矩阵一致性检验计算公式

1）建立层次结构模型

在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。 最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有一个或几个层次，通常为准则或指标层。 当准则过多时（譬如多于9个）应进一步分解出子准则层，如图4．3．1所示。

图4．3．1 AHP模型结构

2）构造判断矩阵

从层次结构模型的第2层开始，对于从属于（或影响）上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1-9标度法构造判断矩阵，直到最下层。

层次分析法的一个重要特点就是用两两重要性程度之比的形式表示出两个方案的相应重要性程度等级。 如对某一准则，对其下的各方案进行两两对比，并按其重要性程度评定等级。记为第i和第j因素的重要性之比，表4．3．1列出Saaty给出的9个重要性等级及其赋值。 按两两比较结果构成的矩阵称为判断矩阵。

表4．3．1 判断矩阵标度及其含义

假定C层元素中Cs与下一层次中P1，P2，…，Pn有联系，则以Cs为标准，P1，P2，…，Pn之间两两进行比较，结果记为bij，则一般可以写为如表4．3．2所示形式：

表4．3．2 判断矩阵

元素矩阵B称为对准则Cs的判断矩阵：

判断矩阵表示针对上一层次某元素而言，下一层次中各相关元素的相对重要性的比值。判断矩阵B是正互反矩阵，具有如下性质：

①bii＝1（i＝1，2，…，n）

②bij＝1／bji（i，j＝1，2，…，n）

③bij＝bik／bjk（i，j，k＝1，2，…，n）

3）层次单排序及判断矩阵一致性检验

对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。 若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量：若不通过，需重新构造成对比较阵。

（1）层次单排序

层次单排序就是根据判断矩阵，以上一层次的某一个元素为标准，确定本层次元素对其的相对重要性，该相对重要性即为权重值。权重的计算的数学机理在于计算满足BW＝λmaxW的特征根与特征向量，式中λmax为B的最大特征根，W为对应的正规化特征向量，W的分量即为相应因素的排序的权重值。 最常见的计算权重的方法有方根法与和积法。

（a）方根法（几何平均法）

步骤1：计算判断矩阵B每一行各个元素的乘积Wi：

步骤2：计算Wi的n次方根Wi：

步骤3：对向量W＝［W1，W2，…，Wn］T进行正规化（归一化）处理，即：

则A＝［a1，a2，…，an］T即为所求特征向量，该向量即为所求权重向量。步骤4：计算判断矩阵的最大特征根λmax。

（b）和积法（正规化列平均法）

步骤1：将判断矩阵B中的每一列进行正规化变换，其元素的一般项为：

步骤2：将经过正规化后的判断矩阵元素按行相加：

步骤3：对向量W＝［W1，W2，…，Wn］T进行正规化（归一化）处理，即：

则W1，W2，…，Wn即为层次单排序权重。

步骤4：计算判断矩阵的最大特征根λmax。

（2）一致性检验

根据矩阵理论，只有矩阵中的数据满足上述矩阵B的特征③时，判断矩阵才具有完全一致性。 但由于客观事物的复杂性，人们在分析问题时，认识具有片面性，要求实际中的每一个矩阵都具有完全的一致性，往往很困难。 因此，为了保证AHP结论的合理性，需要对判断矩阵的一致性进行检验。 也就是说，当判断矩阵的阶数较大时，通常难于构造出满足一致性的矩阵来；但判断矩阵偏离一致性条件又应有一个度，为此，必须对判断矩阵是否可接受进行鉴别，这就是一致性检验的内涵。

为了检验判断矩阵的一致性，需要计算其一致性指标CI

当CI为零时，判断矩阵B具有完全一致性。 CI越大，一致性越差；CI越小，表明判断矩阵越接近完全一致性。 对于复杂问题进行判断时，做到完全一致性是困难的，但是必须要有“满意一致性”。 所谓满意一致性，即是判断矩阵的一致性达到研究需要的目标水平。 确定满意一致性需要用到“随机一致性”指标RI，通过将CI与平均随机一致性指标RI进行比较，可以判断矩阵B的满意一致性水平。 各阶RI值见表4．3．3：

表4．3．3 RI值

在这里，对于1，2阶判断矩阵，RI只是形式上的，因为1，2阶判断矩阵总是具有完全一致性；当阶数大于2时，判断矩阵的一致性指标CI与同阶平均随机一致性指标RI之比，称为随机一致性比率，记为CR。

一般规定，当CR＜0．1时，判断矩阵B具有满意的一致性，可以进行AHP分析；否则，就需要对判断矩阵进行调整，以达到满意的一致性水平。

4）层次总排序与总体一致性检验

（1）层次总排序

进行层次总排序，就是确定递阶层次结构中的最底层（方案层）中的每一个元素（方案）在总目标（最上层元素）中的权重。

经过层次单排序，已经分别得出P1，P2，…，Pn对C1，C2，…，Cm的权重（W），以及C1， C2，…，Cm对目标G的权重（a1，a2，…，am）。现在的任务是求出P1，P2，…，Pn对G的权重。其计算思想如表4．3．4所示：

表4．3．4 层次总排序计算方法

（2）总体一致性检验

为了评价层次总排序的一致性，需要进行与单层排序类似的检验，称为层次总排序的一致性检验。其程序从高到低逐层进行。如果B层次某些因素对于Ai单排序的一致性指标为CIj，则相应的平均随机一致性指标为RIj，则层次总排序随机一致性比率为：

类似的，当CR＜0．1时，认为层次总排序结果具有满意的一致性；否则，需要重新调整判断矩阵的元素取值，以达到总体排序的满意一致性水平。