教学中引导学生“巧思妙解”

教学中引导学生“巧思妙解”——谈谈“胡政铨放缩公式”的应用

段兴仁

教学中，教师要鼓励学生结合具体问题，进行大胆的尝试、猜想、联想，引导学生能从多角度思考问题，做到“多思”出“多解”，“多解”出“巧解”，使学生的智慧在丰富多彩的数学活动中得以“闪光”，从而培养学生思维的灵活性和创造性。

九江一中2010届高三(16)学生胡政铨同学在学习数列型不等式的证明中，巧思出一个让人耳目一新的放缩方法，我把其称为“胡政铨放缩公式”，现介绍如下:

一、胡政铨放缩公式:

二、理论依据:

分式性质

三、应用:

例1　已知:，的前n项之积T_n，(n∈N^*)

求证:

分析:

分析:

要证

只需证明:

即证:

常用方法:先用数学归纳法证明一个加强命题:

(1+ x₁)(1+ x₂)(1+ x₃)…(1+ x_n)≥1+(x₁+ x₂+ x₃+…+ x_n)(1+ x_n＞0，n∈N^*)

即证:

(数学归纳法证明过程略)

利用胡政铨放缩公式:

再相消

例2　(2006年江西卷22)已知数列{a_n}满足:(n≥2，n∈N^*)

(1)求数列{a_n}的通项公式;

(2)证明:对于一切正整数n，不等式a₁·a₂·…a〈_n 2·n!

参考答案的解法:(1)将条件变为:，因此{1－}为一个等比数列，其首项为，公比，从而，据此得

(2)证:据1°得，a₁·a₂·…a_n=

为证a₁·a₂·…a〈_n 2·n!

只要证n∈N^*时有

方法一:左端每个因式都是正数，先证明，对每个n∈N^*，有

用数学归纳法证明3°式:

(1)n=1时，3°式显然成立，

(2)设n= k时，3°式成立，

即

则当n= k+1时，

即当n= k+1时，3°式也成立。

故对一切n∈N^*，3式都成立。

利用3°得，故2°式成立，从而结论成立。

方法二:拼凑成相消形

方法三:利用胡政铨放缩公式，则另有一番美好的滋味

例3　已知:

(1)当λ= 2时，求证:f(x)≥0

(2)若f(x)≥0对于恒成立，求实数λ的取值范围;

(3)求证:

解:(1)当λ= 2时，f(x)= ln(x+ 1)－2x，f'(x)=≤0对x∈恒成立。∴f(x)≥f(0)=0

(2)①x∈时，f(x)≥0→λ≥，记h(x)=

则h'(x)=，再记g(x)=，则

∴g(x)＜g(0)=0，∴h'(x)=，∴h(x)在单调递减，

∴λ≥h()= 2ln 2

②当x=0时，f(x)≥0恒成立，∴λ的取值范围为[2ln 2，+∞)

(3)、由(2)知，当时，ln(x+ 1)≥(2ln 2)x

又，而ln故即证

最佳途径:利用胡政铨放缩公式

再相消

(原载《中学数学教学参考》2011年2月下旬)