欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。欧氏几何讲 “过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。罗氏几何讲 “过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。那么是否存在这样的几何 “过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？黎曼几何就回答了这个问题。
黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在1854年发表的一篇论文 《关于几何基础中的假设》中明确地提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点 （交点）。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当 “改进”的球面。近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的时间和空间的几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空平直性的观念，他认为时空只是在充分小的邻域里可以利用平直观念近似处理，但是整个时空却是弯曲的。在物理学中的这种解释，恰恰符合了黎曼几何的观念。
此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础，也应用在偏微分方程、变分法和复变函数论等方面。
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此这三种几何都是正确的。在我们日常生活中的宏观世界的局部范围，欧式几何是适用的；在微观世界的原子核结构中，人们认为或许罗氏几何更表述强相互作用；在作为行星看待的地球表面研究航海、航空特别是人造卫星等实际问题中，及大尺度的宇宙空间，黎曼几何更准确地表述目前天文学所观测到的结果。这三类时空结构都可以统一用黎曼度规张量加以表述，其差异最后是通过曲率标量加以区别。对于欧氏空间它具有零曲率，对于罗氏空间曲率为负，而对于黎曼空间其曲率为正。
黎曼几何就是在球面上的几何
上述的三种几何通过四次形式表述的芬斯勒几何将其统一在同一结构中。黎曼在1854年的文章中，就曾指出：“ds等于一个处处为正的dx的二次齐次函数的平方根，并且系数是x的连续函数。……其次简单的情形可能是ds能用四次微分形式的四次方根表达的流形。对这个比较一般的情形的研究实际上并不要求本质上不同的方法，但这样的研究比较费时间并对空间没有增加新的认识。”
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