用整体代换构造圆或半圆求面积

用整体代换构造圆或半圆求面积

黄金殿

有一类关于求阴影部分面积的几何题，我们可以根据题意，把整个图形看成阴影部分、基础图形，如三角形、正方形、菱形等，以及圆或半圆。利用整体代换，求阴影部分的面积，可以起到事半功倍的效果。现举例说明如下：

例1　如图1，已知正三角形ABC的边长为a，分别以A，B，C为圆心，以为半径的圆相切于点O₁，O₂，O₃，求O₁O₂，O₂O₃，O₁O₃围成图形（图中阴影部分）的面积S（初三几何课本第180页例2）。

分析三个小扇形面积相等，把它们三个合在一起，就构成一个半径为2^a的半圆，由此得S阴影

图1

图2

例2　如图2正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，求所围成的图形（阴影部分）的面积（几何课本第三册第187页）。

分析由四个半圆即两个半径为的圆面积减去边长为a的正方形边长为a的正方形面积。

例3　如图3，已知边长为a的正方形ABCD，内接于⊙O，分别以正方形的各边为直径向正方形外作半圆，求四个半圆与⊙O的四条弧围成的四个新月形（阴影部分）的面积。

分析四个新月形面积为“两个半径为的圆面积，（即四个半圆）加上边长为a的正方形面积，再减去圆O的面积”，即S_阴影=4S。

图3

例4　求证，如图4，以直角三角形各边为直径的三个半圆围成的两个新月形（阴影部分）的面积和，等于直角三角形的面积。

分析S_新月等于两个分别以AC，BC为直径的半圆面积和，加上△ABC的面积，再减去以AB为直径的半圆的面积，即可使问题得证。

图4

图5

练习

1.如图5，菱形ABCD的两条对角线长分别为a、b、分别以每边为直径向形内作半圆，求4条半圆弧围成的花瓣形面积（阴影部分的面积）。（提示：设以BC为直径的半圆面积

图6

2.如图6，正三角形的边长为a，以各边为弦向形内各作120°的弧，求所成三个叶形（阴影部分）的总面积。（提示：作⊙O内接正六边形ABCDEF，分别以B、D、F为顶点，以⊙O半径为半径画弧，就构形本题的图形，所以阴影部分面积等于圆面积减去正六边形面积。

3.如图7，以半径为r的圆内接正三角形的各边为直径，向形外作半圆，求这三个半圆与圆围成的三个月形（图中阴影部分）面积之和。

（载《中学生数学》2002年）