证明的种类

按不同的根据可以作如下的划分：

首先，根据证明的目的划分，可以分为证明某一判断的真实性和证明某一判断的虚假性两种。前者简称为“证明”（或谓之“辩护”），即我们前面所谈到的；后者则称为“反驳”。关于“反驳”，我们在下一节专门去谈。

A．演绎的证明。　演绎的证明就是以包含一般原则的论据来判明论题中关于特殊、个别事项的论断的真实性的证明。这种证明是和演绎推理相适应的。因此，他可以采用演绎推理的各种形式。这样的证明，除前面举出的几例外，又如要证明“他是用功的”，可以是“他成绩得了满分，凡成绩得满分的都是用功的，所以他是用功的”；可以是“如果他的成绩得了满分，他就是用功的，他的成绩得了满分；所以他是用功的”；也可以是“他或是用功的，他或是不用功的；他不是不用功的，所以他是用功的”；等等。这里都是以包含一般原则的论据来判明论题中关于特殊、个别事项之论断的真实性的证明，也即都是演绎的证明。

B．归纳的证明。　归纳的证明就是以包含各种特殊、个别情况的论据来判明表示一般原则的论题的真实性的证明。这种证明和归纳推理相适应。因此，它可以采用归纳推理之可以得出确然、必然结论的几种方法。这样的证明，前面曾举过一个例子。那里的论据便是三个关于个别事实的判断，而论题则是一个概括性的判断。

其次，根据证明的性质，可以分为直接证明和间接证明两种。这是证明中最主要的种类。^[8]

A．直接证明。　直接证明就是用论据的真实性，直接来判明论题的真实性的证明。前面所举关于证明的例子，除运用选言推理的一个外，都是直接证明的。

B．间接证明。　间接证明就是以证明与论题相矛盾的判断之错误来判明论题的真实性的证明。

与论题相矛盾的判断叫作反论题。间接证明就是以反论题的错误来判明论题的正确。所谓“间接”就因为论题的真实性是由反论题的错误中引申出来的。其所以可以由反论题的错误中引申出论题的正确，这是因为矛盾判断中，一真另一必假，一假另一必真。

我们在第七章第四节证明三段论第一格的两条规则，第二格的第一条规则，第三格的第一条规则时，便都是用间接证明。

分析起来，间接证明的过程大致是：先假定反论题是真的，然后根据逻辑推理从反论题中推出一系列的推断来。在这些推断中出现了和其他已知为真的判断相矛盾的判断，因而根据假言推理的否定式，反论题必然是假的。再根据矛盾关系，在两个矛盾判断中，一真则一假，一假则一真，因而得出论题的真实性。间接证明的推理过程，从逻辑结构方面分析，大致如下：

【求证】A

【证明】假设珚A成立（即非A为真）

则如果珚A，则B、C、D等（根据逻辑规则和规律，由珚A推出一系列推断B、C、D等）；

但已知C是假的；

所以，珚A是假的；（根据假言推理否定式）

所以，A是真的。（根据矛盾关系）

例如斯大林证明他说的：“人口的增长不是社会发展中决定力量。”就是这样。

先假定反论题真，即人口的增长是而且是能在社会发展过程中决定社会制度性质，决定社会面貌的主要力量为真。

如是，则有较高的人口密度的国家就必定会产生出相当于它的较高形式的社会制度。

可是，这与事实相矛盾，因为人口密度较高的国家并不总是处在社会发展的更高阶段上。例如：比利时在人口密度上高于苏联26倍，但比利时的社会制度却比苏联落后了一个历史时代。

所以，这一反论题是假的。

这也就是说，论题（斯大林的话）是真的。（根据《列宁问题》莫斯科外国文书籍出版局1949版第787—788页）

这是间接证明的一种，在逻辑上叫作归谬法，在数学中叫作反证法。

间接证明还有运用选言推理的。上举运用选言推理的一种，即是。这种间接证明是只留下选言推理的一个选言肢，而排除其余的选言肢。兹再举一例，如要证明“这个三角形是直角三角形”，可以是“三角形只有是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的三个可能；现在这个三角形既不是锐角三角形，也不是钝角三角形，所以它是直角三角形”。

间接证明的应用有一定困难。在间接证明的过程中，不得不暂时离开所讨论的论题。引用许多补充材料，致使全部证明过程复杂化。但是这种证明方法却是常常要运用的。因为在实际生活中，有时会遇到并无直接证明论题真实性的论据，或者会遇到利用间接证明可以使论证更有力、更明白的场合。

再次，根据证明的出发点，证明可以分为分析证明和综合证明两种。

应用分析证明时，我们从有待解决的问题出发，追溯其所以如此的理由。换言之，即我们从未知到已知，从论题到论据；应用综合法时，恰好相反，我们从已知的科学原理或其他已经确认的理由出发，论证所要解决的问题。换言之，即这时我们从已知到未知，从论据到论题。

如在数学中提出这样的问题：算术平均数和几何平均数之间究竟是什么关系？其解答是：“两个不相等的正数的算术平均数大于它们的几何平均数。”这个答案是否为真，可以采用这两种方法来证明：现在分别列举如下，以资比较：

分别列举如下，以资比较：

【假设】a＞0，b＞0，a≠b

【求证】

【证明】

综合证明

（1）已知（a－b）2＞0

（2）即a2－2ab＋b2＞0

（3）所以a2－2ab＋b2＋4ab＞4ab

（4）即a2＋2ab＋b2＞4ab

（5）所以a

（6）即

（7）所以a

分析证明

（1）为了证明

（2）只需

（3）即

（4）要（3）成立，只需a2＋2ab＋b2＞4ab

（5）要（4）成立，只需a2＋2ab＋b2－4ab＞0

（6）即a2－2ab＋b2＞0

（7）即（a－b）2＞0

而（7）是正确的，因此证明了

从这两种证明过程的比较中，我们看到这两种证明之间的区别：分析证明是由论题到论据，其中各步骤是否成立尚属疑问，一直到最后一步，即（7），我们才知道它们是成立的；综合证明是由论据到论题。这里我们正确地选择了真实性无可怀疑的出发点，并合乎逻辑地推演出一系列真判断，而最后一个判断就是我们要证明的论题。

在科学研究中往往采用分析证明，它比较符合人们在探求真理，解决问题时的思维过程。因为，人们总是从问题出发再进一步找寻它的理由或根据。例如：为了解释一定的事实而提出科学假设时就是这样进行的。但是，一旦研究的成果经过科学的验证，成为科学理论，我们又往往采用综合证明作为论证方法。例如教师系统地传授科学知识，往往从公理、定理、定律出发，证明某一结论是正确的。