典型应用题

1.列方程解应用题

（1）列方程解应用题的一般步骤

①理解题意：弄清楚题目已经给出的已知条件和未知条件，以及它们之间的相互关系。

②设立未知数x。未知数的设立要灵活，不一定都以题目中最后所要求的量作为所设的未知数，应该根据题目的内容来确定。如果设立的未知数x不是题目最终要求的量，那这个未知数应与已知条件和要求的答案紧密相联。

③找出题中数量之间的相等关系，并且根据等量关系列出方程。

④解方程：一个单纯的计算过程，需要细心运算。

⑤检验，写出答案。

（2）掌握分析等量关系的方法

①技巧在于根据常见的数量关系找等量关系。如：时间、速度、路程；单价、数量、总价等之间的关系。

②针对几何图形的题型，可以根据周长、面积、体积等计算公式找等量关系。如：三角形的面积=底×高÷2；长方形的周长=（长+宽）×2等。

③根据题中的重点叙述句，从整体上确定基本数量关系。

④对于比较难理解的应用题，利用线段图、列表等方法仔细分析题意找出等量关系。

（3）列方程解应用题时，一般采用顺向思维。即根据题目的叙述顺序，用x表示未知量，同已知数量一样参与列式运算。这样，思维难度小，比较简便，尤其对于逆向思维的问题，方程思路简便。

（4）弄清列方程解应用题和用算术方法解应用题的区别与联系。

①列方程解应用题，未知数用字母表示参加列式。根据题中数量间的相等关系，列出含有未知数x的等式。

②用算术方法解应用题，没有未知数，根据题中数量间的关系，确定解答方法，再列式计算。

③列方程解应用题和用算术方法解应用题都是以四则运算的意义和常见的数量关系为基础和依据的。

例1：某蔬菜商店有茄子221个，西葫176个。一天卖出同样多的蔬菜后，剩下的茄子个数是剩下西葫个数的8/13，问这两种蔬菜各卖出了多少个？

分析：题目中的几个量都发生了变化，难以确定一个统一的单位“1”，所以考虑设未知数，找出相等的数量关系列方程求解。

由于卖出的蔬菜总数是一样多的，我们可设各卖出的蔬菜总数为x个，那么茄子剩下（221-x）个，西葫剩下（176-x）个，由题目可知剩下的西葫是茄子的813，则可利用茄子的剩余数的813与西葫剩余数相等这个等量关系，列出方程并且求解。

解：设各卖出的蔬菜数为x个。

8/13×（221-x）=176-x

136-8/13x=176-x

5/13x=40

x=104

答：两种蔬菜各卖出104个。

例2：甲袋中有34个黑球，乙袋中有25个黑球。每次从甲袋中取出5个黑球，从乙袋中取出2个黑球。取多少次后，两袋中的黑球数量相等。

分析：根据题意“两袋中的黑球数相等”可知等量关系。即：甲袋-拿出的=乙袋-拿出的。虽然两袋的个数不同，但取出的次数相同，我们设取了x次，则甲袋取5x个，乙袋取出2x个。

解设取x次后两袋中的黑球数相等。

34-5x=25-2x

3x=34-25

3x=9

x=3

答：取3次后，两袋中的黑球数相等。

例3：如图4-7，小明跟妈妈学折纸，有一张正方形的纸，当它的边长增加了它的1/3后，得到的新的正方形的周长是48厘米，妈妈让小明计算下原来正方形的边长是多少厘米？

分析：设原来正方形纸的边长为x，依题意，得到的新正方形纸的边长为（1+13）x=4/3x，根据边长×4=周长，列出方程。

解：设原正方形的边长为x，则新正方形的边长为4/3x。

4×4/3x=48

图4-7

x=9

答：原正方形边长为9厘米。

例4：小明期末考试语文、数学、地理三科平均分为96分，常识分数比语文、数学、地理、常识四科平均分少3分.小明的常识得了多少分？

分析：本题是一道方程及平均数的应用题。可以将“常识分数比语文、数学、地理、常识四科平均分少3分”看成：常识分数+3=语文、数学、地理、常识四科平均分，则会得出以下方程式。

解：设常识得了x分，根据题意得：

x+3=（96×3+x）÷4

4x+12=96×3+x

4x-x=288-12

3x=276

x=92

答：小明的常识得了92分。

例5：羽绒服和皮靴两种商品成本共2200元，其中羽绒服按20%的利润定价，皮靴按15%的利润定价。后来商店降价促销，两种商品均按定价打九折出售，结果仍获131元的利润，问皮靴和羽绒服两种商品的成本各是多少元？

分析：羽绒服和皮靴的成本都未知，可设羽绒服的成本是x元，由题意找出等量关系：羽绒服卖价+皮靴卖价=成本+利润，而商品卖价=成本×（1+利润率）×折扣，便可求得两种商品的成本。

解：设羽绒服的成本是x元，则皮靴的成本是（2200-x）元。

[（1+20%）x+（1+15%）×（2200-x）]×90%=131+2200

[1.2x+2530-1.15x]×0.9=2331

0.05x+2530=2331÷0.9

0.05x=2590-2530

0.05x=60

x=1200

2200-1200=1000（元）

答：羽绒服的成本是1200元，皮靴的成本价是1000元。

例6：小丽、小志、小红三人现在岁数的和是113岁，当小丽的岁数是小志的岁数的一半时，小红刚好是38岁；当小志的岁数是小红的岁数的一半时，小丽是17岁。求小志的年龄。

分析：两次描述隐含了一个等量关系，就是他们的岁数之差是不变的。我们可以列出两个小丽与小红的岁数差，令二者相等，即可以解出三者的年龄。

解：设小丽比小志小x岁。当小丽是x岁时，由题意知，小志是2x岁，小红是38岁；当小丽是17岁时，小志的岁数是（x+17）岁，小红是2（x+17）岁。由小丽、小红的岁数差不变可得：

38-x=2（x+17）-17

38-x=2x+34-17

38-x=2x+17

3x=38-17

3x=21

x=7

所以小丽7岁时，小志14岁，小红38岁。

设小志从14岁到现在经过y年，则

（7+y）+（14+y）+（38+y）=113

59+3y=113

3y=54

y=18

14+18=32

答：小志现在的年龄是32岁。

2.归一问题

归一事实上就是一种解题的思路。归一问题的特点是先求出一份是多少。

归一问题可分为正归一问题和反归一问题。在求出一份是多少后，再求几份是多少，这类问题叫作正归一问题；在求出一份是多少后，再求这样的有几份，这类问题叫作反归一问题。

根据求一份是多少的步骤的多少，归一问题也可以分为一次归一问题和两次归一问题。其中，用一步计算能求出一份是多少的叫作一次归一问题，用两步计算求出一份是多少的叫作两次归一问题。

解决归一问题的关键是求出一份的数量，计算方法是：

总数÷份数=一份的数

例1：水果公司用卡车运水果，3辆卡车运180筐，照这样计算，用6辆同样的卡车一共可以运多少筐？

分析：先求出单一量，即一辆卡车可以运多少筐，再求出6辆卡车运的筐数，这就是用归一法解题。

还有另一个解题思路：6辆卡车是3辆卡车的2倍，那么运的筐数也就是180筐的2倍，这就是用倍比法解题。

解法一：180÷3×6=360（筐）

解法二：180×（6÷3）=360（筐）

答：用6辆同样的卡车一共可以运360筐。

例2：在某工厂车间内，5台机床3.5小时能够生产零件140个，照这样计算，要在5小时内生产160个零件，至少需几台机床？

分析：关键是先求出一台机床在1小时能生产多少个零件，再根据1台机床1小时生产的个数求出需要多少台；或者先求出1台5小时生产多少个，然后再看160个中包含了多少个1台5小时的产量，就可以计算出需多少台。

解：160÷（140÷5÷3.5）÷5=4（台）

或160÷（140÷5÷3.5×5）=4（台）

答：要生产160个零件至少需4台车床。

例3：修条路，建筑公司原计划由30人工作，每天工作8小时，45天完工。为了提前完工，实际增加至54人工作，每天工作10小时，问可以提前几天完工？

分析：此题的关键是要先求出修路工程的总工程量8×30×45（人·小时）及实际每天做工程量10×54=540（人·小时）。

解：45-8×30×45÷（10×54）

=45-10800÷540

=45-20

=25（天）

答：可以提前25天完工。

例4：某纺织厂原来48台织布机7.5小时可以织布954米，由于扩大再生产的需要，厂里又增加了同样的织布机25台，同时厂内派专人教会工人们改造了操作方法，每台织布机每小时能多织布0.35米，照这样计算，要织1314米布，需要几小时？

分析：此题的“单一量”，就是增加25台织布机以后，每台织布机每小时织布的米数。因此，首先要求出原来每台织布机每小时织布多少米，再加上每台织布机每小时多织的布，得出后来每台织布机每小时织布的米数。

解：1314÷[（954÷7.5÷48+0.35）×（48+25）]=1314÷219=6（小时）

答：要织1314米需要6小时。

例5：有一项手工制作任务，原计划由18人，每天工作8小时，7.5天完成任务。由于客户要求缩短工期，要求4天完成任务，因此增加了6人。求每天仍需加班工作几小时才能按时完成任务？

分析：我们把1个工人工作1小时，作为1个工时。根据已知条件，完成任务原计划需要的工时数求出工作总量。有了工作总量，以它为标准，不管人数增加或减少，工期延长或缩短，仍然按照原来的工作效率，只要能够达到完成任务所需“工时”总数，即可求出要加班的工时数，问题就解决了。

解：原计划完成这批任务需要：8×18×7.5=1080（工时）

增加6人后每天工作：1080÷（18+6）÷4=11.25（小时）

每天加班工作11.25-8=3.25（小时）

答：每天要加班工作3.25小时。

3.平均数问题

解答平均数应用题，关键是要根据已给出的条件，确定总数量和与总数量相对应的总份数。这里所说的总数量是指几个已知数的总和，总份数是指这些数的总个数。

平均问题应用题的基本数量关系是：

平均数=总数量÷总份数

总数量=平均数×总份数

总份数=总数量÷平均数

求平均数的时候，还可以用“移多补少”法和用基数求平均数法两种方法进行速算。

“移多补少”法就是先把大数中多出的部分补到小数中去，使它与大数同样多。如果仍然有余，再把多余的部分平均分配到各数中去，从而求得平均值。在解答“甲比乙多多少，丙比乙少多少”之类的应用题时，常常用“移多补少”的方法求出平均数。

用基数求平均数法就是指在求平均数的时候，先选择其中一个最小的数（或者较为适合的整十、整百……）作为基数，然后，把各个数比基数多出的部分加起来，再平均到基数中去，得出的结果就是所求的平均数。

例1：单位组织了4个采树种小组，目的是响应国家号召采摘树种支援大西北的绿化。第一天采到15千克，第二天采到20千克，第三天采到19千克，请回答以下问题。

（1）平均每天采到树种多少千克？

（2）平均每组采到树种多少千克？

（3）平均每组每天采到树种多少千克？

分析：总数是总共采到的树种数，这个量是始终不变的；按什么“单位”平均，三个问题的要求各不相同：问题（1）要求按“天数”平均；问题（2）要求按“组数”平均；问题（3）要求按“每组每天”平均。

解：（1）（15+20+19）÷3=18（千克）

（2）（154+20+19）÷4=13.5（千克）

（3）（15+20+19）÷3÷4=4.5（千克）

答：平均每天采到18千克树种，平均每组采到13.5千克树种，平均每组每天采到4.5千克树种。

例2：向阳中学二年级（甲）班一共有学生40人，一次数学测验中有三位同学因病未参加考试，这时班级的平均成绩为75分。后来三位同学补考后分别取得了95分、82分、88分。求现在班级的数学平均成绩是多少分？

方法一：一次数学测验有三位同学因病未考，所以实际参加考试的是（40-3）=37人，这时班级的平均成绩为75分，75分乘以参加考试的人数，就是37位同学的总成绩。37位同学考试的总成绩，加上后来三位同学补考后分别取得的95分、82分、88分，就是40位同学的总成绩，除以总人数40，就可求出现在班级的数学平均成绩。

解：[75×（40-3）+95+82+88÷40

=[75×374+95+82+88]÷40

=[2775+95+82+88]÷40

=3040÷40

=76（分）

方法二：三位补考的同学分别比原来平均成绩多考了（95-75）20分、（82-75）7分、（88-75）13分，可以得知三人共多考了（20+7+13）40分，40分平均分给40人，每人可多分（40÷40）1分，那么，75分与1分的和就是现在班级的数学平均成绩。

解：75+[（95-75）+（82-75）+（88-75）]÷40

=75+[20+7+13]÷40

=75+40÷40

=76（分）

例3：小刚期末语文考试得86分，数学考试得95分，英语因生病没有参加考试，后经补考，语文、数学、英语三科的平均成绩是92.5分，小刚英语补考得多少分？

分析：小刚参加三科的考试，其中语文和数学的考试成绩已经知道，只有英语的成绩不知道。如果知道他期末考试的总成绩，就可以求出他英语补考的成绩。根据已知条件，小刚三科考试的平均成绩是92.5分，即可以求出小刚三科的考试总成绩，从而求出小刚英语补考的成绩。

解：92.5×3-86-90=96.5（分）

答：小刚英语补考得96.5分。

例4：假设一辆火车以每小时100千米的速度从邯郸开往保定，又以每小时60千米的速度从保定开往邯郸。求这辆火车的平均速度是（）。

分析：求火车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把邯郸到保定的路程设为s千米，则火车行驶的总路程为2s千米，从邯郸到保定的速度为100千米/小时，所用的时间为s100小时。火车从保定到邯郸速度为60千米/小时，所用的时间是s60小时，火车一共用的时间为s100+s60=2s/75，火车的平均速度为2s÷2s75=75（千米/小时）。

4.和、差、倍问题

已知两个数的和，还有这两个数之间的倍数关系，求这两个数分别是多少的问题，称为和倍问题；已知两个数的差以及两数之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题就是差倍问题；和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多少。

求和倍问题的常用公式：

和÷（倍数+1）=1倍量

1倍量×倍数=另一个数

求差倍问题的一般方法：

差÷（倍数-1）=1份数（小的数）

小数×倍数=大数

求和差问题的一般方法：

（和+差）÷2=大数，和-大数=小数

（和-差）÷2=小数，和-小数=大数

例1：养牛厂有公牛和母牛共206头，公牛比母牛多36头，那么公牛和母牛各是多少头？

分析：如图4-8所示。

图4-8

从图4-8中可以看出，求这两个数的困难在于两个数不等。能不能把它们变化一下，变为两数相等的情况呢？

解法一：公牛头数的2倍：206+36=242（头）

公牛的数量：242÷2=121（头）

母牛的数量：121-36=85（头）

解法二：母牛头数的2倍：206-36=170（头）

母牛的数量：170÷2=85（头）

公牛的数量：85+36=121（头）

答：公鸡是121头，母鸡是85头。

例2：甲、乙两根铁丝，甲铁丝长63米，乙铁丝长29米，两根铁丝剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙所剩长度的3倍，甲、乙两铁丝所剩长度各是多少米？都剪去多少米？

分析：根据题意：两根铁丝剪去相同的一段，长度差没变，甲铁丝所剩的长度是乙铁丝的3倍，即甲比乙多（3-1）倍，以乙铁丝的长度为标准数，乙铁丝剩下的长度：（63-29）÷（3-1）=17（米）；甲铁丝剩下的长度：17×3=51（米）；剪去的长度：29-17=12（米）。

解：乙：（63-29）÷（3-1）=17（米）

甲：17×3=51（米）

都剪去：29-17=12（米）

答：甲铁丝剩51米，乙铁丝剩17米，都剪去了12米。

例3：小贝家里有大、小两个书架，大书架上的书的本数是小书架上的3倍，如果从大书架上取走150本放到小书架上，那么两个书架上的书刚好一样多，大、小书架上原来各有多少本书？

分析：根据“从大书架上取出150本书放入小书架，两书架上的书的本数刚好相等”可知，大书架比小书架多150×2=300（本）。这样就可以作为一道典型的“差倍问题”来进行解答。由于大书架上的书是小书架的3倍，可以把小书架上的书的本数看作1倍量，大书架比小书架多300本对应于小书架的（3-1）倍量。

解：大书架比小书架多：150×2=300（本）

两个书架相差倍数：3-1=2

小书架原有书：300÷2=150（本）

大书架原有书：150×3=450（本）

答：大、小书架上原来各有书450本、150本。

例4：某公司的食堂买一台电视机和一台微波炉共花去2400元，电视机的价钱是微波炉的3倍，每台电视机和每台微波炉各多少元？

分析：已知两个数的和与倍数，求这两个数各是多少，这是道简单的和倍问题。从电视机的价钱是微波炉的3倍，可知微波炉的价钱是一倍数，共花2400元与（1+3）倍相对应，可以求出微波炉的价钱（一倍数）。

解：每台微波炉价格：2400÷（3+1）=600（元）

每台电视机价格：2400-600=1800（元）

答：每台电视机1800元，每台微波炉600元。

5.行程问题

行程问题一般是反映距离、速度和时间关系的问题，其基本的数量关系包括：路程=速度×时间。

（1）相遇问题

如果两人（或车、船）相向运动，求路程和时间，一般此类题可以先求出人（或车、船）的速度和，再根据下面的数量关系求解：

总路程=速度和×相遇时间

相遇时间=总路程÷速度和

在解决相遇问题中需要注意的几点：

①在解相遇问题应用题时，要注意区别“相向、同时、相遇”、“相向、同时、不相遇”、“相向、不同时、相遇”、“相向、不同时、不相遇”等各种不同的情况。

②在相遇应用题的问题里，如果是甲、乙两艘船分别从A、B两港相向而行，那么必有一艘船是顺水航行：若甲船是顺水航行，甲船的顺水速度为v甲顺，甲船的静水速度为v甲静，水速为v水，则乙船为逆水航行，乙船的逆水速度为v乙逆，乙船的静水速度为v乙静，能得出如下的数量关系式：

v甲顺=v甲静+v水

v乙逆=v乙静-v水

（2）追及问题

如果两人的运动方向相同，且快速的人追及慢速的人，这类问题就属追及问题。解决追及问题的数量关系式是：

速度差×追及时间=追及路程

解追及应用题时可画线段图（图4-9）来辅助分析数量关系。

图4-9

（3）两车行驶问题和火车过桥问题

①错车问题：两辆火车相向而行，从火车头遇火车头到车尾离开车尾，这个过程的相关问题叫错车问题。解决错车问题的数量关系如下：

路程和=甲车车身长+乙车车身长

（甲车速度+乙车速度）×错车时间=甲车车身长+乙车车身长

②超车问题：两列火车同向而行时，从快车车头遇到慢车车尾，到快车车尾离开慢车车头的问题，这叫超车问题。超车问题的数量关系如下：

路程差=快车车身长+慢车车身长

（快车速度-慢车速度）×超车时间=快车车身长+慢车车身长

③火车过桥问题：火车通过一座桥，一般是指从车头上桥到车尾离桥，这叫作火车过桥问题。火车过桥问题的常用数量关系如下：

路程=车身长+桥长

通过时间=（车身长+桥长）÷车速

（4）环形道路上的行程问题

环形道路上的行程问题，也叫作封闭回路问题，它可以是网形的、长方形的、三角形的，也可以是长方形和两个半圆组成的运动场形的。环形道路中一般会有相遇问题，也有追及问题。

①两个物体同时、同地、背向而行，每合走一个全程，就相遇一次。

②两个物体同时、同地、同向而行，每当快的比慢的多走一个全程，就相遇一次。

例1：小兰、小君两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时两人速度比为3:2，第一次在C地相遇后，小兰速度提高20%，小君速度提高30%，当小兰到达B地时，小君离A地还有42千米，问A.B两地距离是多少千米？

分析：把A、B间的路程平均分成5份，小兰、小君原来的速度比是3:2，第一次在C点相遇，小兰行3份路程，小君行2份路程。在C点相遇后，两人的速度比为[3×（1+20%）]：[2x（1+30%）]=18:13，当小兰到达B地还需行2份路程，同时小君也已经行了2÷18×13=1/49（份）路程。A与小君之间相距为42千米，所对应的是相遇前小兰所行路程与相遇后小君所行路程的差，即（3-1/49）份，从而推算出AB的长。

解：[3×（1+20%）]：[2×（1+30%）]=18:13，

答：A、B两地相距135千米。

例2：一艘船顺流航行420千米，逆流航行80千米一共用11小时。另一次顺流航行240千米，逆流航行140千米也用了11小时。已知两次航行过程中，船速和水速都不变，求船的静水速度和水流速度。

分析：题目中没有给出任何速度，看似好像无从入手。因此可以转化思路，从已知条件下入手。

顺水行420千米的时间+逆水行80千米的时间=11小时

顺水行240千米的时间+逆水行140千米的时间=11小时

通过这两个关系式不难发现顺水航行（420-240）千米的时间=逆水航行（140-80）千米的时间。

即顺水180千米时间=逆水60千米时间。

即顺水3千米时间=逆水1千米时间。

于是可以将第一次航行的11小时全部转化为顺流航行，相当于行驶了（420+80×3）千米，即660千米，由此可知顺水速度为（660÷11）千米，逆水速度为（60÷3）千米，进而可以求出船速和水速。

解：420千米顺水时间+80千米逆水时间=240千米顺水时间+140千米逆水时间

即（420千米-240千米）顺水时间=（140千米-80千米）逆水时间

180千米顺水时间=60千米逆水时间

3千米顺水时间=1千米逆水时间

如果在11小时内一直顺水则可行驶：420+80×3=660（千米）

则顺水速度为：660÷11=60（千米/时）

逆水速度为：60÷3=20（千米/时）

船速：（60+20）÷2=40（千米/时）

水流速度：（60-20）÷2=20（千米/时）

答：船的静水速度为每小时40千米，水流速度为每小时20千米。

例3：某俱乐部共派出57辆车排成一列通过一条隧道，前后两车之间都保持4米的距离。已知该隧道长200米，每辆车长5米，车速均为每秒8米。问这些车大约多少秒可以通过这条隧道？（得数保留整数）分析：57辆车车队的长度包括57辆车的长度之和及其间隔（每相邻两辆车之间的车距）之和，因此，可以得出以下公式：

解答：（57-1）×4+57×5+200

=56×4+57×5+200

=224+285+200

=709（米）

709÷8=88.625≈89（秒）

答：这些车大约89秒可以通过这条隧道。

例4：一只轮船从A地开往B地顺水而行，已知其速度是每小时行28千米，到B地后，船又逆水航行，回到A地。逆水比顺水多行2小时，已知水速每小时4千米。求甲乙两地相距多少千米？

分析：已知顺水航行速度为28千米/小时，水流速度为4千米/小时，可求得逆水航行速度为28-4×2=20（千米/小时）。根据逆水航行比顺水航行多用2小时这个条件，可以列出等量关系式：逆水航行时间-顺水航行时间=2。

解：设甲乙两地相距x千米，根据题意得：

x/20-x/28=2

7x-5x=280

2x=280

x=140

答：甲乙两地相距140千米。

6.年龄问题

年龄问题是日常生活中一种非常常见的问题，例如：已知两人或若干人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系等。要正确分析解答这类题，首先要明白，两个不同年龄的人，年龄之差始终会保持不变，所以我们要抓住“年龄差不变”这个特点，运用“和差”、“差倍”等知识来分析解答有关年龄问题。

例1：已知甲、乙、丙三人的平均年龄是42岁，丁爱好数学，他发现如果将甲的年龄加上7岁，乙的年龄扩大到原来的2倍，丙的年龄减少一半，那么三个人的年龄相等。请你帮他算算：那么三个人的年龄各是多少？

分析：我们把3个相等的年龄作为1倍量，那么甲的年龄就是1倍量减去7岁；乙的年龄扩大到原来的2倍是1倍量，因此乙的年龄就是1倍量的12；丙的年龄减少一半是1倍量，所以丙的年龄是个2倍量。

解：如果给甲的年龄加上7岁，那么3个人的年龄和就是（1+1/2+2）倍量，并且三个人的年龄总和就是42×3+7=133（岁）

从而1倍量的大小就是133÷（1+1+2）=38（岁）

那么甲的年龄就是38-7=31（岁）

乙的年龄就是38×1/2=19（岁）

丙的年龄就是38×2=76（岁）

答：甲、乙、丙三人的年龄分别是31岁、19岁、76岁。

例2：爸爸今年43岁，儿子今年11岁，求几年后，爸爸的年龄是儿子的3倍？

分析：这是一道年龄问题，解题的关键抓住两人年龄的差不变来解答这类问题。

儿子出生后，无论再过多少年，爸爸和儿子的年龄差总是不变的，即43-11=32（岁），这样就变成了一道已知两个人年龄差和两个人年龄之间倍数关系的差倍问题。把儿子几年后的岁数看做1倍数，爸爸的岁数看做3倍数，那么年龄差就相当于儿子那时岁数的两倍，这样可以求出儿子那时的岁数。

解：43-11=32（岁）

32÷（3-1）=16（岁）

16-11=5（年）

答：5年后，爸爸的年龄是儿子的3倍。

例3：小玲和阿姨比年龄。小玲对阿姨说：“当我长到您今年的岁数时，您就已经64岁了。”阿姨笑着对小玲说：“可是，你知道吗？当我是你今年岁数的那一年，你才只有1岁啊！”

根据这段谈话，你能求出小玲和阿姨今年各是多少岁吗？

分析：

图中黄色、粉色与蓝色部分合在一起为阿姨的年龄；黄色与蓝色部分合在一起为小玲的年龄。根据题意可知：图中的粉色部分、蓝色部分和绿色部分相等，均为两人年龄之差。根据两人的年龄之差不变，得知1岁加上3个年龄差正好等于64岁。

解法一：年龄差：（64-1）÷3=21（岁）

小玲：1+21=22（岁）

阿姨：22+21=43（岁）

解法二：此题也可以列方程解答。

设小玲现在的年龄是x岁。

x+（x-1）+（x-1）=64

3x-2=64

3x=66x=22

阿姨：22+（22-1）=43（岁）

答：小玲今年22岁，阿姨今年43岁。

7.鸡兔同笼问题

事实上，鸡兔同笼问题早在我国古代数学著作《孙子算经》中就已经有提及，它主要是指已知鸡与兔的总头数和总足数，求鸡和兔各是多少只的应用题。

解答鸡兔问题一般采用“假设法”来求解。即假设全是鸡或全是兔，然后根据出现的足数差，推算出鸡或兔的只数。

常用的基本数量关系式：

（1）假设全是鸡，则有：

兔的只数=（总足数-2×总头数）÷2

鸡的只数=总头数-兔的只数

（2）假设全是兔，则有：

鸡的只数=（4×总头数-总足数）÷2

兔的只数=总头数-鸡的只数

例1：鸡兔同笼共50个头，经计算得知共170条腿。请问鸡有（）只，兔有（）只？

解法一：假设笼子里只装了鸡，则腿数少3:170-50×2=70（条），即兔子的只数为：70÷2=35（只）。由此可得鸡的只数为：50-35=15（只）。

解法二：假设笼子里只装了兔子，则腿数为：50×4=200（条），那么实际上就比笼子中的腿多了200-170=30（条），可知鸡的只数为：30÷2=15（只），兔子的只数为：50-15=35（只）。

例2：萌萌去向阳文具店买铅笔和水笔共9支，用去23元，铅笔每支3元，水笔每支2元。请问她买了几支铅笔，几支水笔？

分析：其实这是一道鸡兔同笼问题的变形题。我们可以假设买的所有笔都是水笔，则共用去9×2=18（元），而实际用了23元，多出了23-18=5（元），这是因为每支铅笔在假设时少算了3-2=1（元），这样铅笔共买了：5÷1=5（支），水笔则买了9-5=4（支）。

解：（23-9×2）÷（3-1）=5（支）

9-5=4（支）

答：她买了5支铅笔，4支水笔。

例3：已知在一个动物园里，犀牛、羚羊、孔雀三种动物共有26个，并且知道脚80只，犄角20只。已知犀牛有4只脚、1只犄角；羚羊有4只脚、2只犄角；孔雀有2只脚。问：犀牛、羚羊、孔雀各有几只？

分析：这类题将三种不同的动物混合在一起，直接假设比较麻烦。换个角度思考，我们不妨观察一下：虽然有三种不同的动物，但是犀牛和羚羊都是4只脚，这样，根据脚数可以把孔雀与这两种动物分开，转化成我们所熟悉的“鸡兔同笼”问题，然后再通过犄角的不同，把犀牛和羚羊分开。也就是说，需要做两次“鸡兔同笼”。

解：假设26只都是孔雀的话，那么就有脚：26×2=52（只），52只比实际的少：80-52=28（只），这说明孔雀多了，所以需要增加犀牛和羚羊。

其次，每增加一只犀牛或羚羊，减少一只孔雀，就会增加脚数：4-2=2（只）

犀牛和羚羊的总数为：28÷2=14（只）

假设14只都是犀牛，那么就有犄角数为：14×1=14（只）

这说明犀牛多了羚羊少了，则需要减少犀牛增加羚羊。

每增加1只羚羊，减少1只犀牛，犄角数就会增加为：2-1=1（只）

所以，羚羊的只数为：6÷1=6（只）

犀牛的只数为：14-6=8（只）

答：犀牛有8只，羚羊有6只，孔雀有12只。

例4：红星小学举行的知识竞赛原本设一等奖10人，二等奖20人，为了减少麻烦，现将一等奖中的最后4人调整为二等奖，这样二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分，那么原来一等奖的平均分比二等奖的平均分多几分？

分析：可以将一、二等奖的平均分分别与原一等奖后四个的平均分比较。

解：根据题意可知，前六人平均分=前十人平均分+3

这说明在计算前十人平均分时，前六人共多出3×6=18（分），以此来弥补后四人的分数，因此后四人比前十人平均分少：18÷4=4.5（分），也就是：后四人平均分=前十人平均分-4.5。

当后四人调整为二等奖，此时二等奖共有20+4=24（人），平均每人提高了1分，也就是由调整进来的四个供给，每人平均供给24÷4=6（分），因此四人平均分=原二等奖平均分+6，前后比较可知，原二等奖平均分比一等奖平均分少4.5+6=10.5（分）。

答：原一等奖平均分比二等奖平均分多10.5分。

8.牛吃草的问题

牛吃草问题又可以称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。从以上条件中可以得知，由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随吃的天数不断地变化。

解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是：

（1）草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数-吃的较少天数）；

（2）原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数；

（3）吃的天数=原有草量÷（牛头数-草的生长速度）；

（4）牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。

以上这四个公式是解决消长问题的基础。

由于牛在吃草的过程中，草是一直不断生长的，所以解决消长问题的重点就是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但是由于是匀速生长，所以每天新长出的草量是不变的。上面的四个基本方式便是从这个不变量中得出来的。

例1：小明家的一个水池共装了一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。问出水管比进水管晚开多少分钟？

分析：出水管所排出的水可以分为两部分：一部分是出水管打开之前原有的水量，另一部分是开始排水至排空这段时间内进水管放进的水。因为原有的水量是不变的，所以可以从比较两次排水所用的时间及排水量入手解决问题。

设出水管每分钟排出水池的水为1份，则2个出水管8分钟所排的水是2×8=16（份），3个出水管5分钟所排的水是3×5=15（份），这两次排出的水量都包括原有水量和从开始排水至排空这段时间内的进水量。两者相减就是在8-5=3（分）内所放进的水量，所以每分钟的进水量是：（16-15）÷3=13（份）。假设用13个出水管专门排进水管新进的水，其余的出水管排原有的水，就可以求出原有的水量为：（2-13）×8=13/13（份）。

解：设出水管每分钟排出的水为1份。

每分钟进水量：（2×8-3×5）÷（8-5）=1/3（份），

进水管提前开了（2-1/3）×8÷1/3=40（分钟）

答：出水管比进水管晚开40分钟。

例2：因建筑原因需要将一口井里的水抽干，用同样功率的3台抽水机抽干要40分钟；如果用6台抽水机抽干要16分钟。问要是用9台抽水机恰好抽干需要几分钟？

分析：本题亦可以看作“牛吃草问题”来解。

解：假设每台抽水机每分钟抽水1个单位，则

1×40×3=120（单位）

1×16×6=96（单位）

那么井中每分钟冒出的水有：（120-96）÷（40-16）=24÷24=1（单位）

井中原有的水量为：120-1×40=80（单位）

于是现在可用一台抽水机“专抽”新冒出的水，余下8台继续抽井中原有的80单位的水，80÷8=10（分）

答：要是用9台抽水机恰好抽干要10分钟。

例3：有一片牧场，如果放牧27头牛，则6个星期可以把草吃光；如果放牧23头牛，则9个星期可以把草吃光；如果放牧21头牛，问几个星期可以把草吃光？（假定牧草上的草各处都一样密，草生长的速度相同，并且每头牛每星期的吃草量也相同。）

分析：在牧场上放牛，牛不仅要吃掉牧场上原有的草，还要吃掉牧场上新长出的草。因此解答这道题的关键是要清楚牧场上原有的牧草量和每星期草的生长量。

解：设每头牛每星期的吃草量为1个单位。27头牛6个星期的吃草量为27×6=162（单位），这既包括牧场上原有的草，同时也包括6个星期长的草。

计算23头牛9个星期的吃草量为23×9=207（单位），不仅包括牧场上原有的草，也包括9个星期长的草。

每个星期草的生长量是：（207-162）÷（9-6）=15（单位）

牧场上原有的草量是：162-15×6=72（单位）

前面已经假定每头牛每星期的吃草量为1，而每星期新长的草量为15，因此新长出的草可供15头牛吃。如果放牧21头牛的话，还余下21-15=6头牛要吃牧场上原有的草，所以牧场上原有的草量72够6头牛吃的时间：72÷6=12（星期）

答：放牧21头牛，12个星期可以把牧场上的草吃光。