非合作性寡占模型

第二节　非合作性寡占模型

一、古诺模型

古诺模型由法国经济学家古诺于1838年提出，是早期的寡占模型。它属于独立行动条件下的寡占厂商模型。古诺的这些研究现在已经成为博弈论的经典文献之一，同时也是产业组织理论的重要里程碑。古诺模型分析的内容是两个厂商之间的产量竞争而不是价格竞争，它通常作为寡占理论分析的出发点。它是一个描述只有两个寡占厂商平均瓜分市场的市场行为的简单模型，也称为“双寡头模型”（Duopoly Model）。

（一）古诺模型的基本假定

（1）市场（行业）中只有两个厂商A和B（两个参与人）。

（2）两个厂商生产和销售同一种同质产品。

（3）生产（边际）成本为零（或者两个厂商生产成本相同，边际成本MC为常数）。

（4）两个厂商面临共同的市场的线性需求曲线，并且A、B两个厂商都准确地了解市场的需求曲线（完全信息）。

（5）A、B两个厂商各自在作出决策时都假定另一个厂商的行为是既定不变的。也就是说厂商都是在已知对方产量的情况下，各自确定能够给自己带来最大利润的产量（每个厂商所选的战略是产量决策，其战略组合就是各自的利润最大化的产量表述）。

（二）古诺模型的数学推导

设市场需求函数为Q=a-bP，两个厂商A和B的产量分别为Q_A和Q_B，市场总需求量Q为两家厂商产量之和，即Q=Q_A+Q_B，则市场需求函数为:

P=（a/b）-（1/b）（Q_A+ Q_B）

对于厂商A而言，其利润为:

dπ_A/dQ_A=a/b-2（1/b）Q_A-（1/b）Q_B=0

即Q_A=（a-Q_B）/2

上式为厂商A的反应函数，它表示厂商A的最优（利润最大化）产量，Q_A是厂商B的产量Q_B的函数。从上式可知，厂商A的利润最大化的决策与厂商B的行为直接相关，只有当厂商B的产量确定后，厂商A才能确定自己利润最大化的产量。

同理，对于厂商B来说，有:

dπ_B/dQ_B=a/b-2（1/b）Q_B-（1/b）Q_A=0

可求得厂商B的反应函数为:Q_B=（a-Q_A）/2

当市场达到均衡时，厂商都不再会变动产量，这意味着两家厂商的产量引起对方的反应是相容的，即可联立厂商A和厂商B的反应函数，求得厂商A和厂商B的产量。

Q_A=a/3

Q_B=a/3

也就是说，当两家厂商都生产a/3的产量时，厂商达到利润最大化，市场达到均衡，均衡总产量为2a/3，均衡价格为a/3b。古诺模型的均衡过程可用图2-4说明。图2-4中的横轴OQ_A和纵轴OQ_B分别表示两个寡头厂商的产量。那么，两个寡头厂商的线性反应函数的交点E就是古诺模型的均衡解。在均衡点上，两个寡头厂商的均衡产量都是a/3。

图2-4　古诺模型

（三）古诺均衡的动态说明

如图2-5所示，需求曲线为两个厂商共同面临的线性的市场需求曲线。由于生产成本为零，两个厂商均无成本曲线，厂商的收益就等于利润。

图2-5　古诺均衡的动态实现过程

第一轮，厂商A首先进入市场，根据上面的讨论，假定这时候厂商B的产出为0，厂商A的利润最大化的产出为a/2（根据A厂商的反应曲线）。也就是整个市场容量的1/2，然后，厂商B进入市场，根据厂商A留给自己的市场容量，选择自己的最优产出。根据厂商B的反应曲线，当Q_A=a/2时，对应到B厂商的反应曲线上得到B厂商的最优产出为a/4，也就总市场容量的1/4，是剩余市场容量的一半。

第二轮，当厂商A发现厂商B的产出为a/4时，厂商A的最优产出也是剩余市场容量的1/2，即3a/8。也就是当Q_B=a/4时，对应到厂商A的反应曲线上得到Q_A=3a/8。

以此类推，我们可以得到厂商A和厂商B轮流的产出为:

a/2，a/4，3a/8，5a/16，11a/36，…，a/3，a/3

只有当两个厂商的产出都是a/3时，达到静止状态，即达到E点为均衡点。

二、斯塔克尔伯格模型

古诺模型是假定两个寡头厂商同时作出各自的产量决策的。现在改变一下这一假定，假设厂商A先决定它的产量，然后厂商B知道厂商A的产量后再作出它的产量决策。所以，在确定自己的产量时，厂商A必须考虑厂商B将如何作出反应。其他假设与古诺模型相同，这一模型称为斯塔克尔伯格（Stackelberg）模型。设市场需求函数为Q=a-bP，两个厂商A和B的产量分别为Q_A和Q_B，市场总需求量Q为两家厂商产量之和，即Q=Q_A+Q_B，则市场需求函数为:

P=（a/b）-（1/b）（Q_A+Q_B）

由于厂商B在厂商A之后作自己的产量决策，因此它可以把厂商A的产量作为既定的，这样厂商B的利润最大化产量由它的古诺反应曲线确定，厂商B的反应曲线为:

Q_B=（a-Q_A）/2

厂商A为了使自己的利润最大化，所选择的产量Q_A必定使得它的边际收益等于零边际成本。厂商A的总收益TR_A为

TR_A=PQ_A=（a/b）Q_A-（1/b）Q 2_A-（1/b）Q_AQ_B

因为厂商A知道厂商B将根据自己的反应曲线选择Q_B，故可以用厂商B的反应曲线代入上式中的Q_B，可求出厂商A的总收益和边际收益为:

TR_A=PQ_A=（a/b）Q_A-（1/b）Q 2_A-（1/b）Q_A（a-Q_A）/2

令厂商A的边际收益MR_A等于零边际成本，可得厂商的最佳产量Q_A=a/2。再根据厂商B的反应曲线，求得厂商B的产量Q_B=a/4。厂商A的产量和利润均高于厂商B的产量和利润。这种由于首先行动带来的好处称为“先行者利益”或“先动优势”。

古诺模型和斯塔克尔伯格模型是寡头垄断市场中两个有代表性的产量竞争模型。对于一个由大致相似的厂商构成，没有哪一个寡头具有较强的经营优势或领导地位的行业，古诺模型可能更适用一些，而对于有些由一个在推出新产品或生产方面领头的大厂商主导的行业，斯塔克尔伯格模型更符合一些。

三、贝特兰德模型^[11]

下面我们讨论双头垄断中两个企业相互竞争的另一模型。贝特兰德（Bertrand，1883）提出，企业在竞争时选择的是产品价格，而不像古诺模型中选择产量。明确贝特兰德模型和古诺模型是两个不同的博弈，这一点十分重要:参与者的战略空间不同，收益函数不同，并且在两个模型的纳什均衡中，企业行为也不同。

考虑两种有差异的产品，如果企业1和企业2分别选择价格P₁和P₂，消费者对企业i的产品的需求为:

Q_i（P_i、P_j）=a-P_i+ bP_j

其中b＞0，即只限于企业i的产品为企业j产品的替代品的情况。^[12]我们假定企业生产没有固定成本，并且边际成本为常数c，c＜a，两个企业是同时行动（选择各自的价格）的。

按照博弈的表述方式，参与者仍为两个，不过这里每个企业可以选择的战略是不同的价格，而不再是其产品产量。我们假定小于0的价格是没有意义的，但企业可选择任意非负价格。这样，每个企业的战略空间又可以表示为所有非负实数，其中企业i的一个典型战略是所选择的价格P_i≥0。

我们假定每个企业的收益函数等于其利润额，当企业i选择价格P_i，其竞争对手选择价格P_j时，企业i的利润为:

π_i（P_i，P_j）=Q_i（P_i，P_j）（P_i-c）=（a-P_i+ bp_j）（p_i-c）

对企业i求此最优化问题的解为

解方程组得: