有序事物的聚类分析

在实际应用中，有些事物之间有先后顺序并且不能变动，于是就有了有序事物的聚类分析.例如，对青少年的生长发育阶段进行研究时，年龄的顺序是不能改变的，否则就会失去意义；在地质勘探中，要通过岩心研究地层结构，取样资料应按地层的深浅进行排序，不能随意打乱.

如果用x1，x2，…，xn表示n个有序的事物，分类后的每一类必须是这样的形式：

xi，xi＋1，xi＋2，…，xj，其中1≤i≤j≤n.

即在同一类中的事物必须顺序相邻.我们称这类问题为有序事物的聚类分析.

下面以儿童的生长发育问题为例，讨论有序事物的聚类分析.

例1　儿童每年增加的体重与其生长发育规律有关.表24.1列出的是某地区1—11岁儿童每年的体重平均增长数.

表24.1　儿童体重的年平均增长数

根据表24.1中的数据，将1—11岁儿童的发育分为几个阶段比较合适？怎样划分为好？

这个问题的实质是，对表24.1中反映儿童增重数的11个有序数据进行分类，每一类中的数据必须保持原有的顺序；并对各种不同的分类进行优劣比较，从中找出好的分类方法.这11个数据可以分成1类，2类，…，11类.分成1类和11类的方法只有一种，其余每类都有多种不同的分类方法.欲达到最后目标，只能逐类加以讨论.

如果要将11个增重数据分成保持原有顺序的3类，可以有很多种分类方法，其中一种分类方法是：

﹛1，2﹜，﹛3，4，5，6，7﹜，﹛8，9，10，11﹜.

这里﹛1，2﹜表示将1岁和2岁的增重数分为一类，﹛3，4，5，6，7﹜表示将3—7岁的增重数分为一类，﹛8，9，10，11﹜表示将8—11岁的增重数分为一类.

为了对不同的分类进行评价，必须有一个区分其优劣的客观标准.一种好的分类方法，应该使同一类事物相互之间的差别尽量小，而类与类之间的差别尽量大.例如，假如将城市居民的收入分为高收入、中等收入和低收入3类，那么同处中等收入的一群居民相互之间的收入应该差距不大，而处于不同类别的两个居民的收入一般应有显著的差距.

我们用同一类数据中的最大值与最小值的差，表示该类内部事物相互之间的差距.

在上述分类方法中，第一类﹛1，2﹜对应的增重数为9.3，1.8，这一类内部的差距为

9.3-1.8＝7.5.

在第二类﹛3，4，5，6，7﹜对应的增重数中，最大值为1.9，最小值为1.3，因此这一类内部的差距为

1.9-1.3＝0.6.

在第三类﹛8，9，10，11﹜对应的数据中，最大值为2.3，最小值为1.9，因此这一类内部的差距为

2.3-1.9＝0.4.

我们用这种分类方法中的3个类内差距的平均值来评价该方法的优劣，即规定该分类方法的优劣指标K为

对于另一种分类方法

﹛1，2，3﹜，﹛4，5，6，7，8﹜，﹛9，10，11﹜，

第一类的类内差距为7.5，第二类的类内差距为0.7，第三类的类内差距为0.4.可算得这种分类方法的优劣指标为2.87.

我们还可以算得，分类方法

﹛1，2，3，4﹜，﹛5，6﹜，﹛7，8，9，10，11﹜

的优劣指标为2.9.

试将上述3种分类方法加以比较.因为优劣指标K的值表示分类方法的类内差距的平均值，K值较小者为优，所以第一种分类方法优于第二种分类方法，第二种分类方法优于第三种分类方法.

将11个有序数据不改变其顺序分为3类，一共有多少种不同的分类方法？如果将每两个相邻数据之间的“间隔”想象为一个空格，则在11个数据之间共有10个空格.将11个有序数据不改变顺序分为3类，就相当于在10个空格中置放两个栅栏将数据分为3截.按照组合计算的方法，一共有种分法.只要分别计算出每种方法的优劣指标的值，然后进行大小比较，就可以得到分成3类时最好的分类方法为这种分类方法的优劣指标K的值为0.30.

﹛1﹜，﹛2，3，4，5，6，7﹜，﹛8，9，10，11﹜.

用同样的方法，我们分别找出将11个有序数据分成1类，2类，…，11类的最好分类方法，并计算出各最好分类方法的优劣指标K的值，如表24.2所示.

表24.2　各最好分类方法的优劣指标值

由表24.2中的数据可以看出，如果n＝1，这时K＝8，优劣指标的值太大，实际上这时并没有分类；当n＝2时，K＝0.5，优劣指标的值仍然比较大；当n＝3或n＝4时，优劣指标K的值已降为0.3和0.2；当n＞4时，优劣指标K的值相差不大.因此，将这11个数据分成3类或4类比较合适.

对于分成3类情况的合理性，我们结合儿童的生长发育情况可作如下解释：

我们已经知道分成3类时最好的分类方法为

﹛1﹜，﹛2，3，4，5，6，7﹜，﹛8，9，10，11﹜，

这相当于将儿童从1岁到11岁分为如下3个生长发育阶段：1岁时的儿童处于婴儿期，刚刚脱离母体，整天吃吃睡睡，处于体重增长最快的阶段；2岁至7岁时的儿童处于幼儿期或刚入小学的阶段，要学走路，学说话，要玩耍，并开始读书识字，各方面的活动量都在不断增加，能量消耗比较大，因此体重增长有所减缓；8岁至11岁时的儿童处于小学阶段，生活比较有规律，并开始进入发育期，因此体重稳定增长.