数学概括思维

学生学习数学也处于第一次发现数学事实的过程，学生自己独自发现，或在教师的帮助下发现，因此，数学家发现数学真理的思维过程，本质上也就是学生认识和发现数学事实的思维过程，数学教学重视这种思维过程的培养与教育有着重要的意义。

数学学习的基本思维过程是：观察与试验、分析与综合、正搜索与逆搜索、抽象与概括、归纳与演绎。

一、观察与试验

（一）观察

观察原是心理学上的概念，属于知觉的范畴，指的是有目的有计划的认识活动。它是一种伴随着积极的思维运动，有意的、主动的和系统的知觉活动，相当于持续性的有意注意。

科研开始于观察。数学中许多重要的发现都渊源于实际观察。例如，人们熟知的等量公理，就是从对现实世界数量关系的长期观察和计算中，经过分析得出的结论。就连被誉为“纯粹之皇冠”的数论，实际上也是在观察基础上发展起来的一门科学。[1]

观察不仅是认识客观事物的重要途径，也是发展智力的基础。通过观察，人们可以获得大量丰富的感性材料。心理学研究表明，人的大脑所获得的信息，80%～90%是通过视觉和听觉得来的。所以，要发展自己的思维能力，必须敞开观察的大门，让外界信息不断进入大脑。为了提高思维的敏捷性和正确性，还必须保证输入的信息是有系统、有条理的，而不是杂乱无章的。因此，我们不但要勤于观察，而且要善于观察，把观察和思维结合起来，有目的、有计划、有条理地进行观察，不断提高观察的客观性、全面性、精确性和深刻性。这样，才有助于我们发现问题，积极思维。[2]

对所考察的数学对象进行观察，既要看其整体、全貌，又要看局部、细节；既要看数字的特点，又要看图形特征；既要看其明显现象，又要看内在隐含的本质；既要看所具有的一般属性，又要看本质属性；既要看共同之处，又要看不同之点；既要看各自的特征，又要看相互之间的联系。

（二）试验[3]

试验（实验）是人们根据一定的研究目的，运用一定的物质手段，在人为地控制或模拟自然现象的条件下，使自然过程或生产过程以纯粹的、典型的形式表现出来，暴露它们在天然条件下无法暴露的特征，以便进行观察、研究，探索自然界的本质及其规律的一种研究方法。

任何试验都和观察相联系。观察是试验的前提，试验是观察的证实和发展。在现代科学技术中，试验往往同观察紧密结合在一起，观察依赖于试验，试验离不开观察。

试验方法优于一般的观察方法，它克服了纯粹观察（即自然观察）的局限性，大大加强了人们获取感性材料和感性经验的主动性。在物理、化学等实验科学中，实验方法占有中心的地位。一般说来，数学不是实验科学，在特殊情形下由观察和试验得到的结果，一般只具有或然性，需要严格的理论证明，才能确认其真实性。

观察和试验可以用来引导数学发现，启迪解题思路，说明所研究的对象的某些数学性质，判断数学性质或结果的真实性。但用试验法处理数学问题，必须从问题的实际情形出发，结合有关的数学知识，恰当选择试验的对象和范围。在制定试验方案时，要全面考虑试验的各种可能情形，不能有所遗漏；在实施试验方案时，要讲究试验技巧，充分利用各次试验所提供的信息，以缩小试验范围，减少试验次数，尽快找出所需的结果。

二、分析与综合

所谓分析是指在思想上把一个事物的整体分解成各个部分或个别属性来进行考察的思维过程。这是一种从现象一层层向本质深入的过程。这里所说的分解绝不是简单的机械分割，分解只是一种形象说法，是一种手段。分析的目的不仅是要通过分解，认识事物的各个方面，各种属性和关系，并且要从许多方面分出主要的方面，从偶然中找出必然性，从现象中找出本质，从个别、特殊中找出一般。

思维过程是从对问题的分析开始的。思维的分析可以有两种形式：（1）过滤式的分析。是通过尝试对问题情境作初级的分析，淘汰那些无效的尝试。（2）综合的有方向的分析。是通过对问题的条件和要求的相互联合的综合而实现的分析。综合的有方向的分析是思维活动的主要环节。它使客体显露出新的方向，客体参加到新的联系中，使其表现出新的性质，这对思维的顺利进行是非常必要的。

所谓综合是指在思想上把事物的各个部分或个别属性联合成一个整体来进行考察的思维过程。经过综合思维过程，可以把这一本质和那一本质，较为深刻的本质和不太深刻的本质，主要和次要，一般和个别统一起来，从而把通过分析的思维过程得到的各个方面，各个部分联合成为一个有机的整体。

综合绝不是仅仅以相反方向简单地重复分析过程，而是在认识进一步发展的基础上的重复，在更高基础上的重复。因此，综合提供的认识成果要比前一分析过程提供的认识成果大大前进了一步。这时候由于一般和个别，本质和现象，真正是辩证统一在一起，是多样性的统一体，或统一体中的多样性，因而更深刻地认识了对象的本质和规律。这样的综合在科学研究和数学学习中有着巨大的认识作用。无论是自然科学，还是社会科学，都是在积累了大量的分析成果之后，就进行概括和综合，用统一的思想把分散的事实和理论统一起来，发现新的规律，形成新的理论，使认识上升到更高的阶段。[4]

分析和综合的思维过程，在数学学习中作用重大。例如，学生解题，分清已知、未知，分析原因和找出各种量之间的关系属于分析；把已知、未知、原因、结果及其关系综合起来，从而解决这个问题，并对所得到的结果作出推广等就属于综合。[5]

三、正搜索与逆搜索

所谓正搜索是指从已知条件出发，经过一系列逻辑推理，最后推导出所要证明的结果的思维过程。简言之，正搜索就是从已知到未知，由因导果的一种思维过程。它的实质在于：正搜索思维过程的一般规律是先找出适当的真命题（通过逆搜索来找），通过逻辑论证的步骤，逐步将已经找到的真命题变形到需要证明的结论上面去，正因为正搜索思维过程对于表述论证过程有思路清晰、步步有据的特点，才使得正搜索的思维过程成为数学学习中人们用来表述论证过程经常采用的最基本的思维过程[6]。

所谓逆搜索是指从结果追溯到产生这一结果原因的一种思维过程。简言之，即从未知到已知，由果索因的一种思维过程。用逆搜索比较容易发现可以作为论证出发点的真命题，从而使学生自觉地、充满信心地将解题进行下去。逆搜索思维过程的实质在于：把需要给予证明的命题的结论作为搜索的出发点，通过逻辑论证的步骤，把需要证明的命题归结为与已知条件有关的真命题，从而使该真命题成为正搜索过程的起点。因此，逆搜索有利于思考，而正搜索有利于表述，从而使这两种思维过程成为数学中一正一反最重要最基本的两种思维过程[7]。

人们在实际思考问题的过程中，正搜索和逆搜索这两种思维过程往往是结合起来使用的，逆搜索中有正搜索，正搜索中又有逆搜索。不过在证明数学问题时，就这两种思维过程来说，一般是先用逆搜索来分析论题，找出使结论成立的必要条件，然后用正搜索进行表述，同时证明条件是充分的，从而完成了一个认识过程，即证明过程。这样便为人们证明问题提供了一个完整的思考问题的过程。这个过程在数学学习中起着非常重要的作用，有着普遍的使用价值和教育价值，一般认为：逆搜索往往是通向发现之路，而正搜索往往是逆向论证之路[8]。

四、抽象与概括

（一）抽象[9]

数学抽象是把大量生动的空间形式和数量关系的直观背景材料，进行去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的加工和制作，提炼数学概念，构造数学模型，建立数学理论。

抽象的基本过程，大体是从所考察的问题出发，通过对各种经验事实（或已有的基本概念、基础理论）的观察、分析、综合和比较，排除事物现象的、外部的、偶然的东西，抽出事物本质的、内在的、必然的东西，揭示客观对象的本质和规律。

进行抽象，一般应注意以下几点：第一，要分辨事物的真相和假象，避免被假象所迷惑；第二，要撇开与所考察的问题无关的内容，排除那些模糊基本过程、掩盖普遍规律的干扰因素，在纯粹的状态下考察事物；第三，要区分基础的东西与派生的东西，深入事物内部，发掘决定事物性质的基础内容；第四，要从基础的东西出发，把事物的各种属性和关系综合起来，把事物的本质作为一个完整的体系抽象出来。

数学抽象具有三个显著的特征。首先，数学抽象有着明确的目标，都是撇开对象的具体内容，仅仅保留空间形式或数量关系。其次，数学抽象适用的范围广泛，既有以提炼数学概念为基本目的的表征性抽象，又有旨在探索数学理论的原理性抽象。最后，数学抽象有着丰富的层次，不仅表现为直接从现实世界中抽象出相应的空间形式和数量关系，而且还表现为在已有数学知识的基础上，抽象新概念，建立新理论。

（二）概括[10]

概括包括两种意义：一是指思想上把具有相同的本质特性的事物联合起来；二是把被研究的对象的本质特性推广为范围更广的包含这个对象的同类事物上。

概括有两种不同的形式，即初级的、经验的概括（或者叫作感性的概括）和高级形式的科学的概括（或者叫作理性的概括）。感性的概括是一种低级的概括形式。这种概括往往是在直观的基础上自发进行的。它是根据事物的外部特征，对不同事物进行比较，舍弃它们互不相同的特征，对它们的共同特征加以概括，这是知觉表象阶段的概括。由于事物的某些要素或是由于重复，或是由于在学生生活活动中具有特殊意义等，使它同对象的其他要素相比，处于优势地位。因此这些要素的刺激作用在大脑皮层上引起的兴奋，根据负诱导的神经活动规律，可以抑制其他要素的刺激作用。这样，它们就能与其他要素分离，而被认为是对象的本质特征。实际上这种概括不是通过感觉的分析和抽象，而是依靠对象各要素之间的强弱对比，强要素的泛化掩蔽了弱要素而实现的。这类概括是自发完成的。因此，也可以把它叫作直觉的概括。

理性的概括是高级形式的科学的概括，它是通过对感性认识经验加工改造，揭示事物一般的、本质的特征与联系的过程。所以这不是直观的概括，而是思维水平的概括。理性概括是一个相当复杂的过程，有许多研究思维问题的心理学家研究过有关这一过程的特点，并提出了许多不同的意见，其中，对于教学来说，有三点是必须注意的。

第一，它不是自发进行的，一般是在意识到感性知识经验的不足或矛盾时，在对感性知识经验自觉进行一系列的分析基础上完成的。所谓意识到感性知识经验的不足或矛盾，在教学中通常是在下列情况下发生的：（1）对把一些外表很不相同的事物归入同一类别，并以同一名称来命名感到困难时；（2）在以已有的知识经验去解释、说明新的事物现象而遇到障碍时，也会促使他自觉地去思考。

第二，理性概括的结果是以揭示事物的一般因素（特征与联系）及本质因素（特征与联系）为特点的。所谓一般因素指的是一类事物所共有的，不是个别或某些事物所特有的；所谓本质因素，即内在的决定事物性质与联系的那些因素，也就是通常的概念与法则的逻辑定义所揭示的那些因素。

第三，在教学条件下，理性的概括通常是在前人认识的指导下，对一类事物的特征与联系进行一系列的分析和比较，从而区分一般（共有）与特殊（非共有）因素而实现的。

综上所述，概括就是把对象或关系的某些共同的（或本质的）属性在头脑里区分出来，固定下来。抽象就是把由概括区分出来的共同的（或本质的）属性，从其他非本质属性（对我们的研究来说的）中抽出来并舍弃这些非本质属性（在我们研究的范围内）。由此可见，如果没有概括，也就是说如果没有区分出某些共同的属性，那么也就不能抽出本质属性，排除非本质属性，就实现不了抽象。反之，如果不能从所概括的东西的差异中进行抽象（即舍弃非本质特征），那就不能概括。与此同时，被抽象的特性本身，是以概括的形式被思考着的。[11]

[1] 王培德著，《数学思想应用及探究：建构教学》，人民教育出版社，2003，133。

[2] 王培德著，《数学思想应用及探究：建构教学》，人民教育出版社，2003，134。

[3] 王培德著，《数学思想应用及探究：建构教学》，人民教育出版社，2003，135～136。

[4] 周学海著，《数学教育学概论》，东北师范大学出版社，1996，161。

[5] 周学海著，《数学教育学概论》，东北师范大学出版社，1996，162。

[6] 周学海著，《数学教育学概论》，东北师范大学出版社，1996，165～166。

[7] 周学海著，《数学教育学概论》，东北师范大学出版社，1996，166。

[8] 周学海著，《数学教育学概论》，东北师范大学出版社，1996，166。

[9] 王培德著，《数学思想应用及探究：建构教学》，人民教育出版社，2003，148～155。

[10] 王培德著，《数学思想应用及探究：建构教学》，人民教育出版社，2003，143～147。

[11] 王培德著，《数学思想应用及探究：建构教学》，人民教育出版社，2003，143。