自回归条件期间模型

根据期间持续的条件密度能够很方便地确定ACD模型的形式。令xi＝ti－ti－1是两个事件发生时间之间的间隔，称之为持续期间，xi的密度依赖于过去的x。令ψi为第i个期间持续的期望：

ACD模型中包含有（9-1）式中的参数以及假定：

～i.i.d并且E（εi）＝μ，VAR（εi）＝σ，很自然地，这个模型被称为自回归条件期间（autoregressive conditional duration，即ACD）模型，因为模型中期间持续的条件期望以过去的期间持续为基础。从（9-1）式、（9-2）式可以得到ACD模型的许多不同的具体形式，它们因期间持续的期望和ε分布的不同而略有不同。为得到条件密度的一般表达式，令p0为ε的密度函数，s0为其生存函数，然后定义：

为基本风险函数，这样ACD模型的条件密度可以表达为：

这样过去的事件能够通过多重的效果和基本风险函数的转换影响条件密度函数。最简单的ACD模型假设期间持续服从条件指数分布，这样基本风险函数是1，条件密度是：

一个m维记忆的条件密度函数意味着只有最近的m个期间持续能够影响到条件期间持续，因此可能的形式是：

一个更一般的模型是：

这个模型被称为ACD（m，q），m和q指的都是滞后的阶数。这个模型应用起来很方便，它可以根据期望计算不同的矩而不用管基本风险函数的形式。如：xi的条件均值是ψi条件期间持续，而非条件的均值是：

可以对公式两边同时做期望得到。最简单并且也是经常应用的模型应该是EACD（1，1）模型，E代表误差是服从指数分布的：

在这个模型中x的条件方差是，而非条件方差为：

这样只要α＞0，非条件标准离差就比均值大，在期间持续数据中表现出过度扩散。