近代数学时期（公元世纪初至世纪末）

中世纪时期由于欧洲没有强有力的政权来统治以及长时间的封建割据带来的频繁的战争，欧洲的科技和生产力发展比较缓慢，数学也同样处于停滞状态。中世纪末期随着奥斯曼帝国不断地侵略东罗马帝国，东罗马帝国在逃难的同时将大量的古希腊、古罗马的文化典籍和艺术珍品带到了意大利商业发达的城市，古希腊数学也被带到了这里，随着文艺复兴在整个意大利的复兴和传播，数学也迎来了新一轮的发展高峰，并引领世界数学的发展。

15世纪缪勒的《三角全书》是对欧洲人关于平面和球面三角学的成果的一次整体的阐述。16世纪塔塔利亚凭借着自学和顽强的毅力在数学上取得了很大的成就，发现三次方程的代数解法，接受了负数并使用了虚数。他还培养了许多的学术，这些学术在数学和力学方面继承并发扬了塔塔利亚的理论，使之在意大利乃至整个欧洲产生了广泛影响。16世纪最伟大的数学家是弗朗索瓦·韦达（Franois Viete，1540—1603），韦达引入了一套规则——在代数方程中，使用元音字母代表变化量，用辅音字母来代表方程中的系数。他将运算符号化，使代数成为了一个系统的学科，著名的著作是《分析方法入门》。他还是第一个用无限运算来给出一个精确表达式的人。约翰·纳皮尔（John Napier，1550—1617年）是苏格兰的一个业余数学家，他发表了世界上第一张对数表，这简化了计算的过程，并发明了纳皮尔算筹，这成为了广受欢迎的提高大数乘法运算效率的工具。到这个时候初等数学的主体部分（算术、代数和几何）已经全部形成并发展成熟，这为近代数学奠定了坚实的基础。

近代数学的起点是勒奈·笛卡儿（Rene Descartes，1596—1650年）［4］。笛卡儿的重要著作《方法谈》及其附录《几何学》于1637年发表。它引入了运动着的一点的坐标的概念，引入了变量和函数的概念。由于有了坐标，平面曲线与二元方程之间建立起了联系，由此产生了一门用代数方法研究几何学的新学科——解析几何学。这是数学的一个转折点，也是变量数学发展的第一个决定性步骤。恩格斯对此给予很高的评价:“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生，并且是由牛顿和莱布尼茨大体上完成的，但不是由他们发明的。”解析几何的另外一个创始人是皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat），他的很多重要的思想都是在自己与其他的科学家的大量信件中提出的，他推动了解析几何基本概念的发展。

17世纪，这时微积分也被建立起来，最重要的工作是由艾萨克·牛顿爵士（Sir Isaac Newton，1642—1727年）和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716年）各自独立完成，他们认识到微分和积分实际上是一对逆运算，从而给出了微积分学基本定理，即牛顿－莱布尼茨公式。微积分是现代数学所必需的数学工具，它的应用遍布于现代科学的两大支柱:相对论和量子力学。除了解析几何和微积分被确立起来以外，概率论、射影几何和数论等也快速发展起来，这对很多其他领域的发展产生了重要的影响。概率论主要起源于掷骰子这种赌博游戏，意大利数学家卡尔达诺（1501—1576年）潜心研究赌博不输的方法，出版了一本《赌博之书》，书中卡尔达诺对“分赌注问题”给出了正确的思路，但仍然没有给出正确的答案。时间又过去了一个世纪，在1651年，法国大贵族德·梅勒（de Mere，1607—1684年）把这个问题寄给了当时的著名数学家帕斯卡，从此概率论历史上一个决定性的阶段开始了。这个问题把帕斯卡难住了，他冥思苦想了3年才悟出了满意的解法。他于1654年7月29日将这个问题连同解答寄给了法国大数学家费马（1601—1665年）。不久，费马在回信中给出另一种解法。他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。随后荷兰科学家惠更斯获悉这些事情后，回荷兰后独自研究这件事。在1657年，他将自己的研究成果写入专著《论掷骰子游戏中的计算》，这本书首次引入了数学期望的概念，被认为是概率论最早的论著。至此，延续了一个半世纪的“分赌注问题”终于得到了圆满的解决。随着这本书的问世，数学的一个新分支——概率论诞生了。帕斯卡、费马和惠更斯被认为是概率论的创立者［4］。

18世纪是数学蓬勃发展的时期。以微积分为基础发展出一门宽广的数学领域——数学分析（包括无穷级数论、微分方程、微分几何、变分法等学科），它后来成为数学发展的一个主流。数学方法也发生了完全的转变，主要是欧拉、拉格朗日（Lagrange，1736—1813年）和拉普拉斯（Laplace，1749—1827年）完成了从几何方法向解析方法的转变。这个世纪数学发展的动力，除了来自物质生产之外，还直接来自于物理学，特别是来自力学、天文学的需要。

19世纪是数学发展史上的一个伟大转折，它突出地表现在两个方面。一方面是近代数学的主体部分发展成熟了，经过一个多世纪数学家们的努力，它的三个组成部分取得了极为重要的成就:微积分发展成为数学分析，方程论发展成为高等代数，解析几何发展成为高等几何，这就为近代数学向现代数学转变创造了充分的条件。另一方面，近代数学的基本思想和基本概念，在这一时期中发生了根本的变化:在分析学中，傅里叶（J．Fourier，1768—1830年）级数论的产生和建立，使得函数概念有了重大突破；在代数学中，伽罗瓦（E．Galois，1811—1832年）群论的产生，使得代数运算的概念发生了重大的突破；在几何学中，非欧几何的诞生在空间概念方面发生了重大突破。这三项突破促使近代数学迅速向现代数学转变。19世纪还有一个独特的贡献，就是数学基础的研究形成了三个理论:实数理论、集合论和数理逻辑。这三个理论的建立为即将到来的现代数学的发展奠定了更为深厚的基础。