一、模糊数学思想的相关认识
（一）模糊数学的价值
模糊数学是以不确定性的事物为其研究对象，以“模糊集合”论为基础，运用数学方法研究和处理模糊性现象的一门数学新分支[1]。
在自然界和人类实践活动中经常遇到各种各样的现象，从数学的角度看，这些现象大体可分为三类：一类是确定的，如“向上抛一块石头必然下落”，这种在一定条件下有确定结果的现象称为确定性现象，这种现象的规律性可以用经典数学去刻画；另一类现象是随机的，如在相同的条件下，向上抛一枚质地均匀的硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，在每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么。在一定条件下进行试验或观察会出现多种可能的结果，而且在每次试验之前都无法预知会出现哪一个结果，这种现象称为随机现象，它的规律性可以用概率论与数理统计去刻画；第三类现象是模糊现象，如良好、接近、稳定等，这些概念之间并没有明确的界限，我们称这些概念为模糊概念，由模糊概念所导致现象称为模糊现象。为处理分析这些“模糊”概念的数据，便需要模糊数学。
模糊数学的基本思想是：用属于程度代替属于或不属于。模糊数学为人们提供了一种处理不肯定性和不精确性问题的新方法，是描述人脑思维处理模糊信息的有力工具。
（二）模糊数学的相关概念
在模糊数学中，称没有明确边界（没有清晰外延）的集合为模糊集合，它是模糊数学的理论基础。与普通集合不同，模糊集合的逻辑基础是多值逻辑。元素属于模糊集合的程度用隶属度或模糊度来表示。用于计算隶属度的函数称为隶属函数。在模糊集合中，给定范围内元素对它的隶属关系不一定只有“是”或“否”两种情况，而是用介于0和1之间的实数来表示隶属程度，还存在中间过渡状态。因此隶属函数的实质就是将特征函数推广到模糊集合，从普通集合中只取0、1两值推广到模糊集合中为[0，1]区间的任意值。通常把隶属函数表示为
，它满足：0≤μ(x)≤1。正如扎德所说，指明各个元素的隶属集合，就等于指定了一个集合。
（三）模糊数学的应用
模糊数学是一门新兴学科，但目前在各个领域的应用十分广泛。
模糊数学的应用主要体现在以下两个方面。[2]
（1）模糊方法。这主要表现为模糊规划方法、模糊决策方法、模糊评价方法和模糊识别、模糊评判、模糊的聚类分析等方法，这是模糊概念和模糊表述方式在管理科学、控制论和聚类分析中的应用，它能够充分体现为模糊概念和模糊运算下的优越性。
（2）模糊技术。模糊数学不仅作为模糊逻辑方法和模糊定量（软）方法，而且为着应用，如今还形成了具有设备投资和产业化特征的“技术”，叫作模糊技术。目前的模糊技术主要体现为模糊控制特征，将{0,1}事物[0,1]化。
在实际应用方面，模糊数学不仅在传统的物理、化学、生物学等方面取得了显著的效益，而且应用于通常来说的那些与数学关系不大的学科，如心理学、语言学、社会科学等，使数学的应用范围大大扩展。近年来，人们运用模糊数学的原理来刻画、描述概念并进行判断、评价、推理、规划、决策和控制等过程，使得模糊数学在气象、结构力学、控制、心理学等方面已有具体的研究成果。比如，在工业控制领域中，应用模糊数学，可使空调器的温度控制更为合理，洗衣机可节电、节水、提高效率。在现代社会的大系统管理中，运用模糊数学的方法，有可能形成更加有效的决策。实践证明，模糊数学中的模糊聚类分析、模糊模型识别、模糊综合评判、模糊规划、模糊决策、模糊控制等方法在农业的病虫测报、种植区划、品种选育以及在图像识别、地质地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用效果十分明显，许多方面取得了良好的社会和经济效益，值得推广和进一步提高。从该学科的发展趋势来看，它具有极其强大的生命力和更广阔的应用空间。[3]
模糊数学最重要的应用领域是计算机智能，模式识别是计算机应用的重要领域之一。一方面，人脑能在很低的准确性下有效地处理复杂问题。如计算机使用模糊数学，便能大大提高模式识别能力，可模拟人类神经系统的活动进行学习、推理、判断、识别、控制等思维过程，然后对信息进行加工、改造和处理，并对其实行自动控制和模拟。模糊数学在计算机仿真技术、多媒体辨识等领域的应用取得了突破性进展，如图像和文字的自动辨识、自动学习机、人工智能、音频信号辨识与处理等领域均借助了模糊数学的基本原理和方法；另一方面，模糊数学大大推动了新一代计算机的研制。目前，世界上发达国家正积极研究、试制具有智能化的模糊计算机，1986年日本山川烈博士首次试制成功模糊推理机，它的推理速度是1000万次/秒。[4]
总的来说，模糊数学在认识世界、改造世界的实践活动中已经表现出了强大的生命力。但是，模糊数学仍然是一个新兴的学科，其理论体系还远远没有成熟，还需要不断充实和完善理论，扩大应用空间。而该学科的一些新的数学方法和思想方法，也有待于在实践中检验。而且，模糊数学本身的系统化、严密化，它与其他数学分支的相互关系，也正在成为热门的问题。随着现代数学的发展和计算机技术的不断提高，该学科存在着巨大的可发展空间和广大的前景。
二、模糊数学思想的形成与发展
长期以来，人们一直重视研究和发展数学的精密性，模糊性一直被忽视甚至于被贬低。20世纪的大哲学家罗素（B.Russell）开始关注模糊性问题。他在1923年的一篇题为《含糊性》（Vagueness）的论文中明确指出：“认为模糊知识必定是靠不住的，这种看法是大错特错的。”尽管罗素声名显赫，但这篇的文章并未引起当时学术界对模糊性或含糊性的很大兴趣。[5]
随着社会的发展，特别是科学技术的发展，人们开始对模糊性的研究有所要求。为了用严谨的科学手段去研究模糊现象、分析模糊性质，模糊数学应运而生。模糊数学的出发点就是通过数学的手段研究和分析模糊现象的内在规律。尽管模糊数学的研究对象是模糊现象，但其研究方法还是在精确数学的基础上发展起来的，其模糊规律的分析和总结最终是依靠精确数学的手段实现的。这种从精确到模糊，再由模糊到精确的过程不是原地踏步，而是螺旋式地前进，是自然辩证法否定之否定原理的深刻体现。[6]
1965年，美国自动控制专家扎德（L.A.Zadeh）教授发表了题为《模糊集合论》（Fuzzy Sets）的论文，从而宣告了模糊数学的诞生。扎德教授集中思考了计算机为什么不能像人脑那样进行灵活的思维与判断问题，为此他提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型，在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律，开展有关的理论研究，并对模糊系统进行定量的描述和处理。扎德的模糊集合的概念奠定了模糊性理论的基础。他用模糊集合的理论找到了解决模糊性对象及其性质的问题，并加以确切化，从而使研究确定性对象的数学与研究不确定性对象的数学沟通起来，弥补了精确数学、随机数学描述的不足之处。在此基础上，现在已形成一个模糊数学体系。近50年来，这个领域从理论到应用，从软技术到硬技术都取得了丰硕成果，对相关领域和技术，特别是一些高新技术的发展产生了日益显著的影响。
自20世纪70年代中期发展至今，我国现已拥有一支实力较强的科研与教学梯队，培养了不少专门人才。特别是中国模糊集与系统学会成立后，大大推动了该学科研究队伍的壮大和科研水平的提高。首先，在模糊数学理论方面，不断追求创新，我国不仅出版《模糊数学》杂志，还出版了许多颇有价值的论著，对模糊数学的研究产生了重要的影响。其次，在模糊信息处理、气象预报、地质勘探、生态环境、企业管理、生物学、心理学等领域，我国学者也取得了一些重要的突破性进展。
[1] 傅海伦，贾冠军著，《数学思想方法发展概论》，山东教育出版社，2009，159。
[2] 高隆昌编，《数学及其认识》，西南交通大学出版社，2011，260。
[3] 傅海伦，贾冠军著，《数学思想方法发展概论》，山东教育出版社，2009，163～164。
[4] 傅海伦，贾冠军著，《数学思想方法发展概论》，山东教育出版社，2009，164。
[5] 傅海伦，贾冠军著，《数学思想方法发展概论》，山东教育出版社，2009，159。
[6] 吴士力编著，《通俗模糊数学与程序设计》，中国水利水电出版社，2008，3。
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