理性与概率

作为一种系统的数学研究，概率论肇始的标志是1654年两位法国数学家帕斯卡尔（Blaise Pascal，1623—1662）和费马（Pierre de Fermat，1601—1665）围绕着对赌博中一个点问题的探讨而展开的通信。所谓“点问题”是指当游戏在完成前被终止时，怎样处理两名技能相当的游戏者的赌金分配问题。例如，假设甲乙两个赌博者每人出32个比索的赌注，两人各自选取一个点数，谁选择的点数首先被掷出3次，谁就赢得全部的赌注——64个比索。在游戏进行到甲选择的点数出现了2次，乙选择的点数出现一次的时候，游戏不得不停止，他们该如何分配64个比索的赌注呢？

帕斯卡尔和费马对此给出了各自的解答，帕斯卡尔认为不管游戏的结果怎样，甲至少应得总数的二分之一，即32个比索。所以，不确定的期望只涉及另一半，此时，甲还有百分之五十的可能赢得另一半，所以，公平的分配应是甲分得自己的期望：1·32＋1/2·32＝48（比索），乙应得16比索（不确定的32的一半）。在这个问题的解法中，帕斯卡尔分析的中心点不是概率及其计算，而是两个赌博者的期望和公平。

帕斯卡尔和费马的信件直到1669年才出版，第一本关于概率理论的出版著作是由荷兰的物理学家惠更斯（Christian Huggens，1629—1695）于1657年出版的名为《论赌博中的推理》，在这本小册子中，惠更斯明确地提出了一个概念：在赌博中获胜的“运气的值”，这实际上就是以后所称的“数学期望”，他说：“我以这个假设开始：在游戏中必须赢的概率有一个值，如果你拥有了这个值，在一个平等的游戏中你就可以获得同样的机会，那就意味着在这个游戏中对所有的人都是公平的。”显然，对于惠更斯来说，一个公平的游戏就是每一个参加者都具有相等期望的游戏，游戏不能对花代价进入风险的任何人不利。如果游戏是公平的，参加者必须情愿地交换他们的期望。惠更斯给出的其他一系列的证明也是建立在对一个公平的合同的直觉理解上的。现在概率论中用概率的术语来定义期望，而惠更斯则隐含地从期望导出概率。因为游戏被假定是公平的，所以概率是相等的。“关于期望推理的现代顺序被颠覆了：并非因为对所有参加者概率是相等的，游戏就是公平的，而是因为假设游戏是公平的——因为参加者的条件是没有差别的，就像由他们情愿交换条件所显示的那样。”^[23]

所以，尽管由帕斯卡尔、惠更斯等人所启动的这门新知识被称作为概率的演算，但是严格来讲，他们提出的是期望的演算，而并非概率的演算。数学概率最早的表述以及由其实践者所提出的问题几乎都是借用期望的术语来表达的，或者至少可以被理解为平等的期望的术语。为什么帕斯卡尔、惠更斯等第一代的概率学家们选择了期望而不是概率作为他们理论的基础？这种对于期望的重视源自他们那个时代的法律和经济的影响。16、17世纪西欧的商业气氛的日渐浓厚，于是法律和宗教界展开了关于是否应将商业中的冒险从宗教禁律中免除，以便应合关于赌博和高利贷的讨论。这种讨论使得人们将焦点聚集在与运气有关的一些合同公平上，这种合同涉及游戏、年金、联合投机险等具有风险的事宜，合同的公平依赖一种不确定的未来前景。这个议题早期发展的大部分内容都关涉到期望，这是关于未来收获价值的一个数字，而不是概率本身。

早在罗马时期，投机性合同（aleatory contract），即涉及不确定性因素的所有协议，就被纳入罗马教规的体系中，成为法律合同的一个被认可的分支。这种形式的合同吸引了16、17世纪以来一些重商主义的辩护士们。根据格劳修斯（Hugo Grotius，1583—1645）、托马斯·霍布斯（Thomas Hobbes，1588—1679）、赛缪尔·普芬道夫（Samuel von Pufendorf，1632—1694）、洛克（John Locke，1632—1704）等人的论证，那些参与到巨大风险中的人理所当然地拥有一定的利润，这就是在贸易中为人所知的“风险的价格”。但是，并没有固定的数学法则可以把风险转化成补偿。由于缺乏某种共识或者数学的法则，亦缺乏可靠的、完善的统计学，法官、商人和神学家们在谈判中反复地争论类似如下的一些问题：“考虑到不确定性，怎样才能做到得以偿失？”等，在对于这样一些问题以及其他问题（如彩票、赌博等）的探讨中，合同法最关心的是如何规定这些投机性合同的所有参与者之间的条件平等。格劳秀斯认为，合同“旨在促进人类之间的利益交流”，因此公平的合同也就意味着条件的平等。这样，焦点就集中在保证期望公平上：如果一个契约中的所有合伙者或者参加者对于结果拥有平等的期望，那么这项事业就是公平的。所以，正是相等的期望，而不是赢输的概率保障了一个契约是公平的，从而也使得风险计算成为一个可操作的法则。正如法国法学家多马（Jean Domat，1625—1695）所说：“在赋予平等的条件之下，人们共同拥有事件的不确定性和相同的权力，这种状况也使他们的契约公正平等。”

赌博游戏也属于投机性合同所涉及的事宜，激发帕斯卡和费马通信的点问题就是法律期望的一个典型的问题：怎样公平地分配一场未完成的赌博的赌注。上面所引用的惠更斯对期望的定义是用一种公平交易或合同的术语而表达的；“在一个公正和平等的游戏中”，相等的期望是那些能够与另一方相互交换的东西。

因此，早期的概率期望承袭了当时常用术语“期望”的两种不同的定性的含义^[24]，一是人们对于法律中公正的期望，另一种是源于经济学中的公平获利的思考。这两种关于期望的视角——法律的和经济的，一个与公平有关，而另一个与利益有关，两者铸造了尚未成熟的概率的早期数学理论。从1654年概率论最早形成直到1814年拉普拉斯的《概率的哲学探究》的出版，法律的平等和经济的谨慎在不同的方向上推动了数学概率中的概念的发展，使得期望成为这个学科早期发展中的一个中心概念，而期望的这两重含义也使得它成为将数学概率与社会科学连接起来的桥梁，并将概率论与理性和道德科学的启蒙思想联系在一起。

启蒙思想的重要特征之一就是认定“理性”是人的本质，并且坚信人类的历史就是理性不断启蒙和理智力量自我发展、人性逐渐走向完善的历史。这种思想深深地扎根在17、18世纪间在欧洲广泛传播的理性主义精神氛围之中。理性主义者认为人的推理可以作为知识来源的理论基础，这种观点是随着笛卡儿的理论而产生和传播的，笛卡尔相信永恒真理（包括数学以及科学的认知及形而上学基础）可以单纯靠推理得到，关于物质世界的知识就可以从这些永恒的真理中推演出来，就像欧几里得的几何学那样被严格地推论出来。

然而，17世纪以来持续不断的宗教和哲学的争论带给人们这样的一种感觉：确定性是不可能的。在难以控制的不确定性的条件之下，许多人开始接受以洛克为代表的经验主义观点，即人们在生活中的实际判断不是基于确定的知识，而是基于从经验中得来的概率性的知识。“人是不能够像上帝那样从确定性的知识出发而行动的，作为堕落者，人仅仅获得了概率性的知识。人是由源自经验的概率性知识的引导而行动的。”所以，大多数的人类决定是在“昏暗的概率”中做出的，而不是在确定性的灿烂阳光中做出的。这种理解势必也蕴藏着对传统的基督教信仰的怀疑和威胁，许多思想家无意让自己的思想成为摧毁传统基督教信仰的工具，他们希望能够寻找一条怀疑论者的经验主义和笛卡儿及后继者严格的理性主义的中间道路。在这些温和主义者中，著名的是一些皇家学会的神学家们，例如，罗伯特·波义耳（Robert Boyle，1627—1691），约翰·威尔金斯（John Willkins，1614—1672）等。他们认为，如果没有启示的帮助，而只承认数学的或“形而上学的”确定性可能超越了人类智力所达到的范围。这些护教者们亦主张只有理性的信仰才是合理的——不管是对宗教的、科学的、还是其他的信仰，因为缺少了理性，日常生活将会是不可思议的。他们认为信仰是实用的和有效的，同时信仰也是精神的和冥想的。波义耳注意到尽管建立在概率知识上的道德论证不能够自称具有形而上学的，甚至较低级的物理的确定性，它们“仍然是最可靠的向导，人类的行为，即便不是深思熟虑的行为，也通常是遵循着它们的”。这是人的理性对于具有确定性的“上帝理性”的反应。在理性的这个新的定义中，一个假说的证明无须具有一个数学证明那样的完全严格性，就像欧几里得几何的一个定理。他关心的问题是确定性的一个特定等级，一种适度的宗教信仰，以使得一个理性的人会接受它，并在他或她的日常生活中依据它而行动。这样，宗教信仰的问题就不是一个严格的证明问题，而成为一个充分见证的问题了。用波义耳的话说就是：“一定程度的证据可以合理地认为是充分的，以使得基督教的思想适于被人们接受。”根据这个实用主义的标准，即使最坚定的怀疑论者都暂停了他们的怀疑^[25]。

护教者们把日常生活的这个“实用的理性”作为所有信念的标准：我们必须相信所有充分可能的事物，不管它是万有引力定律、上帝的存在、还是税赋的永恒性，唯有如此，才能激励理性的人在其日常的事务进程中采取行动。“可能的”一词对于护教者们意味着“最高的期望”。它的真正重要性在于它为将概率论延伸到道德科学的其他应用提供了一个框架。波义耳等人认为人们在生活的每一方面，从商业到宗教，最理性的做法就是将自己的期望最大化，不管是判断上帝的存在，还是断定航行至东印度群岛成功的实际概率，都必须依据可能的得失的量而断定。波义耳宣称的“谨慎支配”认可了根据期望进行的推理：所有理性的人都会同意：为了拯救生命牺牲一条被坏蛆感染的肢体、当感染天花或其他致命的疾病时要求助于一个未经证实的治疗方法、为了一个巨大的收益前景投资一个有风险的商业冒险，这些或许是最明智的选择^[26]。

所以，正是期望成为概率学者将概率论与当时的道德科学连接起来的桥梁。对于18世纪的实践者，对于由道德科学所探求的理性的个体的思维过程的分析，古典概率论看起来是唯一合适的数学工具。通过将引导那些具有理性的精英行为的一些法则编撰成典，概率学者希望这些精英的理性法则为所有人所接受。而当被理解为工具的数学结果与这些理性的判断相矛盾时，数学家们就用启蒙的观念转而去尝试重新安排数学的结果。概率学者认为数学的理论只有描述理性并使之系统化，而不是控制和支配理性。“理性人”的判断和推理成为所有理性信仰和行为的度量标准。

就这样，概率演算与公众的理性和判断力联系在一起。拉普拉斯在《概率的哲学探究》中总结道：“概率，归根结底就是将理性的判断划归为一个计算；它使我们感激精确性，即通过某种本能感受到的这种精确性的思想，但又总是不能说出这种精确性的原因。”^[27]所以，早期概率论的历史是启蒙思想实践的一部分，这种实践试图把人类相互作用的所有领域都纳入到理性（数学的）法则之下，一般地，他们调整对数学的理解以便与理性判断（good sense）持续变化的定义相适应，并且应用理性人的标准作为决策制定的一个标准。当数学结果与理性的判断，尤其是与理性的理解相抵触时，18世纪的概率学者们就急切地重新检验他们的前提和证明，不断地对期望的定义与有关的理论进行修订和调整，以使之在法律、经济或者心理学中的应用更有效。一旦概率不仅可以描述而且也可以将理性推理系统化这个理想得以实现，那么，这些结果能够超越受过良好教育的人群，即理性人，而推广至更广泛的人群，从而获得人们在道德、经济、法律等所有领域中有教育价值的社会共识。