探索方法,精益求精

探索方法,精益求精——《二次函数的值域》教学案例分析

陆丰市林启恩纪念中学　林敏燕

二次函数的值域是高中数学函数内容的一个重点内容,也是高考数学常考的一个知识点。在高三的复习中,常有同学犯错。因此,在讲函数的值域的开始,如果能把这个问题讲清楚,就能为以后的学习打下基础,避免不必要的错误。

上课开始,我就开门见山把问题抛出:“同学们,上节课我们学习了函数的定义及函数的三要素,这节课我们来研究一下如何求二次函数的值域,下面看到三个问题:

(1)求函数f(x)=x²+4x+3(x∈R)的值域；

(2)求函数f(x)=x²+4x+3(x≥0)的值域；

(3)求函数f(x)=x²+4x+3(-1≤x≤2)的值域。

首先,你能发现这三个问题有什么不一样吗？”

一位同学马上站起来说:“这三个问题都是求值域,而且函数的解析式相同,定义域不同。”

我接着说:“对,下面我们从最容易的第(1)题开始,看看哪位同学先解出来,先解出来的请举手。”

三分钟后,有同学甲举手:“老师,我做出来了。”

我点点头,对全班同学说:“我们请这位同学甲来黑板上写一写他的做法,并说明理由。”很快,这位同学甲写下了:

∵f(x)=(x+2)²-1,(x+2)²≥0,

∴f(x)≥-1。

∴函数f(x)的值域是[-1,+∞)。

他说:“我先把二次函数配方,再利用一个数的平方是非负数,就得到了函数的值域。”

我赞许地点点说:“这位同学甲做得好,简单有效,值得学习。”

我继续问:“还有哪个同学用的方法不一样？”

全班同学沉思了几分钟后,同学乙举手发言:“老师,我有不同的方法。”

我高兴地说:“好,请你上面把你的做法写出来给大家学习。”

同学乙在黑板上写下了:

由于函数f(x)的图象是开口向上的抛物线,它的顶点坐标是(-2,-1),而顶点是图象的最低点,所以它的纵坐标是函数f(x)的最小值。所以函数f(x)的值域是[-1,+∞)

同学乙在讲台上说:“我是利用二次函数的图象,开口向上有最低点,开口向下有最高点,顶点坐标可以用公式求得。”

我对大家说:“你们觉得这种方法好不好？”

全班同学异口同声:“好!”

我说:“这种方法结合了图象,不用配方,只要记住图象或记住顶点坐标公式就行,也是一种好方法。”

我接着问:“你们看看第二题,它与第一题相似吗？能用第一题的方法来做第二题吗？”

同学们若有所思,马上用笔动起了手。

没有过多久,有同学丙举起来了,兴奋地说:“老师,用配方法来做很容易啊!”

我示意她上来书写。

她很快就写下:

∵x≥0,∴(x+2)²≥4。

∴f(x)=(x+2)²-1≥3。

故函数f(x)的值域是[3,+∞)。

我高兴地表扬了她:“好,同学丙理解得很快,充分利用了第一道题的解题方法。这个例子告诉我们,当我们遇到一道比较不好下手的题目时,可以思考:你做过类似的问题吗？能借鉴类似问题的处理方法吗？或许你就很容易找到问题的突破口。”

我进一步启发全班同学:“第二道题或许也能用二次函数的图象来做,大家想想看,当x≥0时,二次函数的图象还是抛物线吗？如果不是,那么应该是什么？”

课堂气氛达到高潮,大家都动手画了起来。

很多同学都画好了,举起了手。我问同学丁:“你画的图象是什么？”

丁回答说:“是抛物线的一部分,是x≥0的那一部分。”

我又问:“你得到了函数的值域吗？”

丁说:“因为只有一部分,最低点是(0,3),所以函数的最小值是3,值域是[3,+∞)。”

我继续发问,把问题慢慢地引到第三个问题,最后师生总结出一般情况下二次函数的值域求法二种求法及每一种方法的步骤,顺利地完成了这节课的教学目标。

通过这一个教学案例,我深深感受到数学思想在课堂教学中的巨大作用。数学总是要从易到难,从简单到复杂,同时要让学生有一个接受的过程,让学生觉得问题的解决是自然的。思路不是从天而降的,而是从简单问题中得到启发的。在课堂教学中如果做到这一点,这节课一定是成功的,因为教师让学生感受到了数学的简单美,不会觉得数学解题是遥不可及的事情。

高中数学课堂向来比较枯燥乏味,最大的原因是学生觉得太难,不可理解。如果一个人觉得一件事情是简单而有趣的,一定不会没有兴趣。我们教师的最大任务就是要把这些枯燥乏味的数学知识,让学生觉得是自然的、简单的、有趣的知识。在课堂教学中,总结也是非常重要的。有些学生的确理解能力有限,教师要把问题转化为一个程序化的过程,让学生最少知道当他遇到这种问题时,应该分哪些步骤来做,而这些步骤是学生可以完成的。这样下来,学生对每节课的任务就会明确,觉得学有所获,上课自然就有兴趣。

通过这一个教学案例,我也深深感受到生本教育在课堂教学中的重要性。第一,在课堂教学中,环境和气氛要和谐,不能在课堂上专门提高尖子生,要做到一视同仁；第二,要信任所有的学生,要有信心用自己的教学方法能使学生都能接受；第三,教学方法要因人而异,不同的学生,教学方法要改变；第四,要做到让学生来表现自己的思想。许多教师都是解题高手,但是不能把课堂变成老师表演的舞台。真正的解题高手,是要把课堂变成学生表演的舞台,因为学生才是学习的主体。

在高中数学的课堂教学中运用生本教育理念与新课标的要求是一致的。如何更好地发挥学生的主观能动性,如何更好地调动学生的积极性,将会是我们高中数学老师一个永远的话题。