截面面积变化的管流

前面讨论了气体等可压缩流体速度发生变化时，相应的压强、密度和温度等气流参数的变化规律。本节将讨论管道截面面积变化对气流流动的影响。

9．5．1　气流速度与通道截面的关系

气体在变截面管道中流动时的速度与通道截面的关系，在与不可压缩流体在变截面通道中的流动相比较有着不一样的地方。

一般来说，在实际工程中可压缩气流在管道中流动时，需要解决如何最大限度地提高气流的速度;如何达到所需要的速度、压强等;如何实现超音速流动等问题，这些都需要了解气流速度与通道截面的关系。

首先讨论不可压缩流体的速度与通道截面的变化规律。对于不可压缩流体的流动，有连续性方程

取对数后微分

从上式可见与异号，这意味着不可压缩流体流动时，流速与截面面积的关系是:

面积增加，流速减小;面积减小，流速增加。

下面我们讨论气体流动时，流速与通道截面面积的关系。

设气体作一维定常等熵流动，有连续性方程和欧拉运动微分方程

加上马赫数关系式(9-7)和音速式(9-5)，有

以及音速定义式

现将式(9-65)整理、并考虑式(9-67)，得

又将式(9-64)整理为，并代入式(9-68)，整理得气流速度变化与通道截面变化的关系式

将式(9-71)代入式(9-70)、式(9-65)和式(9-66)整理所得表达式，以及式(9-14)和式(9-17)整理所得表达式，可得压强、密度和温度变化与通道截面变化的关系式

由气流速度、压强、密度以及温度的变化与通道截面变化的关系式(9-69)～式(9-72)可得三个重要结论:

(1)对于亚音速流动，Ma＜1。由式(9-69)可见与异号;由式(9-70)～式(9-72)可见，与同号。这就是说:

dA＞0，即通道面积增加时，气流速度减小(dv＜0)，压强升高(dp＞0)，密度升高(dρ＞0)，温度升高(dT＞0)，这种通道为亚音速扩压管。

dA＜0，即通道面积减小时，气流速度增加(dv＞0)，压强降低(dp＜0)，密度降低(dρ＜0)，温度降低(dT＜0)，这种通道为亚音速喷管。

这种情况的流动规律与不可压缩流体的流动规律相似。

(2)对于超音速流动，Ma＞1。由式(9-69)可见，与同号;由式(9-70)～式(9-72)

可见，与异号。这就是说:

dA＞0，即通道面积增加时，气流速度增加(dv＞0)，压强降低(dp＜0)，密度降低(dρ＜0)，温度降低(dT＜0)，这种通道为超音速喷管。

dA＜0，即通道面积减小时，气流速度减小(dv＜0)，压强升高(dp＞0)，密度升高(dρ＞0)，温度升高(dT＞0)，这种通道为超音速扩压管。

超音速流动的流动规律完全不同于不可压缩流体的流动规律。

(3)对于音速流动，Ma=1。由式(9-69)、式(9-70)

当Ma=1时，有=0，即音速流动可能发生在通道截面无变化的地方。

又将式(9-69)变形为

当dA→±0时，Ma→1，可见，无论通道是由大到小还是由小到大，在通道截面无变化处，流速有变成音速的趋势。下面分析说明，只有在最小截面上，才可能发生音速流动。这个截面可以称为临界截面，一般简称为喉部。

对于先收缩后扩大的通道，即缩放管或缩扩管，收缩通道有dA＜0，扩大通道有dA＞0，中间有dA=0的最小截面，即喉部，由式(9-73)可知:

对于dv＞0，即流速增加的情况。收缩通道有＜0;扩大通道有＞0。当气体在收缩通道流向喉部时，dA由小于0处趋近于0，Ma由小于1处趋近于1;当气体在由喉部流向扩大通道时，dA由0逐渐增大而大于0，Ma由1逐渐增大并大于1。这就是说，当亚音速的气流流过通道时，在喉道之前，气流随面积减小而速度增加，压强下降;到达喉部时，dA=0，Ma=1，速度增大成音速;过喉部后，成为超音速流动，随着通道面积增加，速度继续增加，压强继续下降。

对于dv＜0，即流速减小的情况。收缩通道有＞0;扩大通道有＜0。当气体在收缩通道流向喉部时，dA由小于0处趋近于0，Ma由大于1处趋近于1;当气体在由喉部流向扩大通道时，dA由0逐渐增大而大于0，Ma由1逐渐减小并小于1。这就是说，当超音速流动通过通道时，在喉道之前，气流随面积减小而速度下降，压强升高;在喉部时，速度降为音速;过喉部后，成为亚音速流，随着通道面积增加，速度继续减小，压强继续升高。

又对于先扩大后收缩的通道，中间有dA=0的最大截面:

当亚音速的气流流过通道时，在喉道之前，气流随面积逐渐增加，速度逐渐下降，在最大截面处不可能达到音速。

当超音速的气流流过通道时，在喉道之前，气流随面积逐渐增加，速度逐渐增加，在最大截面处也不可能达到音速。

在喉部或临界截面上的相应参数，就是临界参数。

根据式(9-69)和式(9-71)，可以整理为

由式(9-74)可以分析在扩大通道和收缩通道内所产生相应流动特性的原因。在Ma＞1的条件下，密度ρ的下降率大于速度v的上升率，因此要通过相同的流量ρvA需要更大的截面面积A，所以只有在dA＞0的扩大通道内才能使超音速流动加速;而在Ma＜1的条件下，密度ρ的下降率小于速度v的上升率，因此要通过相同的流量ρvA需要较小的截面面积A，所以只有在dA＜0的收缩通道内才能使亚音速流动加速。

总的来说，变截面通道可以按功能的不同分为喷管和扩压器。

1．喷管

喷管的作用是将高温、高压气体经降压加速转换为高速气流。

对于亚音速气流，喷管的形状为截面面积逐渐收缩，即＜0，也就是收缩喷管;

对于超音速气流，喷管的形状为截面面积逐渐扩大，即＞0，也就是扩大喷管;

图9-13　缩放喷管

2．扩压器

扩压器的作用是通过减速增压使高速气流的动能转换为气体的压强势能和内能。

对于亚音速气流，扩压器的形状为截面面积逐渐扩大，即＞0，也就是扩大管;

对于超音速气流，扩压器的形状为截面面积逐渐收缩，即＜0，也就是收缩管;

对于缩放管，当超音速气流通过时，气流减速，压强增加，在最窄处(喉道)，减为音速流动;之后继续减速，成为亚音速流动，压强继续增加。如图9-13中(a)、(c)所示。

9．5．2　喷管的工况分析

实际工程中使用的喷管有两种:一种是能获得亚音速流或音速流的收缩喷管;另一种是能获得超音速流的缩放喷管。下面将讨论这两种喷管在实际工程中应用时的特性和特点。

1．收缩喷管

为获高速气流，当气流未达到当地音速时，为使气流速度增加，喷管截面逐渐收缩，一直达到当地音速时，截面收缩到最小，如图9-14所示，这种喷管称为收缩喷管或渐缩喷管。这种喷管广泛应用于蒸汽或燃气轮机、校正风洞(或叶栅风洞)、引射器以及涡轮喷气发动机等动力装置和实验装置中。

图9-14　收缩喷管及变工况分析图

(1)出口截面的流速和流量。

如图9-14(a)所示为收缩喷管，该喷管连通两个具有不同压强的空间，气体是由左边的容器经过收缩喷管流出。由于收缩喷管进口处容器的容量很大，可以近似把容器中的速度看做为零，则容器中的气体处于滞止状态，其参数为p0、ρ0、T0等;喷管出口截面上的气流参数为v1、p1、ρ1、T1等;喷管出口后的压强为pb，也称为环境背压。流动可以认为是一维定常等熵流动，不考虑流动中的损失。若已知喷管截面的变化规律以及滞止状态参数p0、ρ0、T0和环境背压pb，则由前面给出的公式，可以确定整个喷管各截面上的各种物理量。图9-14(b)和图9-14(c)中的曲线，表示在不同的环境背压条件下，喷管内压强和马赫数的分布曲线。

从图9-14(b)可见，如果pb=p0，则喷管中压强均相等，即图中的曲线1，此时喷管内无流体流动。如果环境背压下降，即pb＜p0，则喷管内有流体以一定的流量通过。由一维定常等熵流动的能量方程、等熵过程关系式和状态方程可得喷管出口截面的速度

由喷管出口截面的速度式(9-75)可见，对于给定的气体，在收缩喷管出口气流未达到临界状态之前，进入通道的气流的总温T0越高，或者出口气流的压强对滞止压强比越小，则出口气流的速度v1越高。由前面气流速度与通道截面的分析可知，收缩喷管出口气流的最高速度为当地音速，即出口气流可以处于临界状态。

还可以求得通过喷管的质量流量

可见，Q是p1的连续函数，并且当p1=0和p1=p0时，Q都等于零。即在0＜p1＜p0的范围内Q必有极值，即有最大值Qmax。通过对式(9-76)求导，求其极值，即流量的最大值Qmax为

从上述推导可见，对于给定的气体，当流量取得最大值时，也是气体处于临界状态。收缩喷管出口的临界速度决定于进口气流的滞止参数，经过喷管的最大流量决定于进口气流的滞止参数和出口截面积。

(2)变工况下的流动分析。

喷管能在设计工况下工作是最理想的状况，然而并不是总能实现的。因为，喷管进口的总压或喷管出口的环境背压是会不断发生变化的，这时喷管将在变动的工况下工作。下面将讨论常见的环境背压变化引起的喷管变工况流动。

首先讨论喷管出口气流压强p1与环境背压pb的关系。由本章§9．2可知，压强的变化所产生的微弱扰动是以当地音速传播的，如果气流速度小于音速，这个微弱扰动可以逆流向上游传播。当喷管出口的气流速度为亚音速时，由环境背压变化所产生扰动的传播速度将大于气流速度，背压所引起的扰动可以逆流向上游传播。也就是使得喷管出口的气流压强随环境背压的变化而变化，始终与环境背压保持相等p1=pb，并影响管内压强等参数的分布，如图9-14(b)所示的曲线2、3、4。这种情况一直保持到临界状态。当喷管出口气流处于临界状态时(曲线5)，有p1=pb=pcr，v1cr=ccr。如果pb再降低(如图7-14中的(3))，由于环境背压变化所产生扰动的传播速度还是等于出口气流的临界速度，环境背压的扰动已不能逆流上传，喷管出口气流压强保持p1=pcr，而不受环境背压pb的影响。

①，为亚临界流动。这时喷管内的流动都是亚音速，即

Ma(M*)＜1，p1=pb

随着pb的降低，p1也降低，由式(9-75)和式(9-76)，v1(Ma1)和Q将增加和增大，气体在喷管内得到完全膨胀。其参数状态如图9-14(b)、图9-14(c)、图9-14(d)中(1)所示。

②，为临界流动。这时喷管内为亚音速流，但出口截面的气流达到临界状态。即

环境背压与出口压强相等并等于临界压强，出口气流的速度和喷管的流量达到最大，气体在喷管内仍可得到完全膨胀。其参数状态如图9-14(b)、(c)、(d)中(2)所示。

③，为超临界流动。这时整个喷管的气体流动与临界流动完全一样，即

其参数状态如图9-14(b)、(c)、(d)中(3)所示。由于出口的气流压强高于环境背压，气体在喷管内没有完全膨胀，故称为膨胀不足，气体流出喷管后将继续膨胀。这时尽管环境背压pb低于临界压强pcr并继续降低，但喷管的出口气流速度和喷管的流量没有增加，还是保持临界流动时的大小。这就是说，流动已经壅塞了。产生的壅塞现象就是由于管道内出现了限制流量的音速截面，该截面流量已达到最大值，更大的流量无论如何也通不过，流动便壅塞了。

2．缩放喷管

缩放喷管可以使气流从亚音速流加速到超音速流。这种超音速喷管广泛应用于高参数蒸汽机或燃气涡轮机、超音速风洞、引射器以及喷气式飞机和火箭等动力装置和试验装置中。

缩放喷管收缩部分的作用与收缩喷管完全一样，即在喷管的收缩部分，气流膨胀到最小截面处达到临界音速。然后气流在扩大部分继续膨胀，加速到超音速。如图9-15(a)所示，为一缩放喷管，该喷管连通两个具有不同压强的空间，假定喷管左边进口处气体的速度为零、状态为滞止，其参数为p0、ρ0、T0等;喷管出口截面上的气流参数为ve、pe、ρe、Te等;喷管右边出口外部的环境背压为pb，并且p0＞pb。在两端的压差作用下，气体在通道内流动。由于环境背压的变化，缩放喷管的出口将呈现不同的流动状态，图9-15中的各种参数曲线，表示在不同的环境背压条件下缩放喷管内外的流动状况。

3．变工况流动分析

一般来说缩放喷管的尺寸是根据气流在某种压强比下可以正常膨胀的设计工况下确定的。但在实际工程中，喷管并不都是在设计工况下工作的，因为喷管出口的环境背压是在不断变化的，出口的压强比也随之变化，喷管内气流的流动情况也将随之改变。按照收缩喷管的讨论方式，下面将讨论由常见的环境背压变化引起的缩放喷管变工况流动。

根据缩放喷管的变工况流动状况，共有七种流动工况。其中三种为典型流动工况，理论上可以得到计算这时的出口处环境背压应具有的压强比;另外四种流动工况为介入这三种典型工况之间的工况，其环境背压是在这三种压强比之间。

(1)气流在喷管中作正常完全膨胀(见图9-15中工况(2))。

这是一种最理想的流动工况，即为设计工况。在这种设计工况中，喷管出口外的环境背压正好等于出口截面处的气流压强，即pb=p1。这时出口截面的压强比可以由式(9-37)得到，这是第一种划界的压强比。由图9-15(b)、(c)中的abc至(2)所示的喷管沿程的气流压强比和马赫数Ma的变化曲线，可见喷管沿程气流作正常膨胀流动状态。喷管出口截面和喉部的压强比以及流量比由图9-15(d)、(e)、(f)中的点2所示。

(2)气流在喷管中作正常膨胀、但在出口截面产生正激波(见图9-15中工况(4))。

这是一种喷管出口外环境背压大于气流在喷管中作正常膨胀所产生的出口截面处压强p1的典型工况。从前面的变截面通道和激波的讨论中已知，在喷管中作正常膨胀加速的气流，在到达出口截面时，就已经成为压强为p1的超音速气流。然而，因为喷管出口外环境背压较高，将迫使气流在出口截面处产生正激波，压强由波前的p1跃升为波后的p2，以适应高背压的环境条件。这时，喷管内的气流通过出口截面处的激波，由波前超音速流变为波后亚音速流顺利地流出。这时可以由式(9-37)、式(9-60)求得激波后应具有的压强p2和滞止压强p0的压强比。这是一种可能遇到的非设计工况中的流动状态，这时喷管出口外的环境背压恰好等于p2，即pb=p2，这种状态的可以作为第二种划界的压强比。由图9-15(b)、(c)中的abcd至(4)所示的喷管沿程的气流压强比和马赫数Ma的变化曲线，可见喷管沿程气流作正常膨胀流动状态，但出口截面处出现激波。

图9-15　缩放喷管及变工况分析图

(3)喷管中的气流恰在喉部达到音速、除喉部以外全为亚音速流动(见图9-15中工况(6))。

这是一种喷管出口外环境背压大于气流在喷管出口截面处所产生的激波后压强p2的典型工况。这时由于环境背压较高，将原在喷管出口截面处所产生的激波上压，一直压到喉部，产生一种退化的激波——音速波，即气流在喷管前半部分为亚音速加速流，在喉部达到音速，向下游离开喉部后，气流为亚音速增压减速流，以适应高环境背压情况。设产生这种流动工况的喷管出口截面处的压强为p3，并且恰好等于喷管出口截面的环境背压pn，即pb=p3＞p2。

上述三种流动的压强比代表着三种可能的流动状态，这时喷管出口外的环境背压正好与这三个压强相等，这三种流动可以作为三种典型的流动工况，即图9-15中(2)、(4)、(6)所示的三种工况。还可以以这三个压强比为界，把缩放喷管中气流的变工况流动划分为四个区段，它们代表着四种类型的流动状态或流动工况。

(1)0＜，环境背压pb低于设计工况下出口截面压强p1的流动工况(见图9-15中工况(1))。

气流在喷管内作正常的加速降压膨胀，图9-15(b)、(c)中的abc至(1)所示的喷管沿程的气流压强比和马赫数Ma的变化曲线就反映了这一点。但由于环境背压pb低于气流在喷管出口截面的压强p1，使得超音速气流流出喷管后，以膨胀波的形式在出口外继续膨胀，图9-15(b)中c至(1)的波折线和喷管出口外的交叉虚线表示了这一点。这种现象称为膨胀不足。由于微弱扰动不能在超音速流中逆流向上游传播，那么低环境背压使气流膨胀的这种连续微弱扰动不会影响喷管内的气体流动，由图9-15(d)、(e)、(f)中的点1所示的喷管出口截面和喉部的压强比以及流量比的关系可见。

(2)，环境背压pb高于设计工况下出口截面压强p1、低于在出口截面上产生正激波时压强p2的流动工况(见图9-15中工况(3))。

气流在喷管内仍作正常的加速降压膨胀，从图9-15(b)、(c)中的abc至(3)所示的喷管沿程的气流压强比和马赫数Ma的变化曲线可见。由于气流在喷管出口截面的压强p1低于环境背压pb，音速气流流出喷管后，将受到较高环境背压的压缩，在喷管出口外形成系列激波。激波的强度和形式由压强比来决定，当环境背压pb比p1大得不多时，在喷管出口外只产生弱的斜激波;当环境背压pb逐渐增大时，压强比也加大，所产生的激波也不断加强，逐渐由弱的斜激波发展为近似正激波，激波发生的位置也逐渐向出口截面靠拢;当环境背压pb等于第二划界压强p2时，激波则发展成喷管出口截面处的正激波。如图9-15(b)中(3)所示。对于从喷管流出的气流经过激波，使压强跃升，并适应高背压的环境条件的现象称为膨胀过度。这种在喷管出口外产生系列激波的情况，并不影响在管内的气流流动，由图9-15(d)、(e)、(f)中的点3所示的喷管出口截面和喉部的压强比以及流量比的关系可见。

(3)，环境背压pb高于在出口截面上产生正激波时压强p2、低于在喉部形成音速(或在喉部产生退化的激波)时压强p3的流动工况(见图9-15中工况(5))。

从正激波产生过程的讨论可知，激波发生的位置恰好是激波波前气流速度v1等于激波传播速度vs的位置。对于第二划界压强流动工况，环境背压pb等于第二划界压强p2时，喷管出口截面处将产生激波，这时激波传播速度vs等于喷管出口截面上的气流速度v1，即vs=v1。

当环境背压pb大于在喷管出口截面处产生激波的压强p2时，由激波传播速度公式可见，激波传播速度vs将大于喷管出口截面上的气流速度v1，激波将在喷管内向上游移动。这是因为，激波前后压强比由波前马赫数确定，随着激波在管内向上游移动，波前马赫数将减小也将减小，激波传播速度vs也随之减少。这样当激波移动到某一截面Ax，激波传播速度vs与该截面上的气流速度vs相等时，激波则稳定在该截面Ax上。这时，气流经过激波由超音速流降为亚音速流，压强得到跃升，以及激波后的亚音速流在扩大段继续减速增压以达到与喷管出口截面的环境背压相匹配。可见，环境背压越高，激波后的亚音速流在扩大段减速增压的距离越长将越小，激波将越靠近喉部，激波也越弱。当环境背压提高到第三划界压强p3时，喷管内激波恰好移动到喉部，等于1，激波退化为音速流，音速流前为亚音速增速减压，音速流后为亚音速减速增压。

这是一种在喷管的扩张段出现正激波的流动工况。图9-15(b)、(c)中的abefg至(5)的变化曲线给出了这种工况时，喷管中沿程的气流压强比和马赫数的变化规律。从该图(b)中可见，气流在收缩段按曲线abe增速减压，过喉部后在扩大段某截面，经激波由e跃变至f，再按曲线fg减速增压直至喷管出口。由于喷管出口为亚音速流，根据亚音速微弱传播原理，喷管出口截面压强就等于环境背压。这种工况的喷管出口截面和喉部的压强比以及流量比如图9-15(d)、(e)、(f)中的点5所示。

(4)=1，环境背压pb高于在喉部形成音速(或在喉部产生退化的激波)时压强p3、低于滞止压强p0的流动工况(见图9-15中工况(7))。

这时气流在喉部也达不到音速，喷管内全部都是亚音速流，可以产生超音速流的缩放喷管完全退变为文丘里管。这时气流在出口截面处的压强完全等于环境背压，出口截面的气流速度不再与面积比相关，而与压强比相关。即环境背压pb的升高和降低，速度将减小或增加。若环境背压pb进一步增大，达到pb=p0，则喷管内气体便不再流动了。这种流动工况中喷管沿程的压强比、马赫数如图9-15(b)、(c)中的aij至(7)所示，喷管出口截面和喉部的压强比以及流量比如图9-15(d)、(e)、(f)中的点7所示。