万人行走过七桥

在波罗的海沿岸有一座美丽的城市——哥尼斯堡，即今天俄罗斯的加里宁格勒，布勒格尔河的两条支流在这里汇合，然后横贯全城流入大海。河心有个小岛，河水把城市分成了4块。于是人们在河上修建了7座各具特色的桥梁，把哥尼斯堡连成一片。

7座桥梁上，每天走过无数的行人。不知从哪一天起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，人们提出了一个看似简单的有趣的问题：谁能够一次走遍所有的7座桥，而且每座桥都只能通过1次？人们经过无数次的计算、行走试验，都没有解决这个问题。连当时博学多才的大学教授们也都一筹莫展。“七桥问题”难倒了哥尼斯堡的居民，“七桥问题”使哥尼斯堡出了名。

“七桥问题”被当时德国伟大的数学家欧拉得知后，他很感兴趣。欧拉没有到过哥尼斯堡，他也未能亲自去测试一下可行的路线。欧拉经过严格的计算，如果沿着所有的可能的路线都行走1次的话，一共要走5040次。即便是一天走1次，也需要13年多的时间才能走完。

欧拉是当时欧洲最伟大的数学家，他善于把各种稀奇古怪的问题抽象起来进行研究。

这次也不例外。欧拉只用了4天时间就把“七桥问题”抽象成一个合适的数学模型。他想：两岸的陆地和河中的小岛都是桥梁的连接点，它们的大小、形状均与问题本身无关。因此，不妨先把它们看作是4个点。7座桥是7条必经之路，它们的长短曲直也与问题本身无关。因此，不妨把这7座桥用7条线段来表示它们。

就这样，欧拉把七桥问题抽象成了一个“一笔画”问题，即如果不重复地一笔把这个图形画出来，那么就可以一次走过7座桥。怎样才能不重复地通过7座桥，变成了怎样不重复地画出那个几何图形的问题（如图4-1）。

图4-1

原来人们是要找出一条不重复的路线，欧拉以数学家的思维在想：为什么成千上万的人都失败了？也许这样的路线是根本不存在的。如果根本不存在，偏偏硬要寻找它岂不是徒劳无功吗？欧拉于是接下来进行判断：这种不重复的路线究竟存在不存在呢？由于欧拉从逆向思维的角度来考虑，因此马上抓住了事物的本质。最后，欧拉认真地考察了这个一笔图形的结构特征。他发现，凡是能用一笔画出的图形，都有这样一个特点：每当你用笔画1条线进入中间的1个点时，你还必须画1条线离开这个点；否则，整个图形就不可能用一笔画出来。也就是说，单独考察图中的任何1个点（除起点和终点外），它都应该与偶数条线相连；如果起点与终点重合，那么，连这个点也应该与偶数线相连。而在七桥问题的图形中，A、B、C 3个点分别与3条线相连，D点与5条线相连，连线均为奇数条。因此欧拉断定：一笔画出这个图形是根本不可能的。也就是说，不重复地通过7座桥的路线是根本不存在的。

这样一个既有趣又难解决的问题，被欧拉用数学模型法解决了。不要认为这个七桥问题的答案是否定的就认为它毫无意义，这里面包含着一个近现代数学的观念：4个点的位置可以任意变化，但这4点之间的连线的相关位置一定也没有变化。欧拉开创的七桥问题的研究，后来被正式命名为“拓扑学”。欧拉是拓扑学研究的先驱。

通过欧拉成功地解决七桥问题，我们可以认识到数学模型法的妙用。