非规律性定价模型

在本小结中,主要介绍非规律性(随机)定价模型。非规律性(随机)定价在使用马尔科夫产生价格随机过程后,考虑了消费者的异质性,面对不同的消费者给出了企业的最优策略。两者从研究消费者的不同视角入手,找寻企业的最优策略。

一、非规律性定价——马氏价格随机和消费者战略性行为

非规律性动态定价通常有两种,即针对高端消费者和低端消费者,两种都是基于一个一阶离散时间的马尔科夫随机矩阵产生随机定价过程,故部分有关企业策略结论是一样的。不同的是两个模型考虑了不同类型的消费者在随机定价过程中的行为反应,从而从不同视角给出在随机动态定价的时候的具体考虑和结果。考虑到对于高端消费者而言,价格的变动对其是否购买的影响效果远低于低端消费者,这是因为高端消费者对于价格通常是不敏感的,可以容忍高价购买且通常并不具有较强的策略性行为,故本章主要从低端消费者的视角入手,介绍侧重低端消费者行为研究的定价模型。

1.非规律性(随机)定价模型和平价模型

模型建构基本假设:现在考虑一个在线零售商在无限的周期内销售一种耐用产品(如摄像机)定价问题。模型中假设:(1)潜在消费者能够及时获得产品的促销信息,也就是说,他们不会错过任何的交易机会;(2)低端消费者愿意为促销价格等待一段固定的时间,如果没有降价出现,消费者将离开;(3)低端消费者具有一定的忠诚度,在等待降价期间,平均会有γ比例的消费者放弃购买意愿,其中γ∈[0, 1]。我们还假设潜在消费者以恒定的流量访问该网站,不失一般性,将每个周期内的访问量标准化为1。同时消费者的类型θ均匀地分布在区间[0,1],消费者对产品的估值(保留价格)用υ＝aθ＋b表达,其中a和b大于0,b表示消费者的最低估值,而a＋b表示消费者的最高估值。这两个参数可以通过对消费者样本的估值调查,用线性回归的方法获得相关数值。

基于马尔科夫链矩阵的价格结构:在电子商务环境中,我们构建一种基于价格随机化的非规律性(随机)动态定价销售策略。在这种销售策略中,价格的变化被定义为一个具有两个状态(ph,pl)的一阶马尔科夫过程。其中高价格ph代表了正常价格,低价格pl代表一个促销价。当价格处于高(低)状态,它仍然保持在该状态μh(μl)个周期,然后零售商决定是否改变价格。价格变化的转移概率矩阵描述如下:

在这种定价策略中,(1－α)表示促销的概率,较大的α对应于一个较低的促销概率或频率。根据上述转移概率,转换到高低两个状态的概率分别为πh＝β/(1－α＋β)和πl＝(1－α)/(1－α＋β)。电商可以设计一个决策支持系统来实施这一随机定价策略:在每一个价格转换时刻,若当前的价格是高价,系统则以概率α和1－α随机地选择ph和pl中的一个,作为下一个阶段的价格;反之,若当前为低价,系统选择ph和pl的概率为β和1－β。由于价格会在高(低)状态保持μh(μl)个周期,当一个新的潜在消费者访问网站时会观察到一个价格变换的平稳分布,观察到高价和低价的概率为:

由于电商每次修改价格的成本可以忽略不计,在下面的分析中,我们假设卖家每个周期末都会考虑价格的转换。因此,μh＝μl＝1,Mh＝β/(1－α＋β),以及Ml＝(1－α)/ (1－α＋β)。

2.消费者购买行为

由于价格状态(ph,pl)是长期给定的,显然只有保留价值大于pl的消费者才会考虑购买产品,其中如果消费者的保留价值ν≥ph,被称为高端消费者,如果消费者的保留价值ν∈[pl,ph],被称为低端消费者。与一般收益管理的文献一致,模型中假设高端消费者对价格不敏感,没有耐心,会以当前的任何价格购买;而低端消费者则更加具有耐心,如果当前时刻价格为ph时,他们会愿意等待最多T≥1个周期,等待期间会有γ比例的消费者离开商家。由于卖家会在每一周期结束时做出价格转换的决策,因此每一个低端消费者在等待期间最多有T次碰到价格转换的机会。换言之,此处考虑的消费者是两类:没有耐心的高价位购买意愿的消费者和有一定耐心的低价位购买意愿的消费者。

3.卖家的利润函数

由于价格在无限周期中服从一个马尔科夫过程,所以卖家的目标是最大化从每一周期进入的消费者获得的平均利润。利润函数主要包含两个部分:第一项表示从高端消费者处获得的利润;第二项则是从低端消费者处获得的利润。从低端消费者处获得利润中,需要考虑低端消费者的平均比例和当低端消费者首次访问碰上高价位时在等待期间内能够遇上促销的概率。卖家的决策时决定高价位和低价位的价格参数以及转移概率,即S＝{ph,pl,α,β}。

4.卖家的最优策略

为了确定最优随机定价策略,对卖家利润函数的求解过程分为两步,第一步先确定最优的ph和pl的关于转移概率的表达式,然后求解最优的转移概率α和β。

当给定卖家的转移概率α和β,以及低端消费者的最长等待周期时,可求得卖家的利润函数的最优解,即最大获利情况。换言之,对想要执行随机动态定价的企业而言,在确定高价和低价的转换概率以及对于低端消费者而言的等待周期后,就可知利益最大化的数值情况。当给定消费者的耐心程度T和忠诚度系数γ,卖家总能设计一个随机定价策略,从而获得高于平价策略的利润。此结论表明引入价格的不确定性有利于提高卖家的销售利润,在实际情况中,当α＝0时,则意味着将价格固定在ph,而此时对应着的即为平价策略。结论表明卖家利润最大化和最优化在明确转移概率、等待周期以及知晓消费者的耐心程度、忠诚系数的情况下是可以达到的,验证了非规律性(随机)定价的最优利润相较于平价策略的优势。但是对于最优转移概率的决策,当T较大时,是难以获得关于α的完备解。换句话说,当低端消费者的等待周期越长,越难以明确转移概率的所有情况。之后的结论也意识到了这点,通过说明最优解的存在达到给出更多最优解的性质的目的。

当给定消费者的耐性程度T和忠诚度系数γ,卖家的最优的价格转移概率具有如下性质:(1)在给定任何等待周期,只要消费者的耐心程度T≥1,即愿意等待超过一个周期,此时低价向高价的转移概率β的最优解为1,这是因为当消费者是耐性程度较高的时候,此时如果维持低价并不利于利润的获取,且消费者具有耐心,升高价格有利于获利且不会流失大量客源。同时在之后的结论中,β总是取值为1。(2)T＝1当时,即低端消费者只愿意等待一个周期,此时维持高价的概率α的最优解为0,这是因为当消费者只愿意等待一个周期,此时如果维持高价不变,则会引致部分消费者的流失。(3)当T＞1时,利润最大化取决于维持高价的概率α的取值情况,可见当消费者具有较高的耐性程度,可以等待多个周期的时候,企业的利润是取决于其维持高价销售的时长。从上述命题中,我们可以获得几点启发。首先,当前价格为低价时,卖家应该在下个周期将价格调为高价。这与一般零售商的促销策略是相同的,他们通常只在短时段内提供促销,而大部分时间维持正常价格。其次,当低端消费者的耐心程度只有一个周期时,卖家应该在高价和低价间轮换。因为低端消费者最多只会等待一个周期,如果不从当前的高价切换到下个周期的低价,所有的低端消费者都会在下个周期流失,促销策略则没有意义了。最后,当低端消费者的耐心程度比较高时(T＞1),卖家则不必在高价后立刻提供低价,这样仍可以让高端消费者在下个周期以高价购买,而同时保留低端消费者。对于T＞1的情形,因为α的完备解难以获得,故下述结论是基于T＝2为例给出的。

当给定消费者的耐心程度T＝2和忠诚度系数γ,卖家的最优的价格转移概率α是参数γ的表达函数,且是关于γ增函数。结论表明当等待的低端消费者的忠诚度较低时(γ较大),商家应降低促销的频率(α*更大)。结论也基本符合多数零售商的实际促销情况,即消费者的忠诚度较低的时候,其产品偏好较低,容易产生决策的转换,此时使用价格促销的方式能够诱之以利,时期保持适度的忠诚度。

5.模型拓展

在前面的分析和给出的结论中,基本假设都是基于低端消费者的等待时间是确定的,这一部分的结论是基于考虑消费者的等待时间不确定给出的更为复杂的情况。假设消费者的等待时间可能有m个值Ti,每个状态的概率为qi,而且＝1。当消费者的耐心程度不确定的情况下,低价向高价的转移概率的最优解仍为1,且存在让利润期望值最大化的维持高价的概率α的最优解。而当消费者的等待时间有T 1和T 2两个状态,以及γ＝0时,转移概率的最优解因消费者的等待时间的每个状态的概率q决定。当q＝0时,低端消费者愿意等待两个周期,当0＜q＜1/3时,α*的值在α*(T 1)＝0和α*(T 2)＝0.186之间,而当q≥1/3,α*＝0。

之所以只考虑消费者的等待时间的两个状态,是因为当消费者的耐性程度更高,即当T更大时,很难从高次方程求解α的表达式,但可以通过数值计算,进一步分析T和γ对最优解的影响,从而总结模型更多的管理意义。

6.数值分析

1)低端消费者的耐心程度对转移概率和利润的影响

以γ＝0为例,变换T的值,搜索使得利润最大的α,计算结果如图1和2所示。

从图中可以看出,最优转移概率α*和利润Π*1都随T的增加而增加,并且分别趋近于1和(a＋b)2/3a。直觉上,当低端消费者耐心程度更大时,卖家不必要作频繁的促销,可以将高价保持更长的时间,从而从高端消费者获得更多的收益。实际上,当假设没有流失率(γ＝0)时,给定β*＝1,即当期低价时下期必转向高价的时候,卖家的利润函数趋近于(a＋b)2/3a,这意味着最大利润值的上界是(a＋b)2/3a,这比平价策略所获得的利润高33.3%。

2)低端消费者的耐心程度对最优价格的影响

图1　对最优转移概率的影响

图2　对利润期望值的影响

3)低端消费者的忠诚度对最优转移概率的影响

图3　对最优价格的影响

从图4中可以看到,给定低端消费者的耐心程度,转移概率随忠诚度的降低而增加,这与上文表述的结论一致。而给定忠诚度,转移概率随着耐心程度的增加而增加。直觉上,当消费者的忠诚度更低时,意味着等待期间更高的流失率,促销的效果将下降,因此卖家应该降低促销的频率。而当消费者的忠诚度给定时,消费者的耐心程度增加说明其等待周期增加,而此时促销的效果将更有效,故应该增加促销的频率。

4)消费者的不确定性对最优转移概率的影响

在图5中,我们给出前述当消费者具有两个等待状态的算例中的最优解。可以看到,当q≥1/3时,α*＝0。而当q＜1/3时,α*在0.186和0之间,并随着q的增加而减小。这表明最优转移概率不是的连续函数。

图4　忠诚度对最优转移概率的影响

图5　耐心程度不确定对最优转移概率的影响