【摘要】：设曲面Σ的方程为z=f(x，y)，Σ在xOy面上的投影区域为D，f(x，y)在D上具有一阶连续偏导数，则曲面Σ的面积设平面薄片占有xOy面上的区域D，薄片在D上任一点P(x，y)处的面密度为μ(x，y)，则薄片的质量为设空间物体占有空间闭区域Ω，在点处的密度为ρ，则物体的质量为
1.3.5 重积分的应用
1.曲面的面积
设曲面Σ的方程为z=f(x，y)，Σ在xOy面上的投影区域为D，f(x，y)在D上具有一阶连续偏导数，则曲面Σ的面积
2.平面薄片及空间物体的质量、重心与转动惯量
设平面薄片占有xOy面上的区域D，薄片在D上任一点P(x，y)处的面密度为μ(x，y)，则薄片的质量为
薄片重心的坐标为
薄片关于x轴，y轴的转动惯量为
设空间物体占有空间闭区域Ω，在点(x，y，z)处的密度为ρ(x，y，z)(假定ρ(x，y，z)在Ω上是连续的)，则物体的质量为
物体重心的坐标为
物体关于x轴，y轴，z轴的转动惯量为
【例1.3-41】设半径为a的均匀半圆薄片的面密度为常量μ，求此薄片的重心.
图1.3-15
解:取坐标系如图1.3-15所示，薄片所占闭区域
D={(x，y)|x2+y2≤a2，y≥0}.
由于闭区域D关于y轴对称，故重心C(－x，－y)在y轴上，即－x=0.而
因此薄片的重心为
【例1.3-42】求半径为a、高为h的均匀圆柱体(密度ρ=1)对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量.
解:取圆柱体的中心为坐标原点，建立空间直角坐标系，使z轴与母线平行，则圆柱体占有空间闭区域
Ω={(x，y，z)|x2+y2≤a2，－
于是所求的转动惯量为
其中M=πa2h为圆柱体的质量.
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