非线性定价

第二节　非线性定价

当一个消费者在某种商品上的总支出不随购买数量线性（成比例）地递增，即商品单价随消费者购买数量而异时，厂商运用了非线性定价来实施二级价格歧视。由于二级价格歧视是现实生活中常见的价格歧视，本节将对此进行更深入的理论分析和阐述。

一、自选择机制与非线性定价

对二级价格歧视的深入理论分析最先是由Spence（1976）进行的，自他以后，Brown和Sibley（1986）采用Mirrless（1971，1976）和Roberts（1979）发展的最优税收技术来进行分析。本节的内容主要是基于Tirole（1988）的分析。

假定垄断者面对的是由异质的消费者构成的需求。如果在完全信息下，垄断者知道每个消费者的口味偏好，就可以为消费者提供个人化的消费包和消费组合，从而就能够达到完全的歧视。但是，在不完全信息的情况下，垄断者不能够把消费者区分开来。特别是我们假定没有关于每个消费者需求函数的外在信号。但是，这并不意味着垄断者将放弃在消费者之间进行价格歧视的努力，而满足于对所有的消费者提供唯一的消费组合。他可以提供一个类似于逆向选择下的消费“组合合约”菜单，通过消费者的自选择机制实现价格歧视。但是在这样做的时候，他必须考虑到个人套利的可能性，即作为某一特定的消费组合设计对象的消费者也许会希望选择针对另一个消费者设计的消费组合。这就引出了“自我选择”或“激励相容”约束条件，这些约束一般说来会使完全价格歧视成为不可能。

假设一个企业生产一种产品，生产产品的单位成本为常数c，并假定消费者具有如下偏好:

式中，V（0）=0；v′（q）＞ 0，v″（q）＜ 0（即在此效用函数中，消费的边际效用递减）；θ是一个口味参数，它随消费者不同而不同；v（·）对所有消费者相同。

这里，我们首先考虑非连续消费者的情形，即θ取两个值；再考虑连续消费者的情形，即θ的值为某一区间上的一个连续统。

（一）有两类消费者的情形

垄断者提供两种组合:（q_i，T_i）是针对θ₁类消费者设计的，假设该类消费者是低需求消费者，其在人口中的分布比例是λ；（q₂，T₂）是针对θ₂类消费者设计的，该类高需求消费者的人口分布比例为1-λ设计，并且假定垄断者对两类消费者都进行供应。

垄断者的利润为:

垄断者面临两类约束:

第一类约束要求消费者愿意购买该商品而不是其他商品，用激励经济学文献的术语来说，即要求满足“个人理性约束”。特别的，低需求消费者的净剩余必须不小于零:如果这一条件得到满足，高需求消费者愿意主动购买，因为他们可以选择以T₁的价格购买q₁，从而获得θ₂V（q₁）-T₁＞0的净剩余。

第二类约束要求消费者不进行个人套利，此即所谓的“激励相容约束”条件。特别的，高需求消费者不希望消费低需求者的消费组合:

在这里，对于低需求消费者来说，激励相容约束是没有意义的，因为我们的目的是诱使高需求的消费者“显示”出他们的高需求，而不是相反。因此，我们将忽略低需求消费者的激励相容约束。

T₂=θ₂V（q₂）-θ₂V（q₁）+ T₁

　=θ₂V（q₂）-（θ₂-θ₁）V（q₁）

价格T₁可以选择在θ₁类消费者的剩余完全被剥夺的水平上；而T₂则必须为θ₂类消费者留出一部分净剩余，因为他们总可以购买组合（q₁，T₁），从而获得净剩余

θ₂V（q₁）-T₁=（θ₂-θ₁）V（q₁）

代入目标函数，垄断者求解下述无约束问题:

一阶条件为:

从式（5－5）可以看出，高需求消费者购买的数量是社会最优的，因为此时商品消费的边际效用等于边际成本；低需求消费者购买的数量是低于最优水平的（θ₁V′（q₁）＞c）。

最后，我们需要来证明，低需求消费者确实不愿意选择高需求者的组合。因为他们没有实现净剩余，所以我们要求

0≥θ₁V（q₂）-T₂而这一条件等价于

0≥（θ₂-θ₁）［V（q₂）-V（q₁）］

因而得到了满足。

从上述分析当中，我们可以得出如下的结论:低需求消费者得不到净剩余，而高需求消费者则可以得到一个正的净剩余。高需求消费者购买社会最优的数量，而低需求消费者则购买低于最优水平的数量。

（二）连续型消费者的情形

垄断者提供一个非线性定价T（q）。口味参数为θ的消费者购买q（θ）单位，并支付T（q（θ））。垄断者的利润为:

垄断者将在参与约束和激励相容约束的条件下最大化这一利润。

首先，参与约束要求，所有消费者都必须愿意购买；对于所有的θ，有

实际上只需要求个人理性约束式（5－6）对于最低需求的消费者成立就足够了，即

θV（q（θ）-T（q（θ）））≥（θ-θ）V（q（θ））≥0

在这里，只要求激励约束在“局部”满足即可以了——也就是说，只需对于接近于θ的=θ-dθ，有

θV（q（θ）-T（q（θ）））≥θV（q（θ-dθ））-T（q（θ-dθ））假定q（·）和T（·）都是严格递增的，而且是可微的，我们就得到，对于所有的θ，有它表述的是这样一个事实，即θ类消费者每增加一个微小的消费数量，将带来与边际支付T′（q（θ））相等的边际效用θV′（q（θ））。因此，消费者不希望在边际上修改他的消费数量。只要数量函数q（θ）知道之后，式（5－9）便可用来计算支付函数，假定最优q（θ）在θ上是严格单调的，则有

式中，α（·）为数量函数的反函数——也就是说，α（q）是消费数量为q的消费者类型（a（q）≡θ）。

要推导最优数量函数，通过令U（θ）代表θ类消费者的效用净剩余。根据激励相容约束条件，有

根据包络定理，U对θ的导数只需考虑θ的直接影响，而不必考虑由数量调整引起的间接影响，即

对式（5－12）进行积分，我们可以把θ类消费者的效用表示为:

式中用到了个人理性约束（U（θ）=0）。

作为θ的函数的消费者效用以一个随着q（θ）增大的速率增大，这一事实其实是非常关键的。数量越大，越能“区分”出不同的类型，因为效用的微分也越大。由于把剩余留给消费者对于垄断者来说是一种成本，垄断者将倾向于降低U，而要做到这一点，就要诱使消费者消费一个低于最优水平的数量。式（5－11）表明，更多地减少低θ值的消费者的消费数量（相对于由θV′（q（θ））=c定义的社会最优数量而言）是可取的——因为θ类消费者购买的数量每增加δq＞0，就会使所有θ′＞θ的消费者效用增加V′（q（θ））δq＞0，但是对θ′＜θ的消费者却没有影响。因此，我们可以预期，低需求消费者的消费将大大低于他们的社会最优数量，而需求最高的消费者（θ=θ′）将正好消费他的社会最优数量。如果事实确实如此，垄断者就是朝低数量的方向扩大了数量判别的幅度。

二、两部收费

两部收费（Two-part Tariff）是厂商在现实中实施一级价格歧视或者二级价格歧视的一种有效方法。它指厂商要求消费者为购买商品的权利预先支付一定的费用（入门费），然后再为想购买的每单位产品支付一个额外的费用（使用费）。例如，电话公司先是按月收取月租费，然后再按用户通话时间收取电话费。从原则上讲，对于每个消费者，供应商都可以让使用费等于边际成本，然后使一次性入门费等于全部的消费者剩余。但在实际上，采取这种一级价格歧视的可能性不大，供应商必须要确定统一的入门费和使用费。

到此为止，我们都假定消费者是完全相同的。现在假定消费者有不同的需求曲线，而且假定垄断者知道每个消费者的需求曲线。对于垄断者来说，最优的定价方案是对边际单位产品制定一个等于边际成本的价格p^c，并且要求消费者支付一个因人而异的固定费用，这个固定费用等于第i个消费者在价格p^c下的净剩余S^c_i。这一结果的一个特例是，总需求函数由支付意愿各不相同的消费者的单位需求函数组成，每个消费者要么消费1单位商品，要么消费0。此时的二部定价就等价于一个简单的个人化的价格系统，其中每个消费者都支付一个等于他的支付意愿的总金额。

当然，这里存在着相当大的信息显示问题。因为在存在机会主义的情况下，消费者显然没有激励说出其真实的消费者类型，相反会有谎报自己类型的激励。信息问题的存在，显然会使完全价格歧视成为不可能。例如，当消费者拥有单位需求，而生产者只知道对商品的评价在消费者人口中的分布，而不知道每个人的具体评价，生产者便会制定单一价格——也就是说，价格歧视不会发生。

二部定价［（T（q）=A+ pq］提供了一个位于直线上的消费组合菜单。我们现在来分析这一定价方法在利润和福利方面的后果。为此，我们假定消费者具有如下的偏好:

式中，V是效用函数，V（0）=0；V′（q）＜0（即在此效用函数中，消费的边际效用递减）；θ是一个口味参数，它随消费者不同而不同；V（·）对所有者消费者均相同。

假定所有消费者都有偏好U（I-T）+ V（q）——即偏好在净收入I-T和数量上是可分的，其中U′＞0，U″＜0，V（0）=0，V′＞0，且V″＜0。那么，如果在商品上支付的货币额相对于初始收入是很小的（T＜I），偏好就可大致表示为U（I）-TU′（I）+ V（q）。所有与消费者关于该商品的选择相关的变量都被总结为θV（q）-T，其中θ≡1/U′（I）是“收入的边际效用”的倒数。因此，我们可能仅仅因收入的不同而导致表面上的口味的不同。

假定有两类消费者，口味参数为θ₁的消费者比例为λ；口味参数为θ₂的消费者比例为1-λ。假定θ₂φθ₁，且垄断者以固定边际成本c＜θ₁＜θ₂进行生产。

为简化计算，假定

首先，我们来计算θ_i类的消费者在面临边际价格p时的需求函数。消费者最大化其效用

这将导出（一阶条件）

θ_iV（q）=p

对于我们所设定的偏好，即为θ_i（1-q）=p。因而需求函数为:

q=D_i（p）=1-p/θ_i

净消费者剩余为:

在此例中，

令θ代表θ₁和θ₂的调和平均值:

那么，在价格p上的总需求就可写成

显然，在二部定价的情况下，边际消费者将消费低于平均消费者的消费量，并且价格高于边际成本。