循环经济系统的动态投入／产出反馈控制模型

时间：2022-06-10 百科知识版权反馈

【摘要】：针对这些问题，建立循环经济系统的动态投入／产出反馈控制模型。下面将证明由式确定的动态投入／产出反馈控制模型是完全可控且完全可观测的。图5．7　动态投入／产出反馈控制系3）应用实例仍然以无锡新区简化的循环经济系统为例。

5．2．3　循环经济系统的动态投入／产出反馈控制模型

1）循环经济系统的动态投入／产出反馈控制模型

在建立循环经济系统的发展政策时，必须要考虑到外界一些因素对循环经济系统的扰动作用。比如通过生产过程输出流需求的适度增长来刺激实际输出流的相应增长，从而促使经济系统向前发展。此外，稳定的需求增长能带来消费过程稳定的污染物输出流的相对降低，从而使经济系统的发展进入良性循环轨道。上述实际生产问题可以归结为如下的两个控制理论问题：

①在n个过程的输出流需求量不断变化的情况下，如何调控输出流水平，使过程的最终输出流既满足社会的需要，又实现供求的动态平衡。

②在需求得以满足的同时，如何调控输出流，使经济系统对于需求量的变化具有稳定性，从而使输出水平呈现出稳定的变化。

针对这些问题，建立循环经济系统的动态投入／产出反馈控制模型。

设第i个过程的输出流的社会需求量为d_i（t），需求变化率为α_i（t），i＝1，2，…，n。α_i（t）可正可负，也可以是sin（t）、cos（t）等其他形式。设

则有

其中，d（t）＝［d₁（t），d₂（t），…，d_n（t）］′为第t年输出流的社会需求量；D＝diag［α₁（t），α₂（t），…，α_n（t）］′为对角阵；I为单位阵。

为了解决上面提出的两个控制理论问题，需建立相应的状态空间模型。为此，选取状态向量x（t），外部干扰变量d（t），则控制向量和输出向量分别为

μ（t）的意义是总流量的增量向量，有较高的实际调控可行性；y^＊（t）的意义是经济系统输出流的社会需求量与实际过程提供的最终输出量之间的向量之差。

将式（5．14）代入式（5．19），得：

将式（5．17）、式（5．18）、式（5．20）合在一起，便得到需要的动态投入／产出反馈控制模型：

其中，式（5．17）为外部干扰变量的状态方程，式（5．18）为被控系统的状态方程，式（5．20）为输出方程。

下面将证明由式（5．21）确定的动态投入／产出反馈控制模型是完全可控且完全可观测的。

定理5．1　动态投入／产出反馈控制模型

是完全可控且完全可观测的。

证明：系统的可控性矩阵为：

［I II…I^n－1I］＝［I I…I］

其秩显然是n，因此，系统是完全可控的（参见文献⁽⁶⁾）。

由可知：

因此，I－A是严格对角占优矩阵，从而是非奇异矩阵。矩阵

的秩等于n，则系统的可观测性矩阵

的秩等于n，所以系统是完全可观测的⁽⁷⁾。

注：

（1）控制器的设计

对于式（5．22），可以有很多种设计控制器的方法。因为本书的重点是模型的构造，所以用设计控制器的方法作为例子⁽⁸⁾，具体实施时可根据实际情况选取相应的控制器。

（2）数据来源和参数确定

模型所需要的数据比较多，主要由统计年鉴和投入／产出表得到。在动态投入／产出反馈控制模型中，有一些参数是作为已知量处理的，因而，在求解模型时，首先需要确定这些参数：

①生态状态增长系数矩阵B：生态状态增长系数矩阵B在模型的主要动态投入／产出方程中意义重大⁽⁹⁾，对模型来说也是非常重要的。由于投资的不稳定性，生态状态增长系数矩阵的确定有一定困难，可采用过去几年的加权平均值，或采用人工神经网络方法预测和专家调查法与试算分析相结合的方法确定。

②过程流系数矩阵A：过程流系数矩阵可以由年投入／产出表得到，并采用重点系数法修正⁽¹⁰⁾。

2）线性多变量调节器的设计

引理5．2　设矩阵A′，B′∈R^n×n。如果I－A′为可逆矩阵，则存在δ＞0，使当|a|＜δ时，有

|I－A′－aB′|≠0，

即I－A′－aB′为可逆矩阵。

证明：令

f（a）＝|I－A′－aB′|，a∈R¹

显然f（a）是定义在R¹上的a的连续函数。由f（0）＝|I－A′|≠0和f（a）的连续性可知，存在δ＞0，使当|a|＜δ时，有

f（a）＝|I－A′－aB′|≠0

即当|a|＜δ时，I－A′－aB′为可逆矩阵。

根据文献⁽¹¹⁾和上文的两个控制理论问题，可归结出如下的线性多变量调节器的设计问题：这个线性多变量调节器由纯增益反馈控制器和状态观测器组成：

使闭环系统

（渐近）稳定，并达到可输出调节状态，即有

根据文献⁽¹²⁾，μ（t）＝F₁x（t）＋F₂d（t）设计如下：

第一步　求反馈增益矩阵F₁，使矩阵I＋F₁的所有极点配置在复平面单位圆内，且和I＋D的极点均不同。通常F₁是按极点配置方法求得⁽¹³⁾，这里改设

F₁＝diag（λ₁，λ₂，…，λ_n）－I＝Λ－I

其中，|λ_i|＜1，i＝1，2，…，n。实际调控时，可根据对经济系统稳定性的具体要求以及调控可行性，赋给λ_i以具体值。显然λ_i的模越小，受控系统达到新的平衡状态的速度就越快。可将I＋F₁的所有极点λ_i（i＝1，2，…，n）配置到原点⁽¹⁴⁾。

第二步　求解矩阵方程

即

为解此方程，令

V＝（v₁，v₂，…，v_n），v_i∈Rⁿ，i＝1，2，…，n，

则有

其中，e_i为n阶单位矩阵I的第i列。

由投入／产出理论⁽¹⁵⁾可知，矩阵I－A′为可逆矩阵。当社会需求量增长率a_i为绝对值较小的常数时，即|a_i|＜δ（i＝1，2，…，n），由引理1可知，（I－A′－a_iB′）为可逆矩阵。于是，由式（5．26）知

即－v_i为矩阵（I－A′－a_iB′）^－1的第i列（i＝1，2，…，n）

第三步　计算反馈增益矩阵

设矩阵（I－A′－a_iB′）^－1的第i列为

代入式（5．28），得

于是，反馈控制器为

写成分量形式为

由反馈控制器的上述设计过程可知，只需分别求出n个逆矩阵（I－A′－a_iB′）^－1（i＝1，2，…，n），即可由式（5．29）求出反馈控制器的各个分量。上述过程可在计算机上编程实现。整个动态投入／产出反馈控制系统见图5．7。

图5．7　动态投入／产出反馈控制系

3）应用实例

仍然以无锡新区简化的循环经济系统为例。总流量保持不变，仍为x（0）＝（120．8，18，34）′。设此时考虑社会需求量d（0）＝（75，9，28）′。为简单起见，设每年循环经济系统的过程流系数矩阵不变为A，见表5．6；每年的生态状态增长系数矩阵B不变，见表5．7。将I＋F₁的所有极点λ_i（i＝1，2，…，n）配置到原点。利用上面建立的模型式（5．21），确立无锡新区的简化的循环经济系统，见图5．8，构成的投入／产出矩阵P见表5．8。以上述数据作为初始值计算，进行为期5年的预测规划。设每年的变化率均为a₁＝0．1；a₂＝－0．05；a₃＝0．08（根据实际情况，a_i（i＝1，2，…，n）可正可负，也可以是sin（t），cos（t）等其他形式），利用MATLAB进行SIMULINK动态仿真，得到的仿真结果如表5．9、表5．10和图5．9～图5．14所示。从结果中可以看出，循环经济系统的动态投入／产出反馈控制模型在3个过程的输出流需求量不断变化的情况下，能较好的调控输出流的水平，使过程的最终输出流既满足社会的需要，又实现供求的动态平衡，并且输出水平呈现出稳定的变化。

图5．8　具有生态状态的简化的循环工业系统

表5．6　过程流系数矩阵A

表5．7　生态状态增长系数矩阵B

表5．8　循环经济系统投入／产出矩阵P

表5．9　3个过程的年控制值μ（单位：万t／年）

图5．9　环氧树脂的仿真输出

图5．10　废弃物的仿真输出

图5．11　苯的仿真输出

图5．12　环氧树脂生产调整的仿真结果

图5．13　环氧树脂消费调整的仿真结果

图5．14　环氧树脂还原调整的仿真结果

表5．10　3个过程的年总流量x（单位：万t／年）

4）模型的局限性分析

从上面的结果可以看出，动态投入／产出反馈控制模型对于循环经济系统外部的干扰表现较为稳定，能够较好地进行循环经济系统的中长期宏观预测设计，但具体到每一年的实际规划，发现存在以下问题：

（1）上文提出的动态投入／产出反馈控制模型并没有考虑到其他因素的影响。即在实际的投入／产出分析中，由于受生产条件、资金、资源等方面的限制，每年总流量的改变量μ（t）应有上、下限约束，即a（t）≤μ（t）≤b（t），其中a（t）和b（t）是给定的总流量的改变量μ（t）的下限和上限。

（2）在动态投入／产出反馈控制模型中，基于稳健性的思想，追求的是社会需求向量d（t）与系统的输出向量y（t）尽可能相等，这对于循环经济系统的中长期宏观预测设计来说是合理的。然而，具体到每一年的实际规划中，供需不平衡的现象是很难完全避免的，单纯的将这一个目标作为决策依据，显然与实际不符。

（3）一个决策者不能仅仅依靠投入／产出分析去解决一个决策问题。虽然物质流是经济系统环境问题的一个部分，但还需要有其他的因素去更加充分的了解系统的环境状态。能量流、环境和社会影响、基于表现和经济的传统目标等都必须要考虑（比如GDP最大、能耗最小）等。如果不能将这些因素都考虑全面，投入／产出流模型将缺少应用价值。

（4）因为整个循环经济系统所追求的整体目标显然与各个过程的局部目标不一致，如果只考虑整体目标而不顾各个过程的实际情况，即使过程间形成了共生关系，但各个过程是在市场经济下运行的，必然受到市场经济规律的约束，由于整体的目标与局部目标的不一致，使得企业间终止了相互间的共生关系，那么循环经济系统就遭到了破坏。因此这样的系统从某些方面来说具有不稳定性。所以整体与局部之间的协调性问题很重要，这是实际工作中需要考虑的重点。

如果将这些局限性问题都通过一个单一的动态投入／产出反馈控制模型（见图5．15）去解决是很困难的，因为循环经济系统是一个开放的复杂巨系统，任何子过程的改变都要求模型随之改变，使得模型的结构的灵活性与可靠性降低，并且费时多、成本高。所以，基于动态投入／产出反馈控制模型（见式（5．21）），考虑设计一个多级递阶智能控制系统。这个系统中包含组织器、适应器、若干个多级递阶智能协调器和控制器。在这种多级递阶智能控制系统中，任何由于子过程的改变而造成的决策的改变都是局部性的，所以这种系统的结构的灵活性与可靠性较好，并且费时少、成本低，真正符合了循环经济系统的开放复杂性的特点，具有实际运用价值。

图5．15　动态投入／产出反馈控制模型的运行

5）基于投入／产出模型的循环经济“3R”评价指标的定量确立

循环经济的建立依赖于一组以“减量化、再使用、再循环”为内容的行为原则（称为3R原则），每一个原则对循环经济的成功实施都是必不可少的。因为循环经济系统结构的复杂性和信息的多源性，其一般很难定量表述。下面将根据第一节建立的循环经济的投入／产出模型，建立针对“3R”原则的一种简易可行的评价指标及其方法，用来衡量以“3R”为特征的循环经济系统的发展水平，并为循环经济的发展决策提供正确的依据。

（1）物质减量化的评估指标——物质利用强度IU

虽然不同学者对物质减量化的定义有所不同，但都具有一定的共同之处。一般而言，物质减量化是指：在单位经济产出过程中所消耗的物质材料或产生的废弃物量的绝对（或相对）减少。物质利用强度IU（intensity　of　use）是目前使用最广泛的、用来评估物质减量化的一个指标，它用于评估生产和服务过程中所消耗物质的量与经济产出之间的关系。IU是从会计学中某一具体物质消耗量（X_i）的计算式式（5．30）演化而来的：

式中，Y是消耗物质i的经济产出；GNP是经济总产出。

物质利用强度IU是物质消耗量与附加值的比值，其表示如式（5．31）：

在大多数IU分析中，X的单位是质量或体积的单位。

根据循环经济的思想，这里将经济总产出理解为循环经济系统的总收益减去污染对环境的损害（称为绿色经济总产出）。由循环经济的定量模型可知，循环经济系统可以分为生产者、消费者和还原者。令H_p（p＝1，2，…，g）为循环经济系统中所有的生产过程的集合，令H_c（c＝1，2，…，m）为循环经济系统中所有的消费过程的集合，令H_r（r＝1，2，…，h）为循环经济系统中所有的还原过程的集合，则g＋m＋h＝n。利用建立的循环经济的定量模型定义：

式中：p_0p、p_0c和p_0r分别为生产过程、消费过程和还原过程输出流的价格系数。

用图5．5的例子作个示范。若环氧树脂y₀₁的单位价格为15 000元／t，还原产品y₀₃的单位价格为10 000元／t，废弃物y₀₂处理所需的费用是8 000元／t，则IU＝0．07‰。

若没有建立循环经济系统，则实际情况如图5．16，可以计算出IU＝0．15‰。由此可以看出，循环经济使经济系统的物质利用强度IU得到了较大的降低。

注：为了简化，这里没有考虑水、电、气等能源的输入，实际运作中，可以将这些因素加入输入流z_i0中同理操作。也可以将物质利用强度分为若干子指标，如水／万元、电／万元、煤／万元和原材料／万元等等。

（2）再使用、再循环化的评估指标——生产循环率RE_p、消费循环率RE_c、物质再生率RE_r

表5．4中，从H₁中输出1万t／年流要求x₁＝1．175万t／年，所以有流0．175万t／年反馈到H₁。

若终止H₁中输出1万t／年流要求x₁＝1万t／年，则没有反馈H₁到的流。因此，若N的对角线元素n_kk＞1，则存在流反馈到Hk；若n_kk＝1，则表示所有通过H_k的流输出后就没有返回；若n_kk＞1，则n_kk－1＞0的差代表曾经由Hk产生的流又通过循环返回H_k。由此定义给定过程H_k的循环流的百分比为REk，称为返回循环效率：