数学思维的一般方法

数学思维的一般方法是指数学思维过程中常运用的基本方法。从数学活动过程来看，数学思维方法大体上可分为两个层次：①经验性思维方法，包括观察、实验、类比、不完全归纳和抽象等，这一层次的思维方法在数学的发现过程中表现得尤为突出；②逻辑思维方法，常用在数学的推理和论证中，包括化归、演绎、分析、综合、形式化及公理化等。因此，从整个数学活动的过程来看，可分为数学发现的思维方法和数学论证的思维方法，值得注意的是，前者包含了猜测、想象和直觉等非逻辑思维的因素。

一、观察和实验

观察和实验是发现与解决问题中最形象、最具体的手段之一。在一般的科学活动中，观察与实验是极为重要的科学方法。观察与实验是收集科学事实，获取科学研究第一手材料的重要途径，是形成、论证及检验科学理论的最基本的实践活动。然而，长期以来，有人认为数学是高度抽象和逻辑性极强的学科，不需形象和具体的思考和操作，推理证明才是数学的主旋律。事实上，这种印象是片面的，越是抽象和复杂就越需要形象和具体的辅助与配合。观察与实验在数学的整个发展过程中起着重要的作用，在数学教学中也应给予充分的重视。

观察法是指人们对周围世界客观事物和现象在其自然条件下，按照客观事物本身存在的实际情况，研究和确定它们的性质和关系，从而获得经验材料的一种方法。

欧拉说过：“数学这门学科，需要观察还需要实验。”实验是人们根据一定的研究目的，利用仪器或工具对周围世界的客观事物与现象，进行人为的控制、模仿，排除干扰，突出主要因素，在最有利的条件下考察和研究它们的性质和关系，从而获得经验材料的一种方法。

20世纪最伟大的数学家冯·诺依曼（L.J.Von Neumann）指出，“大多数最好的数学灵感来源于经验”，从数学发展的意义上来说，数学作为一种源于社会实践的理性构造的学科，当它远离实践的经验之源而发展时，就会逐渐分化成为众多而又无前途的支流。唯一的解决方法就是使其回到本源，返老还童。这种观念，是数学家对数学的一种本质认识。

这种现象在我国现代数学教育尤其是基础教育中长期存在。我国数学教育格外注重形式，注重数学自身的结构，无论数学教学内容、数学习题都远离社会生活，忽视与社会实践问题相连的数学内容，使中小学数学学习变成“已知—求证”式的逻辑演绎形式。学生的数学观察与实验能力没有得到培养，反而几乎完全丧失，学生只会按教师、教材、习题的要求去解题。

通过在数学教学中培养学生的观察和实验能力，学生可以掌握和运用观察和实验的能力，利用自身的个体经验，运用数学解决问题的能力，激发对数学的兴趣及信心。

在数学研究中，通过观察与实验不仅可以收集新材料、获得新知识，而且常常导致数学的发现与理论的创新。观察与实验方法在数学中的运用可以大体分为两个层次：①运用观察和实验来解决和验证数学理论；②运用观察和实验方法来解决具体的数学问题。在中学数学教学中，就是要运用观察和实验方法来解决一些具体的数学习题。

在数学史中，有大量的例子能说明在数学中如何通过观察与实验来发现新的事实、得到新的成果。几何学主要是研究空间物体、图形的形状和大小等性质的学科，在其中，观察和实验的色彩就更为浓烈。在几何学的发展进程中，实验的或者说经验的几何是其中的一个重要阶段。

尺规作图一直是一个实验的过程，人类会作三边形、正五边形和正十二边形，但是在作正七边形、正十一边形和正十七边形时却遇到了极大的困难。这个历史难题被高斯在大学一年级时就解决了。当高斯告诉他的老师时，据说老师不相信竟把高斯赶出了家门。高斯不仅在实验的基础上完成了正十七边形的尺规作图，而且还进一步证明了这个定理：凡边数为费马素数（即22n+1为素数）的正多边形可用尺规作图，当边数是素数但不是费马素数时，这样的正多边形不能用尺规作出。高斯的成功，不仅在于解决了正十七边形的尺规作图，更为奇妙的是，他把22n+1形的数与正多边形的尺规作图联系了起来。

中国古代有一个计算圆弓形的面积公式，这个公式发现于《九章算术》中。c表示圆弓形的弦，s表示从弓形的弦的中点到弓形的弧的中点的距离。由弓形的弧的中点引两条割线，与c的延

长线相交，使得两延长部分都等于s的一半。通过目测可知圆弓形的面积近似地等于由c所在的直线与两条割线围成的等腰三角形的面积。假设这两个面积完全相等，我们便得到了中国古代计算圆弓形的面积公式A=s（c+s）/2,通过这个公式，我们不难推得，计算公式相当于π=3。

在中学数学教学中，数学观察与实验主要被用来观察实际生活中存在的数量问题、空间结构问题。比如作简单的几何图形，观察几何图形的相互位置，从这些观察中自己动手去做、去实践，并得出一些数学结论。

20世纪电子计算机的发展，为数学的实验提供了更多的可能，实验的过程是探索的过程，是发现的过程。数学工作者可以在计算机上做过去只有笔和纸的时代连想都不敢想的事情，“四色问题”就是一个很好的例子。

在数学教学中，为了更好地使学生掌握知识、培养他们的创新意识和能力，要尽可能地再现数学知识和结论的发现过程，因此，观察与实验应成为数学教学中的探索、学习知识的重要方法和开展实践活动的主要形式。

在研究计算圆锥体积公式的教学中，我们常常通过这样的实验作为发现结论的过程，将圆锥内装满水或沙子，然后倒入等底等高的圆柱内，学生通过实验能够发现二者的体积之间的关系。

再如，在探讨球的表面积时，可做如下实验：在一个木制圆盘的中心竖直地钉上一个钉子，再将一个与圆盘的半径相同的木制半球的顶部也钉上一个钉子。现在，把一根粗绳子的一端系在木制圆盘的钉子上，并且围绕着钉子缠绕细的绳子，围着木球的钉子缠绕起来，直到盖满木球为止，再量所用绳子的长度。比较两次绳子所用长度，将会发现，后者非常接近地等于前者的两倍，重复这样的实验，结果总是基本相同。由此，可以猜测这样的结论：该半球的表面积是圆盘的面积的二倍，或者一个球的面积等于其球大圆面积的四倍。

在数学教学中，实验的内涵和形式应该是很丰富的，拼剪图形、折纸是研究几何图形性质的很好的实验形式。而观察则是探求规律、寻找关系的好方法。它可以看成是由n2个点组成的方阵，以大小不同的正方形分成组：1,4,9,…，n2,观察相邻的两组之间有如下关系：n2+（2n+1）=（n+1）2。

如果令2n+1=m2,那么n=m2—12,n+1=m2+12,则有m2+（m2—12）2=（m2+12）2。

上面的式子与毕达哥拉斯定理的形式相同，称m2,m2—12,m2+12为一组毕达哥拉斯数，上面观察图形及分析的过程实际上就是毕达哥拉斯数产生的过程。

200年前，德国数学家哥德巴赫（G.Goldbach）提出了一个命题：“凡大于4的偶数都可以表示成两个素数的和。”由于这个命题至今还未能证明，人们称之为“哥德巴赫猜想”，它的发现完全来自于观察。

概率统计作为数学的一个重要的分支，在其研究中充满了观察和实验。蒲丰（C.Buffon）的投针实验是运用实验法研究几何概率的典型范例。在平地上画出一组间隔距离为一寸的平行线。以一寸长的针（质量均匀的细针）随机地掷到画有平行线的平地上，蒲丰利用实验的方法（具体地投针），验证了利用模型的方法得到的结论，即针与平行线接触的概率为2/π。

同样地，在数列的研究中也充满了观察和实验。数列有许多有趣的性质，就是通过对兔子繁殖问题的观察与实验的基础上得到的。

13世纪初，意大利数学家裴波那契（L.Fibonacci）在他所著的《算盘书》中，提出了一个十分有趣的题目：

“有一个人把一对小兔子放在四面都围着的地方，他想知道一年以后总共有多少对兔子。假定一对小兔子经过一个月以后就长大成为一对大兔子。而一对大兔子经过一个月就不多不少恰好生一对小兔子（一雌一雄），并且这些生下的小兔子都不死。”

这是一个算术问题，但是用普通的算术公式是难以计算的，为了寻求兔子繁殖的规律，我们引进记号：

1表示已长大成熟的一对大兔子；

0表示未成熟的一对小兔子；

用Fn表示在n月1日总共有兔子的对数，用F（大）n，F（小）n分别表示n月1日大兔子的对数和小兔子的对数，则通过观察有：

F1=1，F2=1，F3=2，F4=3，F5=5，F6=8，F7=13，…

经过进一步的观察，兔子的繁殖规律可列成兔子繁殖规律

Fn=F（大）n+1（用实箭头表示）

F（大）n=F（小）n+1（用虚箭头表示）

进一步考虑，又可得：

（1）当n≥1时，由Fn,F（大）n,F（小）n的定义，有

Fn=F（大）n+F（小）n,

Fn=F（大）n+1，F（大）n=F（小）n+1

（2）当n≥3时，由（1）得

Fn=F（大）n+F（小）n

=Fn—1+F（大）n—1

=Fn—1+Fn—2

由以上观察和归纳所得的结果，我们知道当n≥3时，通过F1=F2=1和Fn=Fn—1+Fn—2便可计算出Fn的值。

显然，上面的结果纯粹是建立在观察和实验的基础之上的，是否带有普遍意义，亦即对一切n≥3,n∈N结论是否成立，还需要进行严格论证。但是，这个结果的确给我们带来了解决一般问题的曙光，我们有理由猜想兔子的繁殖规律可以用一个明确的递推关系来描述，即

Fn=Fn—1+Fn—2（n≥3,n∈E）（7.1）

正如当代最著名的数学教育家波利亚（G.polya）所说：“数学家好似自然科学家，在他用一个新观察到的现象来检验一个所猜想的一般规律时，他向自然界提出问题：‘我猜想这规律是真的，它真的成立吗？’假如结果被实验明确证实，那就有某些迹象说明这个规律可能是真实的，自然界可以给你是或非的回答。”对于递推关系式（7.1），其正确性是肯定的，这可以用数学归纳法加以证明，后人为纪念兔子繁殖问题的提出人，将数列{Fn}称为裴波那契数列，这个数列的每一项都叫做裴波那契数，裴波那契数列在数学、物理、化学、天文等学科中经常出现，并且有许多有趣的性质。由于裴波那契数列可用于优选法，因而近年来有越来越多的人去研究它。

在数学解题时，我们往往通过观察寻找特征，实验解题的过程；通过观察与已有知识或方法的联系，实验解决问题的方法；通过观察已知与未知的联系，实验找出它们之间的联系并由此解决问题。

例72求证：1·122·132·…·1nn（2n+1）n（n+1）2,（n∈N且n≠1）

思考与分析：

观察1,本题与n∈N有关，可以考虑利用数学归纳法证明。

观察2,从式子的数量特征上仔细观察，发现

n（n+1）2=1+2+3+…+n

1·122·132·…·1nn=11个·12·122个…1n·1n…1nn个（72）

或（72）中有（1+2+3+…+n）个乘数，且这些乘数之和为

1+12×2+13×3+…+1n×n=n

利用几何平均数与算术平均数

1·122·132·…·1nn（1+12+12+…+1n+1n+…+1n）×11+2+…+n1+2+3+…+n=nn（n+1）2n（n+1）2=（2n+1）n（n+1）2

观察与实验的方法，是强调参与和实践的方法，它也可以为解题做些准备。在中学数学学习和数学教学中，应当学会利用观察与实验来证明或帮助数学公式、定理的证明。例如关于多面体顶点数V、面数E、棱数F关系的欧拉公式：E+V—F=2,就可以通过观察和实验说明或证明它的正确性。

总之，由于初等数学的学习是对数学的基础知识和对数学与日常生活中密切相连部分的学习，所以无论是从数学的手段还是从数学的目标来说，观察与实验都有着十分重要的作用。

二、类比与猜想

类比是根据两个数学对象的一些属性相同或相似，猜测另一些属性也可能相同或相似的思维方法。类比分为简单类比和复杂类比两类。

简单类比是一种形式性类比，它具有明显性、直接性的特征，其模式为

对象A具有属性a、b、c,

对象B具有属性a、b，

猜测对象B具有属性c。

比如，由一元二次方程必有两个根（实根或复根）的事实，猜测：一元三次方程很有可能有三个实根或复根。

复杂类比是一种实质性类比，需要通过较为深入的分析后才能得出新的猜测，其模式为

h蕴含A,

h蕴含B,B真，

猜测：A可能真。

类比是发现问题和解决问题的一种常用思维形式。在中学数学中，常用的类比包括平面与空间的类比、数与形的类比、有限与无限的类比等。两个数学对象结构相似，是类比的出发点和关键。

例如，对于如下两个命题：

（1）若x、y∈R,则x2+y2>2xy。

（2）在平面内，若两直线被三条平行线所截，则截得的对应线段成比例。

通过类比，可以得到两个新的命题：

（1′）若x、y、z∈R,x、y、z≥0,则x3+y3+z3≥3xyz。

（2′）在空间，若两直线被三个平行平面所截，则截得的对应线段成比例。

例73解方程组x+y+z=3,

x2+y2+z2=3,

x3+y3+z3=3.

分析降低未知数的次数，同时减少未知数的个数，得到类比方程组

x+y=2,

x2+y2=2.

该方程组用韦达定理来解较简单，因为xy=12［（x+y）2—（x2+y2）］=1,所以x、y是一元二次方程t2—2t+1=0的根，从而得x=y=1。现将此方法类比到原方程组，x、y、z应是某个一元三次方程的三个根，设法找出这个一元三次方程。因为xy+yz+zx=12［（x+y+z）2—（x2+y2+z2）］=3,又（x+y）（y+z）（z+x）=13［（x+y+z）2—（x2+y2+z2）］=8,即（3—z）（3—x）（3—y）=8,得27—9（x+y+z）+3（xy+yz+zx）—xyz=8,由此解得xyz=1,于是由韦达定理知x、y、z是方程t3—3t2+3t—1=0的根，解得x=y=z=1。

猜想往往伴随着类比、归纳的思维过程。由于类比和不完全归纳所得的结论不一定正确，因此，猜想的数学命题或结论应当采用严格的方法去证明它，或者用实例反驳它。

三、归纳与演绎

归纳是通过对某类数学对象中若干特殊情况的分析得出一般性结论的思维方式。归纳分为不完全归纳和完全归纳两种类型。

通过观察和实验等途径，可以获得大量的各种经验材料，这些都是数学发现的基础，然而，还需要对经验材料进行逻辑组织，归纳法正是经验材料的数学组织化方法。

归纳是指通过对特例的分析去引出普通的结论。因此，归纳法是由个别的、特殊的事例推出同一类事物的一般结论的方法。简而言之，是由特殊到一般的推理方法。归纳法按照研究的对象是否完全，可以分为完全归纳法与不完全归纳法。

完全归纳法是根据某类事物中的每一事物都具有某种性质而作出该类事物都具有这种性质的一般性结论的归纳推理方法。完全归纳法分为穷举归纳法和类分法两种形式。

穷举归纳法的推理形式如下：

x1具有性质F

x2具有性质F

……

xn具有性质F

（x1,x2,…，xn=A）

A类事物具有性质F

类分法的推理形式如下：

A1具有性质F

A2具有性质F

……

An具有性质F

（A1∪A2∪A3…∪An=A）

A类事物具有性质F

区别：前者对某类事物的每一个对象作逐一考察，后者将某类事物（可含无穷多个对象）划分成几个子类逐一研究。完全归纳法是一种严格的推理方法，所得的结论是可靠的，在数学中可以用来进行证明。

不完全归纳法是根据考察的一类事物的部分对象具有某种性质，作出该类事物都具有这种性质的一般性结论的归纳推理方法。

不完全归纳法的推理形式如下：

x1具有性质F

x2具有性质F

……

xn具有性质F

（x1,x2,…，xnA）

A类事物具有性质F

由于不完全归纳法仅仅对一类事物的部分对象的考察，就做出该类事物具有一般性结论的判断，结论不一定可靠，只是一种合情推理，其结论正确与否，还需要理论的证明和实践的检验。

不完全归纳法是提出归纳法的一种常见的方法。例如，哥德巴赫猜想就是用这种方法提出来的。哥德巴赫首先发现对于较小的自然数，把一偶数拆成若干组两个奇数之和，其中至少有一组是两个奇素数，把一奇数拆成若干组三个奇数之和时，其中至少有一组均为奇素数。然后，他根据这些最初的有限验算，大胆提出了猜想：所有每个大于4的偶数都可以表示为两个奇素数之和。

例如，1664年，法国数学家费尔马研究了形如F（n）=22n+1的数（n≥0的整数），并具体计算出以下五个数：

F（0）=220+1=2+1=3,

F（1）=221+1=22+1=5,

F（2）=222+1=24+1=17,

F（3）=223+1=28+1=257,

F（4）=224+1=216+1=65537。

由于上述这五个数都是素数，费尔马用不完全归纳法提出以下猜想：任何形如22n+1（n∈N）的数（通常称为费马数，记作Fn都是素数），这就是著名的费尔马猜想。但半个世纪后，善于计算的欧拉发现，第五个费马数F5=225+1=4294967297=641×6700417并非素数。

利用不完全归纳法提出数学猜想不仅表现在通过一些个别计算结果作出一般判断，而且还表现在通过一些特殊推理作出普遍结论。

例如，我国数学家柯召和孙琦研究了方程：

xn+（x+1）n+…+（x+h）n=（x+h+1）n（7.3）

并具体地证明了在1≤n≤33时，只有正整数解：

①当n=1,h=1时，x=1,

②当n=2,h=1时，x=3,

③当n=3,h=2时，x=3。（7.4）

同时还证明了方程（7.3），当n为素数时，除具有①和③两个正整数解以外，无其他正整数解。根据上述推理，柯召和孙琦猜想：方程（7.3）除解（7.4）以外，无其他正整数解。现已证明，当1≤n≤400时，此猜想成立。对于n>400的情形，至今尚未见到证明。

不完全归纳法仅考察了事物的部分对象，就得出了关于事物的一般结论，因此结论带有猜测成分。前提与结论之间的联系就不一定真实、可靠，所得的猜想还必须经过严格的论证。但是这一方法的主要意义在于发现问题，是数学创造性思维的一种基本方法，同时它在数学解题中发挥着启发思路的重要作用。

演绎法是从一般性原理走向个别结论的方法，即依据某类事物共同具有的一般属性和关系，来判断该类事物中个别事物所具有的属性和关系的思维方法。通常，在依据已知的事实或真命题去进行推理的方式都是演绎推理。演绎推理是数学证明中最常用的严格推理形式，它对于训练学生的技能技巧、发展学生的逻辑思维能力均有重要的作用。

在一切思维方法中，演绎法最早从古希腊开始，就引起人们的注意。在数学史上，数学家们从原始概念和公理出发，运用演绎思维得出一批定理，然后如此循环往复，层层推理，使数学得到发展。欧几里得几何学就是一个演绎推理系统，它以几个不证自明的公理作为出发点，推理证明其他的命题，从而得到一系列几何定理，形成一个完整的公理化体系。欧氏几何推理精巧严密，论断深远清晰，但其结构却很单纯，全部结论都是通过演绎方法获得的。

在解决数学问题时，归纳与演绎两种思维方法往往交替出现，由归纳法去猜测问题的结论或猜测解决问题的方法，再用演绎去完成严格的推理证明。

例7.4化简（1—14）（1—19）·…·（1—1n2），（n≥2,n∈N）。

可设Mn=（1—14）（1—19）·…·（1—1n2），则M2=34,M3=23,M4=58,M5=35,…于是由不完全归纳猜测，Mn=n+12n。然后应用数学归纳法去演绎证明，得到此猜想为真。

归纳和演绎这两种科学研究中的基本逻辑方法，既相互区别，又相互补充；作为一个完整的思维过程，相互依存，彼此间存在着辩证关系，即：演绎是归纳的指导，归纳是演绎的基础。一切科学真理都是归纳和演绎的辩证统一。

归纳是从个别到一般，但这个归纳过程，既非盲目的，也非随机的。归纳什么，如何归纳，都必须在一定的指导思想之下进行；否则，个别的属性多种多样，是无法用归纳法得到正确的科学结论的。从实际材料进行归纳时，必须进行选择。这个选择必然是在一定思想指导之下进行的，而这个指导思想则往往是演绎的结论。没有演绎法作为归纳的一般指导，就不可能有归纳的科学成果，就不可能有新知识的积累。

归纳是演绎的基础。演绎的大前提是一般，它来自何处呢？一般来说，它来自经验的归纳，演绎是从归纳结束的地方开始的。没有个别就没有一般，没有归纳也就没有演绎的基础。例如，物理学许多定理的演绎出发点“能量守恒及转化定律”就是在千百万个经验事实的基础上归纳产生的。

归纳和演绎是互为条件、互相渗透的，在一定条件下还会相互转化，归纳出来的结论转化为演绎的前提，归纳就转化成了演绎；演绎的结论往往又是归纳的指导思想，演绎又转化为归纳。人们正是在归纳和演绎的交错中，从个别到一般，又从一般到个别，使思想不断丰富发展，对自然界的认识才不断深化。

四、分析与综合

分析法是指要证明一个命题是正确的，思考问题时可以由结论向已知条件逐步追溯。也就是说，先假设命题的结论成立，推出它成立的原因，再把这些原因看成新的结论，再推求使它们成立的原因，如此逐步往上追溯，直到推出已知条件或已知的事实为止。简述之，就是执果索因。像这样的思维方法叫做分析法。分析法的基本模式是“结论…已知。”

如果在追溯过程中，每一步都是可逆的（就是任何相邻的两个论断都是互为充要条件的，或者说是等价的），那么这样的分析法我们还称之为逆证法。

分析法的思考顺序与综合法相反，例如欲证若A则D,是从D出发，逐步上溯，寻求D成立的原因。（如C,C1,C2）而后再寻求C,C1，C2成立的原因（如B,B1,B2,B3,B4），如果其中之一如B成立的原因恰好为已知条件A,于是便得到命题的推论途径“DCBA”，。分析法思考的方向是比较明确的，是中学阶段分析证题常用的一种方法。

分析法与综合法比较，其优点是执果索因，思维目标较为清晰，思路也较为集中，易有成效，比较容易找到问题解决的途径。缺点是叙述不易得当，分析者知道怎么回事情，但很难完整表述出来。

例7.5在图△ABC中，已知∠B=2∠C

求证：AC2=AB2+AB·BC

思考与分析

此题用分析法探索时，其思路如下：

要证D：AC2=AB2+AB·BC,

只要证：C：AC2=AB（AB+BC）

C1：AC2—AB2=AB·AC

C2：AC2—AB·BC=AB2

凭直觉猜测，C可能是通向已知条件的途径，下面对C继续追索。要证C：AC2=AB（AB+BC），只要证ACAB+BC=ABAC。从这里我们设想构造一个以AC为一边，另一边等于AB+BC且与△ABC相似的三角形。为此，延长AB到D,使BD=BC,连接CD（见图76）。则AD=AB+BC于是，要证ACAB+BC=ABACACAD=ABAC△ACB≌△ADC证∠D=∠ACB（因为∠A为公共角）证∠ABC=2∠D。

根据辅助线的作法，这是很容易得证。因此命题得证。

注意：本题也可在AC上取一点E,将AC2转化为AC·AE+AC·EC来进行探索。

例7.6（1）证明：当m>0时，m+4m2≥3;

（2）证明：如果a,b,c,d是正数，那么（a+c）（b+d）≥ab+cd

思考与分析：

（分析法）（1）假设原不等式成立。

由m+4m2≥3（m>0）

m3—3m2+4≥0

（m+1）（m—2）2≥0

显然，这个不等式成立。从变换中所得的每一个不等式都可以得到它前面的一个不等式，所以，原不等式成立。

（2）假设原不等式成立。

由（a+c）（b+d）≥ab+cd

（a+c）（b+d）≥ab+cd+2abcd

ab+cd+bc+ad≥ab+cd+2abcd

bc+ad≥2abcd

（bc—ad）2≥0

显然，这个不等式成立，从变换中所得的每一个不等式都可以得到它前面的一个不等式，所以，原不等式成立。

例7.7设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A,与CF的延长线相交于点B,求证：BFAE=BC3AC3

思考与分析假设所求证的等式成立。

由BFAE=BC3AC3

BF·ACAE·BC=BC2AC2

BF·ACAE·BC=BD·ABAD·AB=BDAD（射影定理）

BF·ACAE·BC=BFDE（∵△BDF∽△ADE,∴BDAD=BFDE）

ACBC=AEDE

显然这个等式成立（∵△ABC∽△ADE），并且每一都是可逆的，所以原等式成立。

综合法是指在证题时，从已知条件出发，经过一系列已确定的命题逐步推理，结果或是导出前所未知的命题，或是解决了当前的问题，像这样的思维方法就叫做综合法。综合法的要点就是由已知条件（包括各方面的已确立的命题）推导出所要证明的结论。综合法与分析法的关系极为密切，可以说分析法是综合法的前提。综合法的模式是“已知…未知。”

例如，证明命题“若A则D”，则思路大致。

由A往下看，观察可到达D的途径是ABCD但由A推出的性质未必唯一（如B,B1,B2），而由B,B1,B2推出的性质更多（如C,C1,C2,C3,C4），这样由其中哪一个能推出D就还需要进一步分析，因而整体思考过程未必简捷，但它也有层次清楚的优点，因此证题时常常首先考虑综合法。综合法的推理形式是分离原则或蕴涵的传递性，上述命题的推理途径包含三个推理可表示为：［（A→B）∧（B→C）∧（C→D）］→D。

一般我们在分析题目时用的是分析法，分析法在书写格式方面不够清晰，那么在书写过程中就采用综合法的模式（由已知条件推理证明）更符合我们的思维习惯。

例7.8已知四边形ABCD内接于⊙O,AC⊥BD,OE⊥AB于点E。

求证：OE=12CD

思考与分析我们可以采用分析法进行分析，其思维过程如下：

由OE⊥AB可知E是AB的中点，作直径AG,连接GB,于是OE=12GB,

欲证OE=12CD,只需证GB=CD即可，因此，可改证∠BAG=∠CAD,而AC⊥BD于p,GB⊥AB,所以只需证明∠AGB=ADp即可，然而∠AGB和∠ADp是同弧上的圆周角，当然相等。

证明的书写过程我们可以采用综合法进行。

证明：作直径AG,连接BG,则GB⊥AB

∵OE⊥AB于E,∴E是AB的中点

∴OE=12GB

又AC⊥BD,GB⊥AB且∠ADp=∠BGA

∴∠DAp=∠BAG

∴CD=GB

∴OE=12GB=12CD

例79已知a1b1

思考与分析由已知，

得a1b1=a1b1

a1b2

a1b3

……

a1bn

把各不等式相加，得a1（b1+b2+b3+…+bn）

又anbn=anbn

anbn—1>an—1bn

anbn—2>an—2bn

……

anb1>a1bn，

把各不等式相加，得

an（b1+b2+b3+…+bn）>bn（a1+a2+a3+…+an）

即a1+a2+a3+…+anb1+b1+…+bn

综合上面两种情况有：

a1b1

例710已知a,b都是正数，且a2+4b2=23ab,

求证：2lga+2b3=（lga+lg3b）

思考与分析：根据条件A：a2+4b2=23ab,a,b>0。

可以推出：

B：a2+4ab+4b2=27ab

B1：a2=b（23a—4b）

B2：a=23±3572b

又由B可以推出：

C：（a+2b3）2=3ab

C1：a+2b=±33ab

再由C可以推出：

D：2lga+2b3=lg3ab=lga+lg3b

分析是在认识上把事物的整体分解成各个部分、个别特性或个别方面。综合是在认识上把事物的各个部分或不同特性、不同方面结合起来。

思维过程是从对问题的分析开始的。思维的分析可以有过滤式的分析和综合的有方向的分析两种形式。前者通过尝试对问题情境作初步的分析，淘汰那些无效的尝试。后者是通过把问题的条件和要求综合起来而实现的分析，这种分析带有指向性，是思维分析的主要形式，是思维活动的主要环节。

例7.11用6根火柴做出4个等边三角形。通过分析思维从平面几何跳跃到立体几何上。

分析和综合是方向相反而又紧密联系的过程，是同一思维过程中不可分割的两个方面。分析总是把部分作为整体的部分分出来，从它们的相互联系上来分析，而综合则是对分析出的各个部分、各个特性的综合，是通过对各部分、各特性的分析而实现的。分析为了综合，分析才有意义；综合中有分析，综合才更完备。任何一个比较复杂的思维过程，既需要分析，也需要综合。

例7.12化简a3—3a+（a2—1）a2—4—2a3—3a+（a2—1）a2—4+2（a≥2）

由于对分式化简主要是进行约分，而约分要求分子、分母的最终形式是积的形式，而且要有公因式，为此，先对分子，分母进行因式分解。

运用分析与综合思维方式操作如下：

（1）把分式分成分子与分母两部分，然后分别对其进行研究。（系统分析）

（2）把分子拆成来两部分a3—3a—2与（a2—1）a2—4,再分别考察。a3—3a—2=（a—2）（a+1）2

（a2—1）a2—4=（a—1）（a+1）（a—2）（a+2）（过程分析）

（3）把（2）中的两部分合在一起，有

（a—2）（a+1）2+（a—1）（a+1）（a—2）（a+2）

=（a+1）a—2［（a+1）a—2+（a—1）a+2］（过程综合）

（4）对分母同样用此法（过程分析、过程综合）

（5）将分子与分母和在一起，得到对问题的最终答案（a+1）a2—4（a—1）（a+2）。（过程综合）

分析与综合是对于感性材料的较低级的加工，较高级的加工是抽象与概括。

五、特殊化和一般化

特殊问题的解决是比较容易和简单的。特殊化就是把数学问题中包含的数量、形状、位置关系等加以简单化、具体化、单一化、边缘化。也就是说，当数学问题的一般性不十分明显时，我们从特殊的数、形的数量关系和位置关系入手，由特殊性质推出一般性质，从中找到解题方法或构成解题起点。

在解题过程中，对于一时难以入手的一般问题，一个使用最普遍而又较为简单易行的化归途径，乃是把它向特殊的形式转化，这就是特殊化法。由于特殊的事物与简单的事物有着自然的联系，所以这种方法有两种类型：一是从简单情形入手，作为解决一般问题的突破口；二是从特殊对象考察（包括着眼极端情形），为求解一般问题奠定基础。特殊化是把所研究的数学问题从原来的范围缩小到一个较小范围或个别情形进行考察研究的思维方法。一般化则是与特殊化相反的思维方法，即将研究对象从原来范围扩展到更大范围进行考察和研究。特殊化思想的作用表现为两个方面。

首先，特殊化可以指将一个数学问题特殊化，从而得到一个新的数学问题。通常可将所研究的问题视为一般性问题，按照增加约束条件，取其局部或个别情形得到特殊性的问题。

例如，对于二项式定理：

（a+b）n=an+C1nan—1b+…+Cknan—kbk+…+bn。

令a=1,得（1+b）n=1+C1nb+…+Cknbk+…+bn。

令a=b=1,得C0n+C1n+…+Ckn+…+Cnn=2n。

只要取a、b为特殊的值，便可得到一系列的组合数求和式。由此可见，特殊化不仅具有演绎推理的功能，而且是发现问题、进行数学研究的方法之一。

其次，特殊化通过对特殊和个别的对象分析去寻求一般事物的属性，以获得关于所研究对象的性质或关系的认识，找到解决问题的方向、途径或方法。通常我们所说的特例、反例分析法等，都属于这种情形。

例7.13过△ABC的重心G作一条直线l,把△ABC分成两部分，求证：这两部分的面积之差不大于△ABC面积的19。

思考与分析考虑特殊情形。设l平行于△ABC的任意一条边BC。过点G作EF∥BC,则AE=23AB,AF=23AC。所以

S△AEF=12AE·AF·sinA=49·12AB·AC·sinA=49S△ABC。

S四边形EBCF—S△AEF=（S△ABC—S△AEF）—S△EF=19S△ABC。

这表明，当l平行于△ABC的任意一条边时，命题成立。

现考察一般情形。过点G任作一直线l,与AB、AC分别相交于点M,N。根据前面特例所得的结果，现只需证明S四边形MBCN—S△AMN≤S四边形EBCF—S△AEF。作ED∥AC交MN于点D,易知△GED△GFN,由此得S四边形EBCF—S四边形MBCN=S△EMD,S△AMN—S△AEF=S△EMD。所以S四边形EBCF—S四边形MBCN+S△AMN—S△AEF=2S△EMD≥0。此不等式当且仅当MN与EF重合时取等号，所以S四边形MBCN—S△AMN≤S四边形EBCF—S△AEF=19S△ABC。

从上面的例题告诉我们，在某些情况下，特殊化能充分揭示事物的本来面目。像例题7.13中，我们利用图形的特殊位置，不仅得到了要求的结果，而且也找到了正确的解题途径。

总之，数学问题的特殊化，可以通过数目的减少、数值范围的缩小、维数的降低、元数的减少、任意图形转化为特殊图形等手段来实施。而特殊元素的选择，往往是中点、端点、定值、零值、垂直、平行、特殊的数和形等等。

事物的共性存在于个性之中，个性体现了共性，特殊化方法是我们在数学解题中探索和发现的重要途径。当然，我们从特殊入手的目的在于探索解决一般问题的方法，特殊情况是观察一般情况的一个窗口，但不能代替一般情况的研究，否则就会以偏概全，导致错误，因为在特殊情形成立的命题，在一般情形下未必正确。如在前面的大部分例子中，在特殊化情况使问题变得明朗后，必须就一般情况给出证明。另外，特殊情形和特殊元素的选择必须恰当，要具有代表性。

当然，特殊化并非万能的，虽然在不少情况下特殊化可以起到一定的作用，但在很多情形中，特殊化得不到什么结论，或虽然能得到一些结果，但对一般情形的分析和讨论并没有什么帮助。因此，我们在实践中必须具体问题具体分析，什么时候不能用特殊化考虑，必须作细致的研究。

与特殊化的途径相反，在对一般形式问题比较熟悉的情况下，将特殊形式的问题转化为一般形式的问题，这就是一般化法。这种方法是通过找出特殊问题的一般原理，把特殊问题从原有范围扩展到包含该问题的更大范围来进行考察，从而使得我们能够在更一般、更广阔的领域中使用更灵活的方法去寻求化归的途径。例如，在研究数的问题时，可以用一般化法把它化为式的问题来研究；在研究方程和不等式时，也可以用一般化法把它们置身于函数之中来处理。

一般化的思维作用也表现在两个方面：其一是对数学问题或研究对象的一般化，以求得更具一般性的结论；其二是数学方法的一般化，寻求解决一类问题的普遍方法。

对数学问题的一般化，常采用放宽或取消某些约束条件，或将结论中的数量或关系普遍化。例如，由23>3!,35>5!,推广到一般结论（n+12）n>n!（n∈N）。又如，将

4—32,5—43—2,

推广到n—n—1

更一般地，a—a—1

当然，更多命题的推广不是像上述例子那样简单地由一维向多维的“形式”推广，而要经过类比、归纳和分析后方能得到。如将勾股定理推广为余弦定理，将等差数列推广为高阶等差数列等。

数学方法的一般化，是指将解决某一问题的方法推广为解决某类问题，形成一种固定的模式或程序。像解方程和不等式等，就形成了一定的程序或模式，在中学数学中，数学方法的一般化随处可见。事实上，命题、公式、法则等都是方法一般化形成的模式。解一元二次方程的基本方法是配方法，若对于每个具体的二次方程都采用配方法去解，则要做许多重复的劳动，而将问题一般化，对一般的二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）运用配方法统一处理，得出解决问题的公式，便解决了所有一元二次方程的求根问题。因而从一定意义上说，模式化也是数学研究追求的目标之一。

应当指出的是，借助于一般性问题来解决特殊性问题，有时往往会出奇制胜，这也是一般化思维的一个功能。例如，求证5099>99!。证明比较困难，而证其一般化后的命题：（n+12）n>n!（n∈N），则十分容易。

事实上，n+12=n（n+1）2·1n=1+2+…+nn>n1·2·…·n（n+12）n>n!。

例714求证（1+1998）2000—（1—1998）20001998必为整数。

思考与分析我们可以考虑更一般的问题，去研究（1+x）2000—（1—x）2000x（x∈R,且x≠0）是怎样的多项式。

令f（x）=（1+x）2000—（1—x）2000,显然它是整系数多项式。由于恒有f（—x）=—f（x），故f（x）是只含奇次项的整系数多项式，从而f（x）x就是只含有偶次项的整系数多项式。于是，只要令x=1998即可证得原问题。

例715（1）已知a、b为实数，并且eba。

（2）如果正实数a、b满足ab=ba,且a1,证明a=b。

思考与分析当eba,只要证blna>alnb,即证lnaa>lnbb。该不等式两边具有相同结构，为此构造函数y=lnxx（e

当x>e时，y′=x·1x—lnxx2=1—lnxx20,

所以y=lnxx在（e,+∞）上是减函数。当elnbb,进而有ab>ba,即（1）得证。

欲证（2），同样采用一般化法。

∵00,∴ab1,从而ba=ab1。

又由ba1,a>0,可以推得b1。也就是有0

由ab=ba,即lnaa=lnbb,欲证a=b,其实质还是考察函数f（x）=lnxx（0

当x∈（0,1）时，f′（x）=1—lnxx2>0。即f（x）在（0,1）上为增函数。如若a≠b,那么f（a）≠f（b），这是不可能的（与f（a）=f（b）矛盾），故必有a=b。

一般化就是把数学问题中的数量、图形形状和位置关系等给予普遍化、抽象化、规律化。也就是说，我们为了解题的需要放开或改变一些条件的限制，考察和研究具体的目的。

我们知道，证明一个一般的命题通常要比证明一个特殊的命题困难得多。然而，我们在前面讨论的几个例子中看到，在解决有些问题时，普遍性的问题可能比特殊的问题更易于解决。

总之，一般化可以探索问题的本质，概括规律，强化命题，发展知识或判别解法的正确性，它既是探索的方法，也是推广命题的方法。

特殊化和一般化是两种相辅相成的思维方法。解题中使用特殊化是为了探求一般性结论，使用一般化是为了通过一般性结论的成立说明其特殊情形成立或推广命题。因此，当一般性的问题很难立刻找到解题方法时，不妨将其向特殊方向转化，而当有些特殊的问题涉及过多无关宏旨的枝节，掩盖着问题的本质时，往往转化为一般的情形更容易解决。

特殊化和一般化反映了人类的两种认识过程，即由特殊到一般和由一般到特殊。这两种过程循环往复，每一次循环都可使人类的认识提高一步。数学也正是在这一循环往复中发展并丰富其内容的。

六、抽象与概括

抽象和概括都是一种思维过程。抽象是指将一类对象的某一共同特性与其他特性加以分离。数学中的抽象更多的是科学抽象，即是从空间形式和数量关系的角度，去区别对象的本质特征与非本质特征，并舍弃非本质特征，把握其本质特征的思维过程。例如，由数字到文字的抽象，由常量到变量的抽象，由有限到无限的抽象，这是中学代数的三次大的飞跃。

概括是指把从部分对象中抽象出来的某一属性推广到同类对象中去，从而形成关于该类对象的一般性的、普遍性的认识。所以概括的过程，也是思维由个别到一般的过程，是个别和一般相结合的过程。

在实际的思维过程中，抽象和概括常常是紧密联系的。抽象是概括的基础，没有抽象，就无从谈及概括；而概括又是抽象的目的，没有概括，就不能把握某类事物的共同本质，认识也就不能上升为普遍性、规律性的认识，抽象也就失去了意义。因此，它们是一对相互依存、不可分离的伴侣。

抽象概括就是在研究目标的指导下，揭示出某类部分对象的本质属性，并把这些对象的共同本质属性联合起来，然后合理地推广到同类对象的全体，形成关于该类对象的一般性认识的一种思维形式。

七、比较与分类

比较是在认识上把对象和现象的个别部分、个别方面或个别特征加以对比，确定被比较对象的共同点、区别，及其关系。比较的特点是在某一事物某方面进行比较。比较离不开分析和综合，分析和综合是比较的基本过程和组成部分。

有比较，才有鉴别。人类认识一切客观事物，都是通过比较来实现的，没有比较就不能认识事物。通过事物之间的比较，学生便于明确事物的本质特征。教学中经常使用的比较形式有两种：同类事物的比较和不同类却相似、相近或相关的事物间的比较。

例如通过各种圆的比较，明确圆的定义，以及等腰三角形和等边三角形的比较。

例7.16a+b1+a+b≤a1+a+b1+b

思考与分析对不等式左、右两边的每一个表达式在结构上进行比较，其外形皆相似于x1+x，因此构造函数y=x1+x（x∈［0,+∞］），可验证此函数在x∈［0,+∞］为单调递增。

分类是通过比较，按照事物间的异同程度，对事物加以分门别类的思维方法。分类是建立在比较基础上的思维方式。数学中的分类包括概念的划分、性质的归类、方法的整理以及解题中的分类讨论法等。

八、具体化

思维过程的最后一步往往是具体化。具体化有两种形式：一是从一般过渡到特殊，如从一般三角形的面积公式过渡到直角三角形的面积公式；另一种是通过揭示一般的各种不同特征和性质，以具体的内容充实、丰富一般。

总之，思维是借助于比较、分析、综合、抽象、概括、具体化而形成的一个完整过程。