贝特朗箱子悖论

“似是而非的悖论”的第二个例子由19世纪法国数学家约瑟夫·贝特朗提出。（他最著名的悖论并不是这个，而且比这个更需要数学专业。）

有三个箱子，每个箱子里各有两枚硬币，放置方式如下：每个箱子都隔成两半；每一半各放一枚硬币，而且盖子可以单独打开来查看里头的硬币种类（但不允许查看另一枚）。第一个箱子里放了两枚金币（代号GG），第二个箱子里放了两枚银币（代号SS），第三个箱子则有金币和银币各一枚（代号GS）。请问你选到内有金币跟银币的箱子概率有多少？答案的确很简单：三分之一。这一点都不难。接着，随机挑选一个箱子。如果打开半边的盖子发现里面是金币，这个箱子是GS箱的概率有多少？在发现一枚金币的当下，你已经知道这个箱子不可能是SS箱，排除之后只剩两种可能性：GG箱或GS箱。因此它是GS箱的概率是二分之一，对吧？

假如打开盖子出现的是银币，我们就可以排除GG箱的选项，剩下的只有SS 箱或GS箱两种可能，所以选到GS箱的机会依然是二分之一。

由于打开选定的盖子出现的不是金币就是银币，而且每种硬币各有三枚，若两者出现的概率相同，那么不论出现何种硬币，你都有一半的概率选中GS箱。也就是说，往某个箱子的其中半边瞧了一眼之后，选中GS箱的整体概率竟然从一开始的三分之一变成二分之一。可是，只不过才瞧了某个硬币一眼，怎么会使概率产生这么大的变化？如果随机选出一个箱子，打开其中一个盖子之前，你知道选出的箱子有三分之一概率是GS箱；仅仅凭着看到其中一枚硬币，究竟是怎么使得概率从三分之一突然变成二分之一的？毕竟这个动作并不会带来新的信息，你心里明白，出现的不是金币就是银币。究竟哪里出问题了呢？

正确答案是，不论是否查看其中一枚硬币，选到GS箱的概率一直都是三分之一，而非二分之一。首先考虑从箱子里找到一枚金币的情况：金币共三枚，姑且称他们为G1， G2和G3。假设GG箱里放的是G1和G2， G3在GS箱里。如果你打开其中一个箱盖并且发现一枚金币，那么你有三分之二的概率打开的是GG箱，因为看到的金币可能是G1或G2。这枚金币是G3的概率只有三分之一，与你选中GS箱的概率一样。