点的最早时间和最迟时间判定工作的六个时间参数。

① 工作的最早开始时间等于该工作开始节点的最早时间，即

在本例中，工作1-2和工作2-7的最早开始时间分别为

② 工作的最早完成时间等于该工作开始节点的最早时间与其持续时间之和，即

在本例中，工作1-2和工作2-7的最早完成时间分别为

③ 工作的最迟完成时间等于该工作完成节点的最迟时间，即

在本例中，工作1-2和工作2-7的最迟完成时间分别为

④ 工作的最迟开始时间等于该工作完成节点的最迟时间与其持续时间之差，即

在本例中，工作1-2和工作2-7的最迟开始时间分别为

⑤ 工作的总时差可根据公式（4-17）、公式（4-18）和公式（4-25）得到：

由公式（4-28）可知，工作的总时差等于该工作完成节点的最迟时间减去该工作开始节点的最早时间所得差值再减去持续时间。在本例中，工作1-2和工作3-5的总时差分别为

⑥ 工作的自由时差可根据公式（4-18）和公式（4-24）得到：

由公式（4-29）可知，工作的自由时差等于该工作完成节点的最早时间减去该工作开始节点的最早时间所得差值再减其持续时间。在本例中，工作1-2和3-5的自由时差分别为

需要注意的是：如果本工作与其各紧后工作之间存在虚工作，则其中的ETj应为本工作紧后工作开始节点的最早时间，而不是本工作完成节点的最早时间。

（3）确定关键线路和关键工作。

在双代号网络计划中，关键线路上的节点称为关键节点。关键工作两端的节点必为关键节点，但两端为关键节点的工作不一定是关键工作。关键节点的最迟时间与最早时间的差值最小。当网络计划的计划工期等于计算工期时，关键节点的最早时间与最迟时间必然相等。在本例中，节点①、③、④、⑥、⑦就是关键节点。关键节点必然处在关键线路上，但由关键节点组成的线路不一定是关键线路，如由关键节点①、④、⑥、⑦组成的线路就不是关键线路。

当利用关键节点判别关键线路和关键工作时，还要满足下列判别式：

或

式中 ETi——工作i-j的开始节点（关键节点）i的最早时间；

Di-j——工作i-j的持续时间；

ETj——工作i-j的完成节点（关键节点）j的最早时间；

LTi——工作i-j的开始节点（关键节点）i的最迟时间；

LTj——工作i-j的完成节点（关键节点）j的最迟时间。

如果两个关键节点之间的工作符合上述判别式，则该工作必然为关键工作，它应该在关键线路上。否则，该工作就不是关键工作，关键线路也就不会从此处通过。在本例中，工作1-3、虚工作3-4、工作4-6和工作6-7均符合上述判别式，故线路①→③→④→⑥→⑦为关键线路。

（4）关键节点的特性。

在双代号网络计划中，当计划工期等于计算工期时，关键节点具有以下一些特性，掌握这些特性，有助于确定工作时间参数。

① 开始节点和完成节点均为关键节点的工作，不一定是关键工作。例如在图4-29所示网络计划中，节点①和节点④为关键节点，但工作1-4为非关键工作。由于其两端为关键节点，机动时间不可能为其他工作所利用，故其总时差和自由时差均为2。

② 以关键节点为完成节点的工作，其总时差和自由时差必然相等。例如在图4-29所示网络计划中，工作1-4的总时差和自由时差均为2，工作2-7的总时差和自由时差均为4，工作5-7的总时差和自由时差均为3。

③ 当两个关键节点间有多项工作，并且工作间的非关键节点无其他内向箭线和外向箭线时，则两个关键节点间各项工作的总时差均相等。在这些工作中，除以关键节点为完成节点的工作自由时差等于总时差外，其余工作的自由时差均为0。例如在图4-29所示网络计划中，工作1-2和工作2-7的总时差均为4。工作2-7的自由时差等于总时差，而工作1-2的自由时差为0。

④ 当两个关键节点间有多项工作，且工作间的非关键节点有外向箭线而无其他内向箭线时，则两个关键节点间各项工作的总时差不一定相等。在这些工作中，除以关键节点为完成节点的工作自由时差等于总时差外，其余工作的自由时差均为0。例如在图4-29所示网络计划中，工作3-5和工作5-7的总时差分别为1和3。工作5-7的自由时差等于总时差，而工作3-5的自由时差为0。

3）标号法

标号法是一种快速寻求网络计划计算工期和关键线路的方法。标号法利用按节点计算法的基本原理，对网络计划中的每一个节点进行标号，然后利用标号值确定网络计划的计算工期和关键线路。

以图4-28所示网络计划为例，说明标号法的计算过程。其计算结果如图4-31所示。

图4-31 双代号网络计划（标号法）

（1）网络计划起点节点的标号值为0。在本例中，节点①的标号值为0，即b1＝0。

（2）其他节点的标号值应根据公式（4-32）按节点编号从小到大的顺序逐个进行计算：

式中 bj——工作i-j的完成节点j的标号值；

bi——工作i-j的完成节点i的标号值；

Di-j——工作i-j的持续时间。

在本例中，节点③和节点④的标号值分别为

当计算出节点的标号值后，应用其标号值及其源节点对该节点进行双标号。所谓源节点，就是用来确定本节点标号值的节点。在本例中，节点④的标号值4由节点③所确定，故节点④的源节点就是节点③。如果源节点有多个，应将所有源节点标出。

（3）网络计划的计算工期就是网络计划终点节点的标号值。在本例中，其计算工期就等于终点节点⑦的标号值15。

（4）关键线路应从网络计划的终点节点开始，逆着箭线方向按源节点确定。在本例中，从终点节点⑦开始，逆着箭线方向按源节点可以找出关键线路为①→③→④→⑥→⑦。

3. 单代号网络计划时间参数的计算

单代号网络计划与双代号网络计划只是表现形式不同，它们所表达的内容则完全一样。下面以图4-32所示单代号网络计划为例，说明其时间参数的计算过程。计算结果如图4-33所示。

图4-32 单代号网络计划

1）计算工作的最早开始时间和最早完成时间

工作最早开始时间和最早完成时间的计算应从网络计划的起点节点开始，顺着箭线方向按节点编号从小到大的顺序依次进行，其计算步骤如下所示。

（1）网络计划起点节点所代表的工作，其最早开始时间未规定时取值为0。在本例中，起点节点ST所代表的工作（虚拟工作）的最早开始时间为0，即

图4-33 单代号网络计划

（2）工作的最早完成时间应等于本工作的最早开始时间与其持续时间之和，即

式中 EFi——工作i的最早完成时间；

ESi——工作i的最早开始时间；

Di——工作i的持续时间。

在本例中，虚工作ST和工作A的最早完成时间分别为

（3）其他工作的最早开始时间应等于其紧前工作最早完成时间的最大值，即

式中 ESj——工作j的最早开始时间；

EFi——工作j的紧前工作i的最早完成时间。

在本例中，工作E和工作G的最早开始时间分别为

（4）网络计划的计算工期等于其终点节点所代表的工作的最早完成时间。在本例中，其计算工期为

2）计算相邻两项工作之间的时间间隔

相邻两项工作之间的时间间隔是指其紧后工作的最早开始时间与本工作最早完成时间的差值，即

式中 LAGi，j——工作i与其紧后工作j之间的时间间隔；

ESj——工作i的紧后工作j的最早开始时间；

EFi——工作i的最早完成时间。

在本例中，工作A与工作G、工作C与工作E的时间间隔分别为

3）确定网络计划的计划工期

网络计划的计划工期仍按公式（4-9）或公式（4-10）确定。在本例中，假设未规定要求工期，则其计划工期就等于计算工期，即

4）计算工作的总时差

工作总时差的计算应从网络计划的终点节点开始，逆着箭线方向按节点编号从大到小的顺序依次进行。

（1）网络计划终点节点所代表的工作的总时差应等于计划工期与计算工期之差，即

当计划工期等于计算工期时，该工作的总时差为0。在本例中，终点节点⑩所代表的工作FIN（虚拟工作）的总时差为

（2）其他工作的总时差应等于本工作与其各紧后工作之间的时间间隔加该紧后工作的总时差所得之和的最小值，即

式中 TFi——工作i的总时差；

LAGi，j——工作i与其紧后工作j之间的时间间隔；

TFj——工作i的紧后工作j的总时差。

在本例中，工作H和工作D的总时差分别为

5）计算工作的自由时差

（1）网络计划终点节点所代表的工作的自由时差等于计划工期与本工作的最早完成时间之差，即

式中 FFn——终点节点n所代表的工作的自由时差；

Tp——网络计划的计划工期；

EFn——终点节点n所代表的工作的最早完成时间（即计算工期）。

在本例中，终点节点⑩所代表的工作FIN（虚拟工作）的自由时差为

（2）其他工作的自由时差等于本工作与其紧后工作之间时间间隔的最小值，即

在本例中，工作D和工作G的自由时差分别为

6）计算工作的最迟完成时间和最迟开始时间

工作的最迟完成时间和最迟开始时间的计算可按以下两种方法进行。

（1）根据总时差计算。

① 工作的最迟完成时间等于本工作的最早完成时间与其总时差之和，即

在本例中，工作D和工作G的最迟完成时间分别为

② 工作的最迟开始时间等于本工作的最早开始时间与其总时差之和，即

在本例中，工作D和工作G的最迟开始时间分别为

（2）根据计划工期计算。

工作最迟完成时间和最迟开始时间的计算应从网络计划的终点节点开始，逆着箭线方向按节点编号从大到小的顺序依次进行。

① 网络计划终点节点n所代表的工作的最迟完成时间等于该网络计划的计划工期，即

在本例中，终点节点⑩所代表的工作FIN（虚拟工作）的最迟完成时间为

② 工作的最迟开始时间等于本工作的最迟完成时间与其持续时间之差，即

在本例中，虚拟工作FIN和工作G的最迟开始时间分别为

③ 其他工作的最迟完成时间等于该工作各紧后工作最迟开始时间的最小值，即

式中 LFi——工作i的最迟完成时间；

LSj——工作i的紧后工作j的最迟开始时间。

在本例中，工作H和工作D的最迟完成时间分别为

7）确定网络计划的关键线路

（1）利用关键工作确定关键线路。

如前所述，总时差最小的工作为关键工作。将这些关键工作相连，并保证相邻两项关键工作之间的时间间隔为0而构成的线路就是关键线路。

在本例中，由于工作B、工作E和工作I的总时差均为0，故这些工作均为关键工作。由网络计划的起点节点①和终点节点⑩与上述三项关键工作组成的线路上，相邻两项工作之间的时间间隔全部为0，故线路①→③→⑥→⑨→⑩为关键线路。

（2）利用相邻两项工作之间的时间间隔确定关键线路。

从网络计划的终点节点开始，逆着箭线方向依次找出相邻两项工作之间时间间隔为0的线路就是关键线路。在本例中，逆着箭线方向可以直接找出关键线路①→③→⑥→⑨→⑩，因为在这条线路上，相邻两项工作之间的时间间隔均为0。

在网络计划中，关键线路可以用粗箭线或双箭线标出，也可以用彩色箭线标出。