计算与实验

第五节　计算与实验

计算是数学中的一种主要的操作活动。对于什么是计算，维特根斯坦作过一个简明的概括：“计算所包含的意思是：所有正确地进行计算的人都会得出相同的计算图式。‘正确的计算’并不意味着：计算是一种在神志清楚或者不受干扰的情况下进行的计算，而是如此这般地计数。”（v.7，p.314，§31）有些人认为，计算是一种这样的活动：我们以这种或那种方式对一个人作出某种规定，我们通过提出问题向他施加影响，获得一个数学符号；我们把这个数学符号应用于我们的目的，它被证明是实际的。在维特根斯坦看来，这种看法是不恰当的，这样的活动可能是一种非常方便的程序，然而它不是我们称之为“计算”的那种东西。正如人们可以设想，为了我们的语言为之服务的那个目的而发出一种声音，可是这种声音却没有形成任何语言。

维特根斯坦强调计算是一种实际地进行的活动，是一种实验活动。设想某些能够计数的人为了各种不同的目的而希望知道某些数，他们为此而向另一些已知道这个实际问题的人询问，这些人闭着眼睛想出一个与此目的相适应的数字。维特根斯坦指出：“不论这样说出的数字多么值得信赖，这里却没有计算。”（v.7，p.293，§17）这就是说，计算是一种实际地进行的活动，不论是笔算、口算、心算以及用计算器进行计算，都是一种实际的活动。

维特根斯坦把计算看做一种实验，对于计算与实验的关系，他举出一些事例加以说明。例如，当我把一个圆分成几个相等的部分，并用度量器确定其中一个部分的余弦，此时这种活动既可以说是计算，也可以说是实验。又如，一个学生做一道乘法题，他起初不知道会得出什么结果，而一旦把乘法做完，他就知道会得出什么结果。这种做乘法的计算也可以说是一种实验。他说：“‘计算是一种实验。’——计算可以是实验。教师让学生做计算，以便看看他是否会计算；这是一种实验。”（v.7，p.138，§67）人们经常说计算是一种实验，以便以此表明计算可能是多么实际。因为，人们从实验中知道计算确实具有实际的价值。维特根斯坦赞同这样的看法，他说：“实验是实际的，他知道这一点；因此，计算是一种实验。”（v.7，p.292，§17）

不过，维特根斯坦还指出计算与实验也有不同之处。例如，我们的实验活动的确具有一种颇有特色的外貌；当我看见某个人在实验室把一种液体放入试管里，在煤气火焰上加热，我就倾向于说他在做一种实验，而计算活动显然不具有这样的外貌。根据这种区别，人们可以说，计算也许是实验技术的一部分，但它本身不是实验。他则认为：“人们是否忘记了对程序的某种应用是实验的一部分?而这种应用要借助于计算。”（v.7，p.293，§17）如果说我对别人的计算进行核算，那么这种核算是不是一种实验呢?维特根斯坦认为，在这种情况下，我做另一种实验，以便十分正确地弄清楚是否所有正常的人都是如此反应。

在维特根斯坦看来，计算之所以是一种实验，是因为只有通过实验才能把事实描绘出来。他说：“如果计算必定是实际的，它就必然把事实揭示出来，而只有实验才能做到这一点。”（v.7，p.294，§18）可是，什么是“事实”呢?你是否相信你能够说明事实意味着什么，例如，用手指把事实指出来?对于这个问题，他没有作正面回答，但举了一个关于声调的例子。如果能知道这种声调作了多少次振动，那是很有意思的，可是只有算术才能教会你回答这个问题，教会你去看这一类事实。

有人认为，计算毕竟要依赖于经验事实。维特根斯坦承认这一点，但他反问：这里所说的“经验事实”究竟是指那些使计算成为可能的心理事实和生理事实，还是指那些使计算成为有用的活动的东西?计算与这些东西的联系在于，计算是一种实验的象征。他强调“在计算中，没有任何因果联系。当我们对证明图形进行核实以便加以认可时，计算不会因此而发生变化。因此，我们倾向于说，我们认为计算是通过心理实验形成的”。（v.7，p.295，§18）

有时，维特根斯坦进一步把数学这门学科与实验联系起来考察，“仿佛数学在这里是一门用单位进行实验的科学；这些实验不取决于它们采取什么种类的单位，例如不取决于这些单位究竟是斑点、玻璃球还是笔画等等。数学仅仅寻找某种对所有这些东西都适合的东西。因此，譬如说，它不涉及这些东西的熔点，而涉及它们之中2个加上2个便得出4个”（v.7，pp.297-298，§20）。他承认，从外表上说，数学这种实验不同于物理实验或者化学实验，但不必对此担心，因为这些实验属于不同的种类。数学这种实验就在于排列和移动事物、画出笔画、写出表达式等等。

【注释】

[1]C.Diamond（ed.），Wittgenstein's Lectures on the Foundations of Mathematics，1976，p.112.

[2]C.Diamond（ed.），Wittgenstein's Lectures on the Foundations of Mathematics，1976，p.22.

[3]C.Diamond（ed.），Wittgenstein's Lectures on the Foundations of Mathematics，1976，p.82.

[4]C.Diamond（ed.），Wittgenstein's Lectures on the Foundations of Mathematics，1976，p.74.

[5]C.Diamond（ed.），Wittgenstein's Lectures on the Foundations of Mathematics，1976，p.111.

[6]C.Diamond（ed.），Wittgenstein's Lectures on the Foundations of Mathematics，1976，p.113.

[7]C.Diamond（ed.），Wittgenstein's Lectures on the Foundations of Mathematics，1976，p.34.

[8]C.Diamond（ed.），Wittgenstein's Lectures on the Foundations of Mathematics，1976，p.41.

[9]C.Diamond（ed.），Wittgenstein's Lectures on the Foundations of Mathematics，1976，p.84.

[10]C.Diamond（ed.），Wittgenstein's Lectures on the Foundations of Mathematics，1976，p.244.